Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости степенных рядов.

Лекция № 2 Степенные ряды. Интервал сходимости.

Глава 2. Функциональные ряды.

Основные понятия.

Определение 6. Ряд вида

где – функция от x, называется функциональным рядом.

Придавая определённое значение , получим числовой ряд

который может, как сходится, так и расходится.

Точка называется точкой сходимости функционального ряда (18), если числовой ряд (19) сходится.

Точка называется точкой расходимости функционального ряда (18), если числовой ряд (19) расходится.

Совокупность значений аргумента x , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

Совокупность значений аргумента x , при которых функциональный ряд расходится, называется его областью расходимости.

В области сходимости ряда его сумма является некоторой функцией от х.

Составим n -ю частичную сумму функционального ряда в области сходимости:

Если ряд сходится при некотором значении , то

где функция – сумма функционального ряда (18).

Остатком ряда называется выражение вида:

(21)

В области сходимости ряда для всех x выполняется равенство:

Равномерная сходимость ряда. Свойства равномерно сходящихся рядов

Определение 7. Функциональный ряд

называется мажорируемым в некоторой области изменения х, если существует такой сходящийся числовой ряд

с положительными членами, что для всех значений х из данной области выполняются соотношения

(23)

Пример 23. Ряд

мажорируемый на всей числовой оси , так как для всех значений х выполняется неравенство

Обобщённый гармонический ряд с показателем степени сходится.

Теорема 10. Признак равномерной сходимости (признак Вейерштрасса)

Пусть функциональный ряд

мажорируем на отрезке : . Знакоположительный числовой ряд

сходится. Пусть – сумма функционального ряда, – сумма n первых членов этого ряда. Тогда для каждого как угодно малого числа найдётся положительное число N такое, что при всех выполнятся неравенство , при любом .

Определение 7. Функциональный ряд

называется равномерно сходящимся рядом на отрезке , если для любого как угодно малого числа найдётся такой номер N, что при всех будет выполняться неравенство , для любого .

Свойства равномерно сходящихся рядов

1. Если члены равномерно сходящегося на отрезке функционального ряда непрерывны, то его сумма также непрерывна на отрезке .

2. Если члены равномерно сходящегося на отрезке функционального ряда непрерывны, то ряд интегралов

где , сходится равномерно на отрезке и имеет суммой функцию

3. Пусть функциональный ряд сходится на отрезке и его члены имеют непрерывные производные. Тогда ряд, полученный после почленного дифференцирования, сходится равномерно на отрезке и его сумма равна производной от суммы данного ряда:

Иначе говоря, равномерно сходящиеся ряды можно почленно интегрировать и дифференцировать.

Пример 24. Доказать равномерную сходимость функционального ряда на всей числовой оси.

Рассмотрим общий член ряда . Функция ограниченная: , тогда , при всех значениях n. Числовой ряд сходится, как убывающая геометрическая последовательность. Следовательно, функциональный ряд сходится равномерно.

Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости степенных рядов.

Частным случаем функциональных рядов является степенной ряд, который имеет большое значение в математике и её приложениях.

Определение 7. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

где – коэффициенты ряда, постоянные числа, общий член ряда .

Ряд (24) расположен по степеням . Рассматривают ряд и по степеням :

где некоторое постоянное число. При получим ряд (24).

Если дан степенной ряд, по возникает вопрос: при каких значениях ряд сходится или расходится. Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема.

Теорема 11. (теорема Н. Абеля)

Если степенной ряд (24) сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях , удовлетворяющих неравенству .

Если степенной ряд (24) расходится при , то он расходится при всех значениях , удовлетворяющих неравенству .

Из теоремы Абеля следует, что если точка – точка сходимости степенного ряда, то – интервал сходимости. Число называется радиусом сходимости.

Если точка – точка расходимости степенного ряда, то – интервал расходимости.

Для нахождения интервала и радиуса сходимости степенного ряда (24) (или (25)) составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда. К составленному знакоположительному ряду применим признак Даламбера.

Допустим, что существует предел:

Если ряд сходится, то

Выразим х

Радиус абсолютной сходимости степенного ряда (24):

Аналогично, применяя радикальный признак Коши, имеем:

Радиус абсолютной сходимости степенного ряда (24):

Замечания.

1. Если , то , степенной ряд сходится на всей числовой оси.

2. Если , то , степенной ряд (24) сходится в точке .

3. Интервал сходимости степенного ряда (25) находится из условия: или .

4. В каждом случае необходимо проверять сходимость степенного ряда на концах интервала.

Свойства степенных рядов.

1. Сумма степенного ряда (24) является непрерывной функцией в интервале сходимости .

2. Степенные ряды и , с радиусами сходимости и соответственно, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости полученных рядов .

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать.

4. Степенной ряд можно почленно интегрировать внутри интервала сходимости .

Интервал сходимости полученных рядов в пунктах 3 и 4 остаётся тем же.

Пример 25.

Найти интервал сходимости степенного ряда:

Применим признак Даламбера:

Предел отношения:

Получили , тогда интервал сходимости . Внутри интервала степенной ряд сходится абсолютно.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

При получим числовой ряд , он расходится, как гармонический ряд.

При получим числовой ряд , он сходится условно по признаку Лейбница.

Интервал сходимости степенного ряда: .

Пример 26.

Найти интервал сходимости степенного ряда:

Общий член ряда . Применим радикальный признак Коши:

Раскроем модуль: . Получаем интервал сходимости . Внутри интервала степенной ряд сходится абсолютно.

Проверим сходимость ряда на концах интервала.

При получим ряд . Числовой ряд расходится, не выполнен необходимый признак сходимости.

При получим ряд . Знакопеременный числовой ряд расходится, не выполнен необходимый признак сходимости.

На концах степенной ряд расходится. Интервал сходимости .

Пример 27. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда:

Общий член ряда , коэффициент . По радикальному признаку Коши радиус равен:

Следовательно, степенной ряд сходится в одной точке .

Пример 28. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда:

Общий член ряда , коэффициент , . По признаку Даламбера имеем:

Радиус сходимости , интервал сходимости , или . Внутри интервала степенной ряд сходится абсолютно.

Проверим сходимость ряда на концах интервала.

При получим ряд . Числовой ряд расходится как аналог гармонического ряда.

При получим ряд . Знакопеременный числовой ряд сходится условно по признаку Лейбница.

Интервал сходимости .

Дата добавления: 2021-11-30; просмотров: 33; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!