Плоскость. Способы задания плоскостей. Взаимное расположение плоскостей

Лекция №3

Тема: различные виды уравнения плоскости

Каждая плоскость в пространстве определяется линейным алгебраическим уравнением первой степени.

1 Общее уравнение плоскости:

(17)

2 Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

(18)

Всякий ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости. В частности, вектор - нормальный вектор плоскости.

Рисунок 30

Частные случаи уравнения (17):

- плоскость проходит через начало координат;

- плоскость параллельна оси

(аналогичный смысл имеют уравнения );

- плоскость проходит через ось

( , - через ось и соответственно);

( ) – плоскость параллельна плоскости

( , - параллельно плоскости и соответственно);

, т.е. - плоскость совпадает с плоскостью

( , - уравнения плоскостей и соответственно).

3 Уравнение плоскости в отрезках: , где - абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскостью

Рисунок 31

4 Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки , и :

(19)

Рисунок 32

5 Нормальное уравнение плоскости:

(20)

где - длина перпендикуляра , опущенного из начала координат на плоскость; - углы, образованные единичным вектором , имеющего направление перпендикуляра (рисунок 33), с осями , и

( ).

Рисунок 33

Общее уравнение плоскости (17) приводится к нормальному виду (20) путем умножения на нормирующий множитель

;

знак перед дробью берется противоположный знаку свободного члена

(в общем уравнении плоскости).

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от данной точки до данной плоскости

Углом между плоскостями в пространстве называется угол между нормальными векторами этих плоскостей. Две плоскости и заданы уравнениями и , где , .

Наименьший из двух смежных углов, образованных этими плоскостями, находится по формуле:

(21)

Рисунок 34

Условие параллельности плоскостей:

Две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные вектора коллинеарны, т.е. (22)

Рисунок 35

Условие перпендикулярности плоскостей:

Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные вектора перпендикулярны, т.е.

(23)

Рисунок 36

Условие совпадения двух плоскостей : (24)

Рисунок 37

Расстояние от точки до плоскости находится по формуле

(25)

Рисунок 38

Если плоскость задана уравнением , то расстояние от точки до плоскости может быть найдено по формуле

(26)

Вопросы для самоконтроля

1 Выведите уравнение плоскости , проходящую через точку с нормальным вектором .

2 Укажите способы взаимного расположение двух плоскостей в пространстве.

3 Выведите формулу расстояния от точки до плоскости : .

4 Запишите нормальное уравнение плоскости . Укажите связь общего уравнения плоскости с нормальным уравнением.

5 Запишите условие перпендикулярности и параллельности плоскостей в пространстве

6 Выведите уравнение плоскости , проходящей через три различные точки: , , .

7 Как расположена данная плоскость 5х–2y+3=0.

8 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1; 0; 2) с нормальным вектором .

9 Составить уравнение плоскости, проходящей через три различные точки

М₁ (3; 0; 1), М₂ (–1; 1; 0) и М₃ (2; 3; –2).

10 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М₁ (1; 2; 0) и

М₂ (2; 1; 1) и параллельный плоскости вектор .

11 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ (3; 0; 1) и два вектора, параллельных плоскости и .

12 Найти угол между двумя плоскостями:

и .

13 Как плоскость расположена относительно оси ?

14 Составить уравнение плоскости, которая содержит оси и и проходит через начало координат.

15 Как расположена плоскость относительно плоскости ?

16 Как расположена данная плоскость .

17 Запишите формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости.

18 Запишите формулы для нахождения угла между плоскостями.

19 Запишите уравнение плоскости проходящей через точку и параллельно двум векторам , заданных своими координатами.

20 Как расположена данная плоскость .

Практическое занятие № 2

Плоскость. Способы задания плоскостей. Взаимное расположение плоскостей

Задача 1 Составить уравнение плоскости, заданное нормальным вектором и проходящей через точку .

Решение. Уравнение плоскости проходящей через точку с нормальным вектором , который перпендикулярен плоскости находится по формуле

Ответ.

Задача 2 Составить уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно прямой, проходящей через точки и .

Решение.

Так как вектор перпендикулярен плоскости, то он может являться нормальным вектором для плоскости. Уравнение плоскости проходящей через точку с нормальным вектором , который перпендикулярен плоскости находится по формуле

Рисунок 39

Найдем координаты вектора . и . Подставим в данную формулу

Ответ. .

Задача 3 Составить уравнение плоскости , проходящей через точки , , .

Решение.

Уравнение плоскости , проходящей через 3точки , ,

Рисунок 40

Рассмотрим точку лежащую на плоскости.

Вектора , , - компланарны их смешанное произведение равно 0, т.е. ( , , )=0. Так как точки , , , получим

, .

Ответ.

Задача 4 Составить уравнение плоскости , проходящей через точки и параллельно вектору .

Решение.

Рассмотрим любую точку лежащую в плоскости и рассмотрим три вектора , и . Эти три вектора , , лежат в плоскости , а значит они компланарны. Смешанное произведение трех

векторов равно 0, т.е. ( , , )=0.

Рисунок 41

Найдем координаты векторов , .

Ответ.

Задача 5 Составить уравнение плоскости , проходящей через точку , параллельно вектору и параллельно вектору .

Решение.

Рассмотрим любую точку , лежащую в плоскости . При помощи параллельного переноса Рисунок 42 вектора и перенесем в плоскость . Рассмотрим три

вектора , , . Эти вектора лежат в плоскости , т.е. они компланарны. По признаку компланарности трех векторов их смешанное произведение равно 0, т.е. ( , , )=0. Так как , , , найдем координаты вектора . Подставим координаты векторов в формулу .

Ответ.

Задача 6 Составить уравнение плоскости проходящей через точку параллельно плоскости .

Решение.

Так как плоскости параллельны, то их нормальные вектора коллинеарны , значит для плоскости нормальный вектор может быть вектор . Воспользуемся формулой

- уравнение плоскости, Рисунок 43

проходящей через точку

с нормальным вектором . Подставив данные значения, получим

, .

Ответ.

Задача 7 Составить уравнение плоскости проходящей через точки и , перпендикулярно плоскости .

Рисунок 44

Решение.

Так как плоскости перпендикулярны то, нормальный вектор является направляющим вектором для плоскости . Рассмотрим точку лежащую в плоскости . Три вектора , и - компланарны. Смешанное произведение трех векторов равно 0, т.е.

( , , )=0. Воспользуемся формулой

Подставив данные значения в формулу, получим

Ответ.

Задача 8 Докажите параллельность плоскостей и , если плоскости заданы уравнениями : , : .

Решение. Так как две плоскости параллельны, то их нормальные вектора коллинеарны .

, .

Вектора коллинеарны, следовательно, плоскости параллельны.

Задача 9 Докажите перпендикулярность плоскостей и , если плоскости заданы уравнениями : , : .

Решение. Так как две плоскости перпендикулярны, то их нормальные вектора перпендикулярны, т.е. их скалярное произведение равно 0.

плоскости и перпендикулярны.

Задача 10 Найдите значения и при которых плоскость параллельна плоскости , если плоскости заданы уравнениями : и : .

Решение.

Плоскость с нормальным вектором .

Так как две плоскости параллельны, то их нормальные вектора коллинеарны

Ответ.

Задача 11 При каком значении плоскости и перпендикулярны, если плоскости заданы уравнениями : и : .

Решение.

Плоскость с нормальным вектором . Плоскость с нормальным вектором .

Так как две плоскости перпендикулярны, то их нормальные вектора перпендикулярны и скалярное произведение этих векторов равно 0.

Ответ.

Задача 12 Определить двугранный угол, образованный пересечением плоскостей и , если плоскости заданы уравнениями : и : .

Решение.

Углом между плоскостями в пространстве называется угол между нормальными векторами этих плоскостей. Две плоскости и заданы уравнениями и , где , . Плоскость с нормальным вектором . Плоскость с нормальным вектором . Наименьший, из двух смежных углов, образованных этими плоскостями, находится по формуле:

Ответ.

Задача 13 Записано ли следующее уравнение плоскости в нормальном виде : ?

Решение.

Нормальное уравнение плоскости .

Общее уравнение плоскости приводится к нормальному виду путем умножения на нормирующий множитель

знак перед дробью берется противоположным знаку свободного члена .

Найдем координаты нормального вектора .

. Так как , то .

Данное уравнение записано в нормальном виде

Ответ.

Задача 14 Привести уравнение плоскости к нормальному виду .

Решение.

Нормальное уравнение плоскости .

Общее уравнение плоскости приводится к нормальному виду путем умножения на нормирующий множитель

; знак перед дробью берется противоположным знаку свободного члена . , .

Так как , то . Так как нормирующий множитель ,

, .

Ответ.

Задача 15 Найти и , если плоскость задана уравнением .

Решение. Уравнение плоскости в нормальном виде: . Приведем данное уравнение к нормальному виду. . Так как , то нормирующий множитель . Умножим общее уравнение плоскости на нормирующий множитель , .

Ответ.

Задача 16 Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через три данные точки , , .

Решение. Расстояние от точки до плоскости : находим по формуле: .

Сначала найдем уравнение плоскости, проходящей через три различные точки: , , .

Ответ.

Задача 17 Найти расстояние между параллельными плоскостями и если плоскости заданы уравнениями : и : .

Решение. Для того чтобы найти расстояние между параллельными плоскостями, необходимо рассмотреть точку в одной из плоскостей и найти расстояние от этой точки до другой плоскости.

Найдем любую точку в плоскости . Пусть и , тогда . . Расстояние от точки до плоскости : находим по формуле: