Способы задания движения точки. Вычисления скорости и ускорения материальной точки при различных спосабах задания движения
Опр Материальной точкой будем наз-ть тело, размерами которого можно принебречь и положение можно будет определить ,как положение геометрической точки. Точка не имеет ориентации и её положение вполне определено 3-мя коор-ми. Говорят ,что свободная точка имеет 3 степени свободы.
Опр. Под твёрдым телом будем понимать систему ,взаимные расстояния между точками которой неизменны.
Уравнение связи 2-х точек можно представить в виде
Задать закон движения точки ,системы или тело означает установить соотношение или алгоритм ,с помощью которого их положение определены в каждый момент времени t. ЗАДАНИЕ ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ. Используются 3 след. способа
Векторный- для точки мы задаём радиус-вектор и указываем направление и расстояние. Координатный- задаёт и связь орты неподвижного базиса. Естественный- задаёт закон движения траектории пути . Скоростью наз. векторную величину ,где радиус-вектор точки. Повторно дифференцируя определим ускорение.
Из курса диф. геометрии известно ,что если некая кривая Г задана в виде ,то -единичный вектор касательной кривой Г в точке определённой криволинейной абсциссой . А ,
где -единичный вектор главной нормали кривой Г в точке .
Он всегда расположен в соприкасающейся плоскости кривой этой точки и ориентирован к центру кривизны .Всегда направлен в сторону вогнутости . -кривизна этой кривой,
-радиус кривизны. Единичный вектор наз. вектором бинормали.
|
|
Таким образом в каждой регулярной точки кривой Г вводится правый трёхгранник
При естественном способе задании можно установить , что
Скорость всегда касательна к траектории . Учитывая, что ,а
повторно диф-уя находим ускорение
Ускорение имеет 2 составляющие первое слагаемое наз. касательным ускорением
второе - нормальным ускорением
Причём скалярный множитель всегда положителен. Нормальное ускорение всегда ориентировано к центку кривизны.
Найти области сходимости функционального
Ряда и его сумму и исследовать её на непрерывность
Найдём сумму ряда по определению:
Т.к. - бесконечно малая, а -
бесконечно малая при , то ряд
сходится при .
Исследуем на непрерывность.
1) определена на R
2)
=>S(x) – непрерывна на R.
Условия для непрерывности:
1) - непрер.
2) равномерно сходится.
26Найти , если .
Билет 27
Поле комплексных чисел (о-ции над ком-ными числами в алг-ческой и триг-ской ф-мах; ф-ла Муавра; извлечение кв-ного корня из к-ного числа в алг-ской форме; изв-ние корня n-ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме).
Рас-м мн-во упоряд пар (a,b) a,bÎR и обозн его через С={(a,b) ½a,bÎR}. Две пары (a,b) и(a1,b1) будем считать равными если a= a1 ,b=b1. Введем операцию сложения на С следующим образом:(a,b)+(с,d)=(a+c,b+d) (*)
|
|
Лемма 1 Алгебраическая система С с операцией сложения является абелевой группой.Док-во.1 Т.к. a+c,b+dÎR, то (a+c,b+d)ÎС следовательно операция (*) определена на С
2 ассоциативность (a,b)+((с,d)+ (e,f))= (a,b)+(с+e,d+f)= (a+(с+e),b+(d+f))= ((a+с)+e,(b+ d)+f)= (a+c,b+d)+(e,f)= ((a,b)+(c,d))+(e,f) 3 (0,0) яиляется нулевым
4 " (a,b) ÎС $ элемент (-a,-b)ÎС, являющийся противоположным
5 коммутативность
(a,b)+(с,d)=(a+c,b+d)=(с+a,d+b)=(с,d)+(a,b)
Введем на множестве С операцию умножения(a,b)*(с,d)=(aс-bd,ad+bc) (**)
Лемма 2Мн-во С#=С\{(0,0)} с операцией (**) яв-ся абелевой группой
1 Т.к. a+c,b+dÎR, то (aс-bd,ad+bc)ÎС#
след-но операция (*) определена на С# 2 ассоциативность
3 (1,0) я-ся нулевым
4 " (a,b) ÎС $ элемент ÎС#, яв-йся противоположным
5 коммутативность (a,b)*(с,d)= (aс-bd,ad+bc) (с,d)*(a,b)=(ca-db,da+cb) (a,b)*(с,d)= (с,d)*(a,b)
Теорема 1 Множество С с операциями (*) и (**) яв-я полем Док-во
1 По Лемме 1алгебраическая система (С,+) абелева группа
2 По Лемме 2 (С#,*) абелева группа
3 " (a,b), (с,d), (e,f)ÎС
(a,b)*( (с,d)+(e,f))= (a,b)*(с+e,d+f)=(a*(c+e)-b*(d+f),a*(d+f)+b*(c+e))=( ac+ae-bd-bf,ad+af+bc+be)=(ca-bd,ad+bc)+(ae-bf,af+be)=(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)
Построенное поле наз-ся полем комплексных чисел, а элементы этого поля комплексными числами.
|
|
Комплексные числа в алгебраической форме
Поры вида (a,0)ÎС складываются и умножаются как действительные числа
(a,0)+(b,0)=(a+b,0)
(a,0)*(b,0)=(ab-0*0,a*0+b*0)=(ab,0)
Пару (0,1) обозначим через i. Заметим, что (b,0)*(0,1)=(b*0-0*1,b*1+0*0)= =(0,b) След-но bi=(0,b)
Тогда компл-е число (a,b)=(a,0)+(0,b)=a+bi
Отметим, что i2 = (0,1)*(0,1)=(0*0-1*1,0*1+0*1)=(-1,0)= -1
Опр Запись a+bi наз-ся алгеб-ской формой комп-го числа (a,b), число a – действительная часть, bi – мнимая часть. Из (*) и (**) следует, что (a+bi)+(с+di)=(a+c)+(b+d)*i
(a+bi)*(с+di)=(ac-bd)+(ad+bc)*i
Опр Для комплексного числа a+bi число a-bi называется сопряженным.Если a+bi=z ,то a-bi= , z= ÛzÎR/
Лемма 3 Сумма и произведение двух сопряженных чисел являютсядействительными числами.
Правило деления комплексных чисел. При делении комплексного числа на a+bi на ненулевое комплексное число c+di необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на число сопряженное знаменателю.
Правило извлечения квадратного корня
Тригон-ская форма комп-ных чисел. Введем на пл-ти прямоугю сис коор и каждому комп чи z поставим в соот точку с коор (a,b). Это соотв будет взаимно однозначным. Действит-м точкам соотв то на оси OX. А числам вида bi соотв-ют точки на оси OY. Положение точки (a,b) полностью определяется полярными координатами.a=rcos(j) z=a+bi=rcos(j)+irsin(j) b=rsin(j)
|
|
Запись комп-го числа в таком виде наз-ся тригон-ской формой комп-го числа.
Неотриц число r наз-ся модулем комплексного числа (½z½= ) j - наз-ся аргументом комп-го числа и обозн-ся arg zФормула для вычисления аргумента, если a=0, то или Arg z = если a¹0, то 1) zÎ1 или 4 четверти arctg . 2) zÎ2 или 3 четверти arctg +p
Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме
Теорема При умножении комплексных чисел в тригон-кой форме их модули перемножаются а аргументы складываются. Док-во.Пусть z1 =½ z1½(cos j1+i sin j1) , z2 =½ z2½(cos j2+i sin j2), z1 *z2=½ z1½(cos j1+i sin j1) *½ z2½(cos j2+i sin j2)= ½ z1½*½ z2½( cos j1* cos j2+i sin j1 cos j2 +i sin j2 cos j1+i2 sin j1 sin j2)= ½ z1½*½ z2½*( cos (j1+j2)+i sin(j1+j2)).
При делении комп-сных чисел их модули делятся а аргументы вычитаются.Док-во:z3=Þ z1= z3 *z2. По пред теореме ½ z1½=½ z3½*½ z2½Þ .Argz3= Argz1 -Argz2
Возведение в степень комплексного числа.При возведении в степень комп-го числа z=½ z½(cos j+i sin j), с целым показателем n его модуль возводится в степень, а аргумент умн-тся на показатель n.Т.е. zn=½z½n(cosnj+isinnj)
(Для док-ва рассмотреть произведение 2 чисел(т.е. квадрата числа), затем предположить что утверждение верно для n-1 степени числа и наконец найти n-ю степень числа используя известную n-1-ю степень).
Опр Формула zn=½ z½n(cos nj+i sin nj) называется формулой Муавра
Извлечение корня из комп-го числа
Пусть nÎN n>1. Корнем n-й степени из комп-го числа z наз-ся комп-ное число c такое что cn=z.
Теорема Пусть z комп-ное число, n>1 nÎN. В поле компл-ных чисел при z=0 имеет единственное значение, а именно =0. Если z¹0, то корень n-й степени из z имеет n различных знач-й и если z= ½ z½(cos j+i sin j), то k=0,1,2,…
Док-во:При z=0 утв-ние очевидно.Пусть теперь z ¹0, z=½z½(cos j+i sin j). Т.к. ½z½неотрицательное число, то сущ-ет . След-но можно рассматривать ком-ное числоСk= k=0,1,2,… Каждое из чисел Сk яв-ся корнем n-й степени из числа z. ½z½(cos j+i sin j)
Корни из единицы 1=cos 0 +i sin 0. Из предыдущей теоремы получаем
Теорема.В поле комплексных чисел имеется n различных значений , которые вычисляются по следующим формулам: ,k=0,1,2,…
27Основные теоремы динамики точки: т-ма об изменении кол-ва движения, т-ма об изменении кинет-кого момента
Теорема об изменении количества движения точки.
Теорема. Производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе.
Запишем основной закон динамики в виде . Так как масса постоянна, то внесем ее под знак производной.
Тогда , (*)
что и требовалось доказать.
В проекциях на координатные оси уравнение (*) можно представить в виде:
Теорема об изменении момента количества движения точки.
Теорема. Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.
Доказательство: Продифференцируем момент количества движения по времени
, ,следовательно , (*)
что и требовалось доказать.
Теорема. Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какой-либо оси, равна моменту действующей на точку силы относительно той же оси.
Для доказательства достаточно спроектировать векторное уравнение (*) на эту ось. Для оси это будет выглядеть так:
Следствия из теорем:
1. Если момент силы относительно точки равен нулю, то момент количества движения относительно этой точки величина постоянная.
,
2. Если момент силы относительно оси равен нулю, то момент количества движения относительно этой оси величина постоянная.
,
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 599; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!