Функция распределения дискретной случайной величины.

Пусть известен закон распределения дискретной случайной величины:

тогда вероятность того, что случайная величина примет значение из некоторого фиксированного множества М определится так:

. (2.4)

Пусть - дискретная случайная величина, имеющая n возможных значений и известны вероятности .

Найдем функцию распределения этой случайной величины при различных значениях аргумента .

По формуле (2.4) и определении (ф.2.2)) имеем:

(2.5)

(суммируются вероятности , соответствующие значениям, меньшим данного ).

Заметим, что если , то , т.е. нет ни одного значения и, значит, неравенство - невозможное событие и его вероятность равна 0:

Если , то неравенство выполняется лишь при и, следовательно:

Пусть теперь . Тогда по формуле (2.5):

И, наконец, если , то

График функции распределения дискретной случайной величины представляет собой график неубывающей функции, значения которой начинаются от 0 и доходят до 1, причем в точках функция имеет разрывы первого рода (скачки) (рис.1).

F(x)

Рис.1

Непрерывные случайные величины.

Плотность распределения вероятности случайной величины.

Случайная величина называются непрерывной, если ее возможные значения сплошь заполняют конечный или бесконечный промежуток.

Теорема:

Если функция распределения непрерывна в точке , то

. (2.6)

■ Рассмотрим вероятность попадания случайной величины в бесконечно малый интервал, содержащий точку :

( по ф. (2.2))

Перейдем к пределу при , :

но если функция непрерывна в точке , то

и .■

Отсюда следует, что если непрерывна в точке a, то:

. (2.7)

Замечание: Если функция непрерывна в точке b, то оба строгих неравенства в формуле (2.5) можно заменить нестрогими.

Если функция распределения дифференцируема для всех x R то ее производная

(2.8)

называется плотностью распределения вероятности случайной величины X.

Согласно определению, является первообразной для плотности вероятности случайной величины :

следовательно:

. (2.9)

Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в заданный интервал равна площади криволинейной трапеции S, ограниченной осью абсцисс, прямыми , графиком функции , который называется кривой распределения вероятностей (рис.2).

Полагая , получим , т.е. формулу для вычисления функции распределения непрерывной случайной величины:

. (2.10)

Свойства плотности распределения:

1° ;

2° - свойство нормировки.

Рис.2

Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание

Задача. Пусть имеется игра (например, лотерея), в которой можно выиграть некоторую сумму с вероятностью , с вероятностью ,… с вероятностью . Среди может быть нулевое значение – отсутствие выигрыша и отрицательное – проигрыш. Таким образом, выигрыш в игре можно рассматривать как дискретную случайную величину X, ряд которой задается числами и .

Вопрос: Насколько выгодна игра, т.е. каково “среднее ожидаемое” значение выигрыша?

Это можно представить так. Пусть некто участвует в игре достаточно большое число N раз и - количество получений выигрыша . Тогда общий суммарный выигрыш N игр составит

а средний выигрыш за одну игру

где - частота события в N испытаниях.

Если имеется статистическая устойчивость, то по статистическому определению вероятности при достаточно большом N частота события приближенно равна соответствующей вероятности, т.е.

а средний выигрыш приближенно равен:

В теории вероятности его называют математическим ожиданием случайной величины X.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X, имеющей n возможных значений , называется число :

, (3.1)

где .

Если множество значений дискретной случайной величины бесконечно (счетно), то сумма (1) задается рядом

, (3.2)

который сходится абсолютно.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, имеющей плотность вероятности , называется число :

- (3.3)

интеграл сходится абсолютно.

Замечание. Если ряд (2) и интеграл (3) не сходятся, то математического ожидания случайной величины не существует.

Математическое ожидание характеризует “среднее” значение случайной величины. Так, если случайная величина есть ошибка измерения некоторой физической величины, т.е. разность между показаниями прибора и истинным значением, то случай, когда >0 означает, что “в среднем” прибор будет давать завышенные показания, а <0 – заниженные. Таким образом, математическое ожидание ошибки измерения можно назвать систематической ошибкой. Отсутствие ошибки: =0.

Механический смысл:

Закон распределения можно интерпретировать как расположение на прямой в точках точечных масс, равных , где . В этом случае - центр масс (центр тяжести). Аналогично интерпретируется формула (3.3): здесь единичная масса непрерывно распределена вдоль оси Ox с линейной плотностью .

Свойства математического ожидания:

1° если – const, то ,

2° ,

3° ,

4° если X и Y – независимые случайные величины, то .

Дисперсия

Дисперсией случайной величины X называется число, обозначаемое и равное математическому ожиданию квадрата разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием:

. (3.4)

Дисперсия вычисляется по формулам:

Механический смысл:

- это момент инерции масс относительно центра тяжести. Таким образом, характеризует место, вокруг которого группируются массы , а - степень разбросанности масс около .

Свойства дисперсии:

1° >0,

2° если – const, то ,

3° ,

4° если X и Y – независимые случайные величины, то .

Наряду с дисперсией, имеющей размерность квадрата случайной величины, для той же цели используется так называемое среднеквадратичное отклонение случайной величины:

, (3.7)