Минимум и максимум функции двух переменных
Чтобы найти мин. и макс. функции в замкнутой области необходимо: 1) найти точку возможного экстремума. Принадлежащей данной области, вычислить значение функции Z; 2) найти условные экстремумы на границах области, вычислить в них значение функции; 3) вычислить значение функции в вершинах, если область их имеет.
Неопределённый интеграл
Определение: Если функция F(x) – первообразная для f(x) на промежутке (a;b), то множество функций F(x)+C – неопределённый интеграл от f(x).
∫f(x)dx=F(x)+C, где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, dx – переменная интегррования.
48. Основные свойства неопределённого интеграла:
1) Производная от неопределенного интеграла = подынтегральной функции.
2) Дифференциал от неопределённого интеграла = подынтегральному выражению.
3) Постоянный множитель м.б. вынесен из под знака интерала.
4) Интеграл от алгебраической суммы/разности функций = алгебраической сумме/разности интегралов. Справедливо для любого конечного количества слогаемых.
Таблица основных интегралов
Метод подстановки
Методом подстановки (заменой переменной) называется метод, при котором введение новой переменной позволяет свести исходный интеграл к табличному.
Теорема: Пусть функция x=j(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т, и пусть Х-множество значений этой функции. На множестве Х определена функция y=f(x), тогда если на Х функция f(x) имеет первообразную, то на Т справедлива формула: 
|
|
|
Метод интегрирования по частям
Теорема: Пусть функции U(x) и V(x) определены и дифференцируемы, на множестве Х и пусть функция U’(x)*V(x) имеет первообразную на этом промежутке, тогда на Х функция U(x)*V’(x) так же имеет первообразную и справедлива формула: 
. Док-во: [U(x)V(x)]’=U’(x)V(x)+U(x)V’(x) => U(x)V’(x)=-U’(x)V(x)+[U(x)V(x)]’, интегрируя обе части получаем:
Определённый интеграл (определение, геометрический смысл)
Пусть y=f(x), определена на отрезке [a;b]:
Разобьём этот отрезок на n произвольных частей точками a=x0<x1<x2<…<xi-1<xi<…<xn=b, причём отрезки не обязательно равные. На каждом отрезке выберем произвольную точку xiÎ[ xi-1;xi], найдём жначение функции f в точке xi. Обозначим Dxi растояние между точками xi и xi-1. найдём соответствующее произведение: f(xi)Dxi. Составим сумму этих произведений: 
Сумма такого сида называется интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a;b]. Обозначим в качестве 
.
Определние: если существует конечный предел интегральной суммы при l®0, то этот предел называется определёенным интегралом от функции y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначается: 
.
Теорема Коши: Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то определённый интеграл существует.
|
|
|
Геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции, ограниченной с верху функцией y=f(x), с низу осью Ох, и по бокам прямыми х=а, х=b.
Формула Ньютона-Лейбница.
Если функция y=f(x) непрерывна на [a;b] и F(x) – какая либо первообразная функции на [a;b], т.е. F’(x)=f(x), то имеет место формула: 
Док-во: рассмотрим разность F(b)-F(a)=F(xn)-F(x0)=[F(x n)-F(x n-1)]+[F(x n-1)-F(x n-2)]+…+[F(x2)-F(x1)]+[F(x1)-F(x0)]. Разложим каждую скобку по формуле Лагранжа: F’(xn)(xn-x n-1)+ F’(x n-1)(x n-1- x n-2)+…+ F’(x2)(x2-x1)+ F’(x1)(x1-x0)=f(xn)Dxn+ f(xn-1)Dxn-1+…+ f(x2)Dx2+ f(x1)Dx1= 
- интегральная сумма.
По теореме Коши т.к. функция непрерывна, то определённый интеграл существует. Так 
.
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 636; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!