Элементы теории классов групп.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Определение 49. Классом групп называется всякое множество групп, которое вместе с каждой своей группой содержит и все группы, изоморфные ей.

Если группа (подгруппа) принадлежит классу групп , то называют - группой (подгруппой).

Определение 50. Операцией на классах групп называется отображение множества классов групп в себя.

Произведение операций определяется следующим образом:

. И вообще: .

Рассмотрим следующие операции на классах групп:

когда является подгруппой некоторой группы, то есть отображение, которое ставит в соответствие классу групп класс групп, состоящий из всех подгрупп всех групп;

когда является нормальной подгруппой группы;

когда является гомоморфным образом некоторой группы;

когда является произведением конечного числа своих нормальных подгрупп;

когда является прямым произведением своих нормальных подгрупп;

Определение 51. Класс групп называется замкнутым относительно операции или замкнутым, если .

Определение 52. Класс групп называется:

1) замкнутым или наследственным, если , то есть всегда ;

2) замкнутым или нормально наследственным, если , то есть всегда ;

3) замкнутым или гомоморфом, если , то есть всегда ;

4) замкнутым, если , то есть если , то ;

5) замкнутым, если , то есть если

то .

Лемма 5. Для произвольного класса групп справедливо:

1) , то есть ;

2) , то есть ;

3) , то есть ;

4) ;

5) .

Теорема 9. Если класс замкнут относительно произведений нормальных подгрупп, то каждая субнормальная подгруппа группы содержится в некоторой нормальной подгруппе группы .

Следствие 1. Пусть класс замкнут относительно произведений нормальных подгрупп. Если и субнормальные подгруппы группы , то субнормальная .

Глава 2. Классы Фиттинга конечных групп.

Классы Фиттинга и их основные свойства.

Определение 53. Класс групп называется классом Фиттинга, если выполняются следующие условия:

3) из всегда следует, что (1)

4) из всегда следует, что

. (2)

Пример.Класс нильпотентных групп является классом Фиттинга.

1) Действительно, из по лемме 4 1) следует, что .

2) По лемме 4 2) из в силу выполнимости условий определения внутреннего произведения подгрупп группы следует, что .

Лемма 6. Пусть непустой класс Фиттинга. Тогда для любой группы :

1) ;

2) тогда и только тогда, когда ;

3) наибольшая нормальная подгруппа группы .

Лемма 7. Пересечение любой совокупности классов Фиттинга является классом Фиттинга.

Доказательство.

Пусть классы Фиттинга, . Покажем, что класс Фиттинга.

1) Пусть . Покажем, что . Поскольку , а , то по определению операции пересечения получаем: . Тогда из определения класса Фиттинга следует, что . Поэтому .