Весьма эффективен метод исследования безвихревых плоских потоков, основанный на использовании функций комплексного переменного.
Лекция 8
Тема: «Плоское потенциальное течение жидкости и газов. Основные уравнения и методы решения плоских потенциальных потоков»
Рассматриваемые вопросы:
1. Понятие о плоском течении.
2. Основные уравнения и методы решения плоских потенциальных течений.
2.1. Функция тока и ее свойства.
2.2. Потенциал скорости.
2.3. Уравнение Лапласа для φ и ψ.
2.4. Связь между φ и ψ. Сетка течения.
2.5. Комплексный потенциал и комплексная скорость.
2.6. Методы решения уравнений Лапласа.
Развитие теории потенциального течения жидкости способствовало развитию и становлению авиастроения, кораблестроения, турбостроения, гидроэнергостроительства, энергетики и некоторых других отраслей промышленности. Работы в этом направлении ведутся и в настоящее время.
В данной теме, как и при изучении кинематики и динамики невязкой жидкости пока что продолжаем работать с идеальной жидкостью. Идеальной жидкости в природе не существует, однако приближения, связанные с ее введением в гидромеханику, значительно упрощают уравнения движения жидкости. Часто при изучении обтекания тех или иных тел пользуются последовательными приближенными, рассматривая вначале обтекание данного тела идеальной жидкостью, и затем вносят поправки на влияние вязкости (т.е. реальной жидкости).
Наибольший практический интерес имеет плоское потенциальное течение несжимаемой жидкости.
|
|
|
Понятие о плоском течении.
Плоским называется такое течение жидкости, все функции которого зависят от двух координат и времени. В третьем измерении все функции течения не изменяются.
В качестве примера плоского течения можно представить обтекание крыла бесконечно длинного размаха.
8.2. Основные уравнения ППТ.
Для определения поля скоростей существует уравнение неразрывности,
, (8.1)
которое в общем случае движения невязкой жидкости проинтегрировать не удается. Но это оказывается возможным в частном случае потенциального (безвихревого) движения.
Потенциальным называется такое движение, у которого нет вихрей, т. е. это безвихревое течение,, у которого вращательная составляющая скорости равна нулю ( rot 
= 0 
). Т. к. в плоском течении с координатами ХОУ вращение может происходить только вокруг одной оси OZ, то в плоском потенциальном течении достаточно условия ωz = 0.
8.2.1. Функция тока и ее свойства.
В соответствии с теорией поля, если функция удовлетворяет уравнению (8.1), то существует такая функция координат, определяющая его скоростное поле и называемая функцией тока. Это есть функция ψ (пси), которая ψ = f ( x , y ), а частные производные по координатам от нее равны проекциям скоростей на эти координаты.
|
|
|
; 
(8.2)
Докажем существование этой функции, подставляя (8.2) 
(8.1)
Вторая производная не зависит от порядка дифференцирования, следовательно, существует такая функция, которая связана с проекциями скоростей (уравнение (2)).
Функция тока имеет два свойства:
Первое свойство: Значение функции тока на линии тока есть величина посто-
янная, т. е. каждая л. т. имеет свое постоянное значение .ψ.
Второе свойство: Разность между двумя значениями функции тока на двух
разных линиях тока, равна расходу жидкости, протекающей
между ними Q1-2 = ψ1 – ψ2.
Свойства 1 и 2 имеют доказательства.
8.2.2. Потенциал скорости.
Как уже отмечалось выше, при плоском потенциальном течении ωz = 0, а следовательно,
ωz = 
, т. е. 
(8.3)
Условие (8.3) в соответствии с теорией поля позволяет ввести важнейшую характеристику безвихревого (потенциального) движения функцию φ = f ( x , y ) называется потенциалом скорости, которая связана с проекциями скоростей
|
|
|
(8.4)
В соответствии с т. поля вектор скорости будет 
= grad φ.
Поэтому течение и называется потенциальным. Физическое истолкование понятия потенциал скорости – это тот мгновенный импульс давлений (нормированный по плотности ρ) который нужно приложить к жидкости, чтобы вызвать или уничтожить в ней безвихревое движение.
8.2.3. Уравнение Лапласа для φ и ψ.
Потенциал скорости φ и функция тока ψ течения несжимаемой жидкости удовлетворяют уравнению Лапласа. Действительно, подставляя значения проекций скорости из выражения (8.4) в уравнение неразрывности (8.1), получим:
(8.5) – уравнение Лапласа для потенциала скорости
Функция тока также тождественно удовлетворяет уравнению неразрывности (8.1), а учитывая, что течение является безвихревым, подстановка условий (8.2) в уравнение (8.3), получим:
(8.6) – уравнение Лапласа для функций тока
Уравнения (8.5) и (8.6) показывают, что как функция тока, так и потенциал скорости удовлетворяют уравнению Лапласа, т.е. являются гармоническими функциями.
|
|
|
Решение уравнений (8.5) и (8.6) при заданных граничных условиях потока дает нам значения φ и ψ, а из выражений (8.2) и (8.4) найдем проекции скоростей Vх, Vу и модуль скорости V = 
. Используя уравнение Эйлера–Бернулли для двух точек (на теле и на ¥), найдем и давление р
Р + 
(8.7)
Зная давление по поверхности обтекаемого тела, проинтегрировав его по этой поверхности, находим силы, действующие на тело от жидкости.
Таким образом, решить уравнения Лапласа – значить найти основные параметры потока: скорости, давления, силовое воздействие жидкости на тело. Сократить объем экспериментальных тсследований,применяя теорию.
8.2.4. Связь между функциями φ и ψ. Сетка течения.
Связь между функциями φ и ψ можно установить, если сравнить выражения для проекций скоростей (8.2) и (8.4):
; 
(8.8)
Связь, выраженная уравнением (8.8), в теории комплексного переменного называются условиями Коши-Римана, по которым эти функции ортогональны. Из этого следует, что если ψ = const на линии тока (о чем мы говорили выше), то существуют линии, ортогональные линиям тока, на которых потенциал скорости φ = const. Они пересекаются под прямым углом с линиями тока и называются линиями равного потенциала.
Совокупность линий тока и линий равного потенциала скорости называют сеткой течения.
При установившемся движении жидкости сетка течения зависит только от формы границ потока, что позволяет находить параметры геометрически подобных потоков.
Весьма эффективен метод исследования безвихревых плоских потоков, основанный на использовании функций комплексного переменного.
Дата добавления: 2021-11-30; просмотров: 21; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!