Умножение чисел десятого десятка друг на друга («воздушный счет»).
Например:
97
Находим дополнения этих чисел до 100, получаем соответственно 3 и 7. От первого множителя отнимаем дополнение второго (97 – 7 = 90) или от второго - дополнение первого (93 – 3 = 90). Это первые две цифры искомого произведения. Две другие получаются при перемножении дополнений (7 . Итак, получаем 97
Схематически это выглядит так:
3
93 7
90 21
Например:
92
8
99 1
91 08
Умножение на 5, 50.
; .
Умножение на 25, 250.
, .
Деление на 5 и 50.
; .
Деление на 25 и 250.
; .
Умножение на 9,99, 999 и т.д.
В этом случае умножение сводится к умножению на 10, 100, 1000 и т.д. и вычитанию из полученного произведения первого множителя.
Например:
68 ;
85 ;
85 .
Сложение столбцами.
Сумма цифр каждого разряда складывается отдельно. Цифра десятков в сумме предыдущего разряда складывается с цифрой единиц последующей суммы.
Например:
276 827 129 26 15 14 . 1576 | 493 97246 46527 16 15 11 13 13 . 144266 |
II. Свойства квадратного уравнения. Метод переброски. Применение теоремы Виета и обратной ей теоремы.
Большое значение имеет умение учащихся быстро находить корни приведенного квадратного уравнения по теореме, обратной теореме Виета.
|
|
Сложнее определить корни полного квадратного уравнения. При решении таких уравнений можно использовать метод «переброски», позволяющих свести задачу к нахождению целых корней вспомогательного уравнения. Этот метод состоит в следующем.
Пусть требуется решить квадратное уравнение .
Для него , .
Умножив обе части данного уравнения на а, перепишем его в виде .
Введем замену у = ах, тогда в полученном уравнении , , .
Для решения исходного уравнения, достаточно решить вспомогательное уравнение . И его корни разделить на а.
Например:
1. Решите уравнение 6 + х – 15 = 0.
Решение:
Запишем вспомогательное уравнение - 90 = 0. Его корни .
Следовательно, исходное уравнение имеет корни
2. Решите уравнение 12 + 13х + 3 = 0.
Решение:
Запишем вспомогательное уравнение + 36 = 0. Его корни .
Следовательно, исходное уравнение имеет корни
В дальнейшем, по мере накопления учащимся опыта в применении указанного приема можно не записывать вспомогательное уравнение, а проводить «мысленные» рассуждения: «Чтобы решить уравнение 3 - 11х + 6 = 0, надо подобрать два числа, сумма которых 11, произведение 18. Это 2 и 9. Следовательно, корни данного уравнения и 3»
Этот прием можно использовать и при решении квадратных неравенств, разложении квадратного трехчлена на множители, при нахождении области определения функции, при решении уравнений, сводящимся к квадратным, в решении тригонометрических и логарифмических уравнений.
|
|
Например:
1. Разложите квадратный трехчлен на множители: 2 + 7х – 4.
Решение:
2х2 + 7х -4 = 0 Запишем вспомогательное уравнение у2 +7у -8 = 0. Его корни у1=-8, у2 = 1. Исходное уравнение имеет корни х1 = -4, х2 =
Ответ : 2х2 +7х – 4 = 2(х+4)(х- )
А) 2(х – 2) (х + 3).
В) 2(х – 1/2) (х + 4).
С) -2(х – 1/2) (х + 1/3).
D) -2(х + 3) (х + 4).
E) 2(х + 0,5) (х - 4).
(Вариант-4 №2 2003г.)
2. Решите неравенство: 5 + 9х – 2 < 0.
A) .
B)
C)
D) (-2; 0).
E)
(Вариант-35 №7 2004г.)
3. Решите неравенство: 2
А)
В) Нет решений.
С)
D)
Е)
(Вариант-22 №3 2005г.)
4. Решите неравенство: 4
А)
В)
С)
D)
Е)
(Вариант-30 №15 2005г.)
5. Решите систему неравенств:
А) (2; 5).
В) (-3; 1,5).
С) (-1; 0,25).
D) (1; -3).
Е) (0,75; + ).
(Вариант-25 №20 2007г.)
6. Решите систему неравенств:
A) Нет решений.
B)
C)
D)
E)
(Вариант-10 №22 2007г.)
7. Сколько целых решений имеет неравенство 1 - 5
А) .
В) 4.
С) 1.
D) 3.
E) 2.
(Вариант-27 №14 2002г.)
8. Решите неравенство: 2 -7х – 49 > 0.
|
|
A) .
B)
C)
D)
E)
(Вариант-32 №13 2002г.)
9. Решите систему неравенств:
А) .
В) (4; -2).
С) (-2; -1).
D) (6; -3).
E) .
(Вариант-34 №20 2006г.)
10. Решите неравенство: 5 + 9х – 2 < 0.
А) .
В) .
С) .
D) (-2; 5).
E) .
(Вариант-23 №8 2006г.)
Коды правильных ответов
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
B | B | C | D | E | A | D | D | A | A |
Использование свойств квадратного уравнения дает значительные преимущества для быстрого получения ответа при решении некоторых квадратных уравнений.
1. Если в квадратном уравнении , то
Доказательство:
По условию , .
Подставляем в уравнение .
Получаем:
Следовательно:
2. Если в квадратном уравнении , то
Например:
Решите уравнение .
.
Введем новую переменную: = t.
.
Полученное уравнение очень сложно решить «обычным» способом. Если применить метод «переброски», то получим:
В полученном уравнении сумма коэффициентов 1 – 344 + 343 = 0.
Следовательно,
Корни исходного уравнения:
Возвращаясь к прежней переменной, получим:
нет решений.
|
|
Ответ: х = 3.
Примеры:
А)
a + b + c = 0,
Б)
a + b + c = 0,
Эти свойства можно применить при решении уравнений:
1. Найдите самое наименьшее целое решение неравенства:
Указание:
В квадратном трёхчлене, стоящем в знаменателе дроби х2 +3х +2, сумма коэффициентов а-в+с=0, следовательно х1=-1, х2=-2. Получаем: х2 +3х + 2 =(х+1)(х+2).
A) 1.
B) 2.
C) -2.
D) -1.
E) 0.
(Вариант-9 №10 2004г.)
2. Решите уравнение:
A) .
B) .
C) .
D) .
E) .
(Вариант-15 №4 2004г.)
3. Решите уравнение:
A) 2; 5.
B) -3; 3.
C) 2; 6.
D) 1,5; 4.
E) 2,5; 1.
(Вариант-9 №5 2002г.)
4. Решите неравенство: -
A) [-3; 2].
B) (- .
C) [2; 3].
D) [-6; 1].
E) (- .
(Вариант-13 №15 2002г.)
5. Решите неравенство:
A) x > 0.
B) x = -1.
C) для любых х.
D) x < -1.
E) x .
(Вариант-15 №15 2002г.)
6. Решите уравнение:
A) 0,6.
B) 0.
C) -0,6.
D) 1.
E) Корней нет.
(Вариант-16 №3 2005г.)
7. Решите уравнение: -3
A) {-3; 3}.
B) {- .
C) .
D) .
E) .
(Вариант-3, №6 2005г.)
8. Решите систему неравенств:
A) .
B) .
C) нет решений.
D) .
E) .
(Вариант-21 №16 2004г.)
9. Решите уравнение:
A) .
B) .
C) .
D) .
E) .
(Вариант-30 №6 2004г.)
10. Решите уравнение:
A) -1; 9.
B) 1.
C) 9.
D) -1.
E) -9; 1.
(Вариант-5 №12 2002г.)
Коды правильных ответов
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
E | C | E | D | E | E | D | C | D | A |
При решении задач, связанных с теоремой Виета, либо теоремой, обратной теореме Виета, полезно использовать соотношения:
1.
2.
3.
Эти соотношения можно использовать при решении следующих заданий:
1. Не вычисляя корней и уравнения 2 + 5х – 3 = 0, найдите: .
Решение:
2х2+5х-3=0, перейдём к приведённому квадратному уравнению х2+2,5х-1.5=0, х1+х2=-2,5, х1х2=-1.5. Используя соотношение х12+х22=(х1+х2)2-2х1х2, получаем х12+х22=(-2,5)2-2·(-1,5)=6.25+3=9,25.
А) 10.
В) 9,25.
С) -5,7.
D) 25.
Е) 5.
(Вариант-6 №16 2007г.)
2. Вычислить , где и - корни уравнения 9 +12х +2 = 0.
А) .
В) .
С) .
D) .
Е) .
(Вариант-5 №17 2007г.)
3. Вычислите , если и различные решения уравнения
А) 14 + .
В) .
С) 14 + .
D) 14 +.
Е) 10 + 2 .
(Вариант-27 №4 2004г.)
(№593, 2006г. Тестовые задания, Кокшетау)
4. Найдите сумму квадратов корней уравнения + 3х – 15 = 0.
Ответ: = ( .
(№617 2006г. Тестовые задания, Кокшетау)
5. Найдите сумму квадратов корней уравнения 3 - 5х – 2 = 0.
Ответ: = .
(№618, 2006г. Тестовые задания, Кокшетау)
Коды правильных ответов
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
B | C | C | 39 | 5/3 |
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 809; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!