Проверка системы уравнений на совместность
Тема: Системы линейных уравнений. Решение задач по линейной алгебре, решения произвольной системы линейных уравнений.
Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида
(1)
Решением системы (1) называется такая совокупность n чисел
,
при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
Решить систему означает найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет.
СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она решений не имеет.
Если совместная система имеет только одно решение, то она называется определенной, и неопределенной, если она имеет более чем одно решение.
Например, система уравнений
совместная и определенная, так как имеет единственное решение 
; система
несовместная, а система
совместная и неопределенная, так как имеет более одного решения
( 
, где 
– любое число).
Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. В частности, две несовместные системы считаются эквивалентными.
Основной матрицей СЛАУ (1) называется матрица А размера 
, элементами которой являются коэффициенты при неизвестных данной системы, то есть
.
Матрицей неизвестных СЛАУ (1) называется матрица-столбец Х, элементами которой являются неизвестные системы (1):
|
|
|
.
Матрицей свободных членов СЛАУ (1) называется матрица-столбец В, элементами которой являются свободные члены данной СЛАУ:
.
С учетом введенных понятий СЛАУ (1) можно записать в матричном виде 
или
.
Одним из наиболее эффективных и универсальных методов решений СЛАУ является метод Гаусса .
Процесс решения системы линейных алгебраических уравнений по методу Гаусса состоит из двух этапов.
Первый этап (прямой ход метода)–система приводится к треугольному виду.
Второй этап (обратный ход)–неизвестные определяются последовательно,начиная с последнего неизвестного и заканчивая первым.
Пример. Найдите общее решение системы уравнений
Решение. Запишем расширенную матрицу системы:
Ко второй строке прибавим первую, умноженную на 
, к третьей строке прибавим
первую, умноженную на 
, к четвертой строке прибавим первую, умноженную на 
:
Вторую строку, умноженную на 
, прибавим к третьей:
В третьей строке все элементы 
равны нулю, а элемент 
. Значит, система
несовместна.
Ответ. Система несовместна.
|
|
|
Примеры решения систем линейных уравнений
Условие задачи
Проверьте совместность системы линейных уравнений и в случае совместности решите ее тремя способами:
- по формулам Крамера;
- матричным методом (с помощью обратной матрицы);
- методом Гаусса.
Решение задачи
Проверка системы уравнений на совместность
Проверим систему уравнений на совместность. Для этого приведем расширенную матрицу системы к диагональному виду. Умножим 1-ю строку на 2, 2-ю строку на 6, 3-ю строку на 3. Вычтем 1-ю строку из 2-й, 3-й.
Упростим строки, для этого 1-ю строку разделим на 2, 2-ю строку разделим на 2. Умножим 2-ю строку на -2, 3-ю строку на 5. Вычтем 2-ю строку из 3-й.
Упростим строки, для этого 2-ю строку разделим на -2, 3-ю строку разделим на 39.
Минор 3-го порядка основной матрицы системы не равен нулю. Ранг основной матрицы системы равен 3. Минор 3-го порядка расширенной матрицы системы не равен нулю. Ранг расширенной матрицы системы равен 3. Ранги основной и расширенной матрицы системы равны -по теореме Кроннекера-Капели система уравнений совместна.
Дата добавления: 2023-01-08; просмотров: 90; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!