Задания муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике в 2011-2012 учебном году
Задания муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике в 2011-2012 учебном году
Класс
1. A, B, C, D – четыре последовательные цифры (в порядке возрастания). Четырьмя звёздочками обозначено число, состоящее из тех же цифр A, B, C, D в каком-то порядке. Решите числовой ребус: 
2. Есть 100 карточек, у каждой одна сторона черная, а другая белая. Карточки лежат на столе белой стороной вверх. Костя перевернул 50 карточек, затем Серёжа перевернул 60 карточек, а после этого Оля перевернула 70 карточек, и наконец, Дима перевернул 80 карточек. В результате все карточки оказались повёрнуты чёрной стороной вверх. Сколько карточек было перевёрнуто только один раз? А сколько три раза? Приведите все возможные ответы и докажите, что других нет.
3. На доске выписано число 181818…18 (всего 100 цифр: 50 единиц и 50 восьмёрок). Вова вычеркнул из него 13 цифр. Может ли оказаться, что полученное число будет кратно 7?
4.Разрежьте приведённую на рисунке картинку на четыре равные части, повредив при этом как можно меньше костей домино. (Не забудьте объяснить, почему нельзя обойтись меньшим число повреждённых костей домино.)
5. Деревня рыцарей и лжецов на карте имеет вид клетчатого квадрата 6×6, в каждой клетке живет один человек – рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда врут. Соседними считаются клетки примыкающие друг к другу по стороне или углу. Каждый житель сказал: Среди моих соседей нечётное число лжецов. Доказать, что количество лжецов в деревне чётно.
|
|
|
Класс
1. A, B, C, D – четыре последовательные цифры (в порядке возрастания). Четырьмя звёздочками обозначено число, состоящее из тех же цифр A, B, C, D в каком-то порядке. Решите числовой ребус:
2. Есть 100 карточек, у каждой одна сторона черная, а другая белая. Карточки лежат на столе белой стороной вверх. Костя перевернул 50 карточек, затем Серёжа перевернул 60 карточек, а после этого Оля перевернула 70 карточек, и наконец, Дима перевернул 80 карточек. В результате все карточки оказались повёрнуты чёрной стороной вверх. Сколько карточек было перевёрнуто только один раз? А сколько три раза? Приведите все возможные ответы и докажите, что других нет.
3. На доске выписано число 181818…18 (всего 100 цифр: 50 единиц и 50 восьмёрок). Вова вычеркнул из него 13 цифр. Может ли оказаться, что полученное число будет кратно 7?
4. Разрежьте приведённую на рисунке картинку на четыре равные части, повредив при этом как можно меньше костей домино. (Не забудьте объяснить, почему нельзя обойтись меньшим число повреждённых костей домино.)
5. Деревня рыцарей и лжецов на карте имеет вид клетчатого квадрата 6×6, в каждой клетке живет один человек – рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда врут. Соседними считаются клетки примыкающие друг к другу по стороне или углу. Каждый житель сказал: Среди моих соседей нечётное число лжецов. Доказать, что количество лжецов в деревне чётно.
|
|
|
Класс
1. A, B, C, D – четыре последовательные цифры (в порядке возрастания). Четырьмя звёздочками обозначено число, состоящее из тех же цифр A, B, C, D в каком-то порядке. Решите числовой ребус:
2. Есть 100 карточек, у каждой одна сторона черная, а другая белая. Карточки лежат на столе белой стороной вверх. Костя перевернул 50 карточек, затем Серёжа перевернул 60 карточек, а после этого Оля перевернула 70 карточек, и наконец, Дима перевернул 80 карточек. В результате все карточки оказались повёрнуты чёрной стороной вверх. Сколько карточек было перевёрнуто только один раз? А сколько три раза? Приведите все возможные ответы и докажите, что других нет.
3. На доске выписано число 181818…18 (всего 100 цифр: 50 единиц и 50 восьмёрок). Вова вычеркнул из него 13 цифр. Может ли оказаться, что полученное число будет кратно 7?
4. Разрежьте приведённую на рисунке картинку на четыре равные части, повредив при этом как можно меньше костей домино. (Не забудьте объяснить, почему нельзя обойтись меньшим число повреждённых костей домино.)
|
|
|
5. Деревня рыцарей и лжецов на карте имеет вид клетчатого квадрата 6×6, в каждой клетке живет один человек – рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда врут. Соседними считаются клетки примыкающие друг к другу по стороне или углу. Каждый житель сказал: Среди моих соседей нечётное число лжецов. Доказать, что количество лжецов в деревне чётно.
Класс
1. A, B, C, D – четыре последовательные цифры (в порядке возрастания). Четырьмя звёздочками обозначено число, состоящее из тех же цифр A, B, C, D в каком-то порядке. Решите числовой ребус:
2. Есть 100 карточек, у каждой одна сторона черная, а другая белая. Карточки лежат на столе белой стороной вверх. Костя перевернул 50 карточек, затем Серёжа перевернул 60 карточек, а после этого Оля перевернула 70 карточек, и наконец, Дима перевернул 80 карточек. В результате все карточки оказались повёрнуты чёрной стороной вверх. Сколько карточек было перевёрнуто только один раз? А сколько три раза? Приведите все возможные ответы и докажите, что других нет.
3. На доске выписано число 181818…18 (всего 100 цифр: 50 единиц и 50 восьмёрок). Вова вычеркнул из него 13 цифр. Может ли оказаться, что полученное число будет кратно 7?
|
|
|
4. Разрежьте приведённую на рисунке картинку на четыре равные части, повредив при этом как можно меньше костей домино. (Не забудьте объяснить, почему нельзя обойтись меньшим число повреждённых костей домино.)
5. Деревня рыцарей и лжецов на карте имеет вид клетчатого квадрата 6×6, в каждой клетке живет один человек – рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда врут. Соседними считаются клетки примыкающие друг к другу по стороне или углу. Каждый житель сказал: Среди моих соседей нечётное число лжецов. Доказать, что количество лжецов в деревне чётно.
Задания муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике в 2011-2012 учебном году
Класс
1. Доказать, что при любом натуральном n число
является квадратом рационального числа.
2. Можно ли выписать друг за другом четырнадцать трехзначных чисел так, чтобы каждое число было меньше следующего за ним, но его сумма цифр была бы больше, чем у следующего за ним?
3. На праздник пришло несколько детей, некоторые из них с мамами, всего 30 человек. Оказалось, что детей, пришедших без мам, на десять меньше, чем остальных детей. Сколько мам пришло на праздник? Приведите все варианты и объясните, почему нет других.
4. Диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Пусть H точка пересечения высот остроугольного треугольника ADC. Оказалось, что DH=BO и ÐCAB=ÐCDB. Доказать, что H – середина отрезка DO.
5. Деревня рыцарей и лжецов на карте имеет вид клетчатого квадрата 9×9, в каждой клетке живет один человек – рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда врут. Соседними считаются клетки, примыкающие друг к другу по стороне или углу. Каждый житель сказал: Среди моих соседей нечётное число лжецов. Чётно или нечётно количество лжецов в деревне?
Класс
1. Доказать, что при любом натуральном n число
является квадратом рационального числа.
2. Можно ли выписать друг за другом четырнадцать трехзначных чисел так, чтобы каждое число было меньше следующего за ним, но его сумма цифр была бы больше, чем у следующего за ним?
3. На праздник пришло несколько детей, некоторые из них с мамами, всего 30 человек. Оказалось, что детей, пришедших без мам, на десять меньше, чем остальных детей. Сколько мам пришло на праздник? Приведите все варианты и объясните, почему нет других.
4. Диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Пусть H точка пересечения высот остроугольного треугольника ADC. Оказалось, что DH=BO и ÐCAB=ÐCDB. Доказать, что H – середина отрезка DO.
5. Деревня рыцарей и лжецов на карте имеет вид клетчатого квадрата 9×9, в каждой клетке живет один человек – рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда врут. Соседними считаются клетки, примыкающие друг к другу по стороне или углу. Каждый житель сказал: Среди моих соседей нечётное число лжецов. Чётно или нечётно количество лжецов в деревне?
Класс
1. Доказать, что при любом натуральном n число
является квадратом рационального числа.
2. Можно ли выписать друг за другом четырнадцать трехзначных чисел так, чтобы каждое число было меньше следующего за ним, но его сумма цифр была бы больше, чем у следующего за ним?
3. На праздник пришло несколько детей, некоторые из них с мамами, всего 30 человек. Оказалось, что детей, пришедших без мам, на десять меньше, чем остальных детей. Сколько мам пришло на праздник? Приведите все варианты и объясните, почему нет других.
4. Диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Пусть H точка пересечения высот остроугольного треугольника ADC. Оказалось, что DH=BO и ÐCAB=ÐCDB. Доказать, что H – середина отрезка DO.
5. Деревня рыцарей и лжецов на карте имеет вид клетчатого квадрата 9×9, в каждой клетке живет один человек – рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда врут. Соседними считаются клетки, примыкающие друг к другу по стороне или углу. Каждый житель сказал: Среди моих соседей нечётное число лжецов. Чётно или нечётно количество лжецов в деревне?
Класс
1. Доказать, что при любом натуральном n число
является квадратом рационального числа.
2. Можно ли выписать друг за другом четырнадцать трехзначных чисел так, чтобы каждое число было меньше следующего за ним, но его сумма цифр была бы больше, чем у следующего за ним?
3. На праздник пришло несколько детей, некоторые из них с мамами, всего 30 человек. Оказалось, что детей, пришедших без мам, на десять меньше, чем остальных детей. Сколько мам пришло на праздник? Приведите все варианты и объясните, почему нет других.
4. Диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Пусть H точка пересечения высот остроугольного треугольника ADC. Оказалось, что DH=BO и ÐCAB=ÐCDB. Доказать, что H – середина отрезка DO.
5. Деревня рыцарей и лжецов на карте имеет вид клетчатого квадрата 9×9, в каждой клетке живет один человек – рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда врут. Соседними считаются клетки, примыкающие друг к другу по стороне или углу. Каждый житель сказал: Среди моих соседей нечётное число лжецов. Чётно или нечётно количество лжецов в деревне?
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 483; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!