Геометрический смысл определенного интеграла. определенный интеграл для непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) представляет собой в геометрическом смысле площадь соответствующей криволинейной
определенный интеграл 
для непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) представляет собой в геометрическом смысле площадь соответствующей криволинейной трапеции.
То есть, вычислив интеграл , мы найдем площадь фигуры, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=a и x=b.
Свойства определенного интеграла.
Условимся, что a < b.
1. 
. То есть, значение определенного интеграла с совпадающими пределами интегрирования равно нулю.
2. 
. При перемене верхнего и нижнего пределов интегрирования местами значение определенного интеграла меняется на противоположное.
3. 
для интегрируемых на отрезке [a;b] функций y=f(x) и y=g(x).
4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла. 
.
5. Пусть функция y=f(x) интегрируема на интервале X, причем 
, тогда
.
6. Если функция интегрируема на отрезке [a; b], то она интегрируема и на любом внутреннем отрезке 
.
7. Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a;b] и 
для любого значения аргумента 
, то 
.
8. Пусть функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a;b], тогда справедливо неравенство 
.
Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедливо равенство 
.
Эту формулу называют основной формулой интегрального исчисления.
Вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах.
Декартовые координаты
|
|
|
Площадь между графиками двух функций равна разности интегралов от этих функций в одинаковых пределах интегрирования
Площадь, заключённая между графиком непрерывной функции на интервале [a,b] и горизонтальной осью, может быть вычислена как определённый интеграл от этой функции: 
Площадь, заключённая между графиками двух непрерывных функций f(x), g(x) на интервале [a,b] находится как разность определённых интегралов от этих функций: 
Полярные координаты
В полярных координатах: площадь, ограниченная графиком функции 
и лучами 
вычисляется по формуле: 
Вычисление объема тела по известному распределению площадей поперечных сечений. Объем тела вращения.
Известны площади сечений S(x) тела 
плоскостями
Объем тела вращения:
Вычисление длины дуги плоской кривой в прямоугольных координатах, параметрически заданной кривой и в полярных координатах.
Длиной дуги кривой линии называют предел, к которому стремится длина вписанной в нее ломаной линии при неограниченном увеличении числа ее звеньев и при стремлении длины наибольшего звена к нулю.
Прямоугольные координаты:
Параметрически заданной прямой
Полярные координаты
Комплексные числа
|
|
|
Ко́мпле́ксные чи́сла — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается 
. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x+iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица.
Сложение 
Вычитание 
Умножение 
Деление 
, i*i=-1,
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 481; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!