Задание для самостоятельной работы. ТЕМА 4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТЕМА 4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Введение
В теме «Неопределенный интеграл» рассматривается задача, обратная задаче о дифференцировании функций.
Задача состоит в следующем: дана функция , являющаяся производной некоторой функции ; требуется найти функцию .
К такой математической задаче приводят многие физические, химические и другие задачи, например, задача об отыскании закона равномерного движения материальной точки вдоль прямой по заданной скорости, задача о нахождении закона химической реакции по известной её скорости.
Особое значение эта тема имеет при решении дифференциальных уравнений, описывающих различные физические и механические процессы.
Для успешного усвоения навыков интегрирования надо, прежде всего, выучить наизусть таблицу интегралов и свойства интегралов.
Свойства неопределенного интеграла
(Правила интегрирования)
(1)
(2)
, следствие: (3)
, где (4)
(5)
, если , то (6)
ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ
В этой таблице использовано свойство инвариантности формы полного дифференциала , откуда
|
|
.
(1) | |
при | (2) |
(3) | |
(4) | |
(5) | |
(6) | |
(7) | |
(8) | |
(9) | |
(10) | |
(11) | |
(12) | |
(13) | |
(14) | |
(15) | |
(16) | |
(17) | |
(18) | |
(19) |
При использовании формул этой таблицы для преобразования подынтегрального выражения к виду применяются простейшие преобразования дифференциалов:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. .
Например,
.
Используя преобразования дифференциала можно дополнить свойства неопределенного интеграла:
Если то а) ;
б) ;
в) .
Занятие №1. Непосредственное интегрирование функций
Цель занятия: усвоить новые учебные элементы на уровне знаний и умения применять их к решению типовых задач.
Учебные вопросы
1. Непосредственное интегрирование.
Ход занятия
Краткая информация о новых учебных элементах
Функция называется первообразной для функции , если или .
Если функция имеет первообразную , то она имеет бесконечное множество первообразных для , причем это множество задается формулой , где постоянная.
Неопределенный интеграл от функции совокупность всех ее первообразных. Обозначение:
|
|
.
Здесь: знак интеграла;
подынтегральная функция;
подынтегральное выражение;
переменная интегрирования.
Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции.
Геометрическая иллюстрация неопределенного интеграла
геометрически представляет множество интегральных кривых вида , отличающихся друг от друга постоянным слагаемым с (рис. 1).
Рис. 1
Задача 1. В следующих равенствах заполнить пропущенные места по соображению:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
Найти затем интегралы и т.д.
Построить интегральные кривые для пунктов 1 и 2.
Решение. Рассмотрим выполнение 1 пункта:
;
.
Замечание. Интеграл находится по формуле (2) (Таблицы интегралов - Т.И.) как интеграл степенной функции. Зная, что , т.е. в данном случае .
Интегральные кривые: , где ;… (рис. 2).
Рис. 2 | , | |
, | ||
, | ||
, | ||
Остальные пункты задачи выполняются аналогично.
Задача 2. Найти интеграл: .
Решение. 1. Используя свойство (5), распишем интеграл алгебраической суммы нескольких слагаемых в виде суммы интегралов от каждого слагаемого:
.
2. По свойству (4) во втором слагаемом постоянный коэффициент 3 вынесем за знак интеграла. Используем формулы (2), (3) (Т.И.).
|
|
.
Задача 3. Найти интеграл:
.
Замечание. Если подынтегральные функции содержат выражения вида , то данные интегралы находятся по формуле (2) (Т.И.) как интегралы от степенных функций. Прежде чем применить формулу (2), необходимо произвести преобразования подынтегральных функций. Для этого воспользуемся следующими свойствами:
(1) | Пример: | по свойству (1) | ||
(2) | по свойству (2) | |||
(3) |
Решение.
.
Задача 4. Найти интегралы:
1) ;
2) .
Указание. Выполнить по образцу задачи 3, используя свойства (5), (4) и формулы (1), (2), (3) (Т.И.).
Задача 5. Найти интеграл: .
Замечание. Для нахождения интеграла следует разделить многочлен, стоящий в числителе, на знаменатель. Далее, произведя соответствующие преобразования (см. задачу 3), воспользоваться свойствами (4), (5) и формулой (2) (Т.И.).
Решение.
.
Задача 6. Найти интеграл (выполнить по образцу задачи 5):
.
Задача 7. Найти интегралы:
1) ;
2) .
Указание. В первом интеграле числитель возвести в квадрат, полученный многочлен разделить на знаменатель и после этого проинтегрировать. Во втором интеграле открыть скобки, сделать преобразования, после чего выполнить интегрирование.
|
|
Задача 8. Найти интеграл: .
Решение. Иногда, с целью сведения подынтегральной функции к табличному интегралу, используют так называемый искусственный прием (прибавляют и вычитают одно и то же число в числителе с целью создания слагаемого, кратного знаменателю).
В данном случае в числителе прибавляют и вычитают 1.
выражение не изменилось, но теперь можно преобразовать подынтегральную функцию:
.
Теперь проинтегрируем полученное выражение:
.
Задание для самостоятельной работы
Задача 9. Найти интегралы:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) .
Задача 10. Найти интегралы:
1) ;
2) ;
3) .
Указание. Для решения примеров 1 и 2 использовать тригонометрические формулы:
.
Пример 3 решить по образцу задачи 8.
Задача 11. Найти интегралы:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) .
Указание. Для решения примеров 5, 6, 7 используются формулы (12), (13), (14) (Т.И.).
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 1036; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!