Общий принцип построения мат. модели.

Математическая модель явлений, процессов.

Мат. Модель — система материальных или идеальных (выраженных в знаках) элементов, находящаяся в отношении подобия к объекту исследования (оригиналу) и воспроизводящая структурно-функциональные, причинно-следственные и генетические связи между его элементами. Является заместителем изучаемого объекта и позволяет получать о нем информацию.

Материальные – это предметные (физические) модели. Они всегда имеют реальное воплощение. Отражают внешнее свойство и внутреннее устройство исходных объектов, суть процессов и явлений объекта-оригинала. Это экспериментальный метод познания окружающей среды. Примеры: детские игрушки, скелет человека, чучело, макет солнечной системы, школьные пособия, физические и химические опыты.

Абстрактные модели – это идеальные конструкции в нашем сознании в виде образов или представлений о тех или иных физических явлениях, процессах, ситуациях, объектах, системах. Примерами абстрактных моделей могут служить какая-либо гипотеза о свойствах материи, предположения о поведении сложной системы в условиях неопределенности или новая теория о строении сложных систем. Различают два вида идеального моделирования: формализованное и неформализованное (интуитивное). К формализуемым абстрактным моделям относятся знаковые модели, в том числе математические и языковые конструкции (языки программирования, естественные языки) вместе с правилами их преобразования и интерпретации.

Использование хи-квадрат. Распределения – границы применяемости

Критерий Хи-квадрат позволяет сравнивать распределения частот вне зависимости от того, распределены они нормально или нет.

С помощью нормального распределения определяются три распределения, которые сегодня часто используются при статистической обработке данных. Это распределения Пирсона ("хи - квадрат"), Стьюдента и Фишера.

Мы остановимся на распределении ("хи - квадрат"). Вᴨȇрвые это распределение было исследовано астрономом Ф.Хельмертом в 1876 году. В связи с гауссовской теорией ошибок он исследовал суммы квадратов n независимых стандартно нормально распределенных случайных величин. Позднее Карл Пирсон (Karl Pearson) дал имя данной функции распределения "хи - квадрат". И сейчас распределение носит его имя.

Благодаря тесной связи с нормальным распределением, ч2-распределение играет важную роль в теории вероятностей и математической статистике. ч2-распределение, и многие другие распределения, которые определяются посредством ч2-распределения (например - распределение Стьюдента), описывают выборочные распределения различных функций от нормально распределенных результатов наблюдений и используются для построения доверительных интервалов и статистических критериев.

Распределение Пирсона (хи - квадрат) - распределение случайной величины где X1, X2,…, Xn - нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение - единице.

Под частотой понимается количество появлений какого-либо события. Обычно, с частотой появления события имеют дело, когда переменные измерены в шкале наименований и другой их характеристики, кроме частоты подобрать невозможно или проблематично. Другими словами, когда переменная имеет качественные характеристики. Так же многие исследователи склонны переводить баллы теста в уровни (высокий, средний, низкий) и строить таблицы распределений баллов, чтобы узнать количество человек по этим уровням. Чтобы доказать, что в одном из уровней (в одной из категорий) количество человек действительно больше (меньше) так же используется коэффициент Хи-квадрат.

Среднее арифметическое, мода, медиана. Медианная оценка при расчетах

Мода- это просто наиболее часто встречающееся в определенной совокупности наблюдений значение переменной. При сгруппированных данных мода определяется как середина интервала группирования, содержащего наибольшее число значений наблюдаемой переменной.

Медиана- это значение переменной, делящее упорядоченную совокупность наблюдений пополам, так что одна половина значений в этой совокупности лежит ниже медианы, а др. их половина - выше медианы. Если совокупность образована нечетным числом значений наблюдаемой переменной, то медиана равна значению переменной, являющемуся серединой упорядоченной совокупности наблюдений. Если же совокупность образована четным числом значений, то медиана определяется значением, лежащим посередине между двумя значениями, находящимися в центре упорядоченной совокупности наблюдений. Медиана - более полезная мера, чем мода, и часто используется в случае скошенного (асимметричного) распределения данных. Следует, однако, отметить, что медиана нечувствительна к величине крайних значений упорядоченной совокупности наблюдений.

Среднее арифметическое- самая распространенная мера центральной тенденции - определяется как сумма значений наблюдаемой переменной, разделенная на их число. Использование среднего дает исследователю ряд преимуществ. В отличие от др. М. ц. т., среднее чувствительно к точному положению каждого значения в распределении переменной. Правда, это достоинство среднего арифметического оборачивается недостатком в виде повышенной чувствительности к крайним значениям переменной, и потому его иногда избегают использовать в случае сильно скошенных распределений.

Общий принцип построения мат. модели.

Мат. моделирование - процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого мат. объекта, называемого мат. моделью, и исследования этой модели, позволяющие получить характеристики рассматриваемого реального объекта.

Мат. модель – мат. описание исследуемого процесса или объекта, которая выражает закономерности процесса (объекта) в абстрактном виде с помощью мат. соотношений.

Исходной информацией при построении мат. моделей процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой системы. Эта информация определяет основную цель моделирования системы и позволяет сформировать требования к разрабатываемой модели. Модель объекта моделирования можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае четыре подмножества: совокупность входных воздействий на систему; совокупность воздействий внешней среды; совокупность внутренних параметров системы; совокупность выходных характеристик системы.

При построении мат. модели необходимо придерживаться следующих принципов:

1. Вид мат. модели, с помощью которой нужно описать исследуемый процесс (объект), необходимо выбирать в зависимости от природы реального объекта, от задач исследования объекта и требуемой достоверности, а также точности решения этой задачи.

2. Методологические принципы формализации сложных систем. - Любая система может быть расчленена на конечное число частей, называемых подсистемами.
- Каждая подсистема снова может быть расчленена и т.д. (иерархический принцип построения системы). Деление производится до тех пор, пока не получим элементы, не подлежащие дальнейшему делению. Свойства сложных систем определяются как свойствами элементов, так и характером взаимодействия элементов между собой.

3. При таком расчленении необходимо строить систему по иерархическому признаку; выполнение этих условий приводит к уменьшению количества связей между элементами.

4. Необходимо стремиться к упрощению структуры при сохранении основных исследуемых свойств процесса (объекта).

5. Необходимо стремиться к минимизации количества связей между подсистемами.

Если выбирать различные допустимые управления, то при одинаковом начальном состоянии некоторой системы можно получить различные функции состояний и, следовательно, различные процессы (u(t), x(t)). Возникает задача отыскания такого процесса, который оптимален в некотором смысле (например, процесс должен быть минимален по времени или объект должен перемещаться в пространстве по кратчайшему пути). Тогда говорят об оптимальном процессе, соответствующее управление называют оптимальным управлением, соответствующее состояние – оптимальным.

Предмет ОУ: мат. модели управляемых объектов. Мат модель – набор математич. соотношений который с той или иной точностью описывает функционирования управ. объекта (изменение характеристик объекта во времени и пространстве).

Управляемый объект характеризуется моментом времени (t), фазовым состоянием (х) и управляющим воздействием (u). Фазовое состояние – пространственное положение объекта в момент времени t.

Проблемы ОУ:

• Идентификация: уточнение параметров мат. моделей с помощью результатов наблюдений или экспериментов.
• Управляемость: возможность перевода управ. объектов из одних положений в другие.
• Наблюдаемость: восстановление неизвестных положений управ. объектов по доступной информации.
• Существование оптимальных процессов.
• Необходимые и достаточные условия оптимальности.

5. Типы шкал про моделировании.

В номинальной допустимыми являются все взаимно-однозначные преобразования. В этой шкале числа используются лишь как метки. Примерно так же, как при сдаче белья в прачечную, т.е. лишь для различения объектов. В шкале наименований измерены, например, номера телефонов, автомашин, паспортов, студенческих билетов. Номера страховых свидетельств государственного пенсионного страхования, медицинского страхования. Пол людей тоже измерен в шкале наименований. Номера букв в алфавите - тоже измерения в шкале наименований. Никому в здравом уме не придет в голову складывать или умножать номера телефонов, такие операции не имеют смысла. Сравнивать буквы и говорить, например, что буква П лучше буквы С, также никто не будет. Единственное, для чего годятся измерения в шкале наименований - это различать объекты. Во многих случаях только это от них и требуется. Например, шкафчики в раздевалках для взрослых различают по номерам, т.е. числам, а в детских садах используют рисунки.

В порядковой шкале числа используются не только для различения объектов, но и для установления порядка между объектами. Простейшим примером являются оценки знаний учащихся. Символично, что в средней школе применяются оценки 2, 3, 4, 5, а в высшей школе ровно тот же смысл выражается словесно - неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично. Этим подчеркивается "нечисловой" характер оценок знаний учащихся. В порядковой шкале допустимыми являются все строго возрастающие преобразования.

Оценки экспертов, часто следует считать измеренными в порядковой шкале. Типичным примером являются задачи ранжирования и классификации промышленных объектов, подлежащих экологическому страхованию.

Почему мнения экспертов естественно выражать именно в порядковой шкале? Как показали многочисленные опыты, человек более правильно (и с меньшими затруднениями) отвечает на вопросы качественного, например, сравнительного, характера, чем количественного.

В различных областях человеческой деятельности применяется много других видов порядковых шкал. Так, например, в минералогии используется шкала Мооса, по которому минералы классифицируются согласно критерию твердости. А именно: тальк имеет балл 1, гипс - 2, кальций - 3, флюорит - 4, апатит - 5, ортоклаз - 6, кварц - 7, топаз - 8, корунд - 9, алмаз - 10. Минерал с большим номером является более твердым, чем минерал с меньшим номером, при нажатии царапает его.

Порядковыми шкалами в географии являются - бофортова шкала ветров ("штиль", "слабый ветер", "умеренный ветер" и т.д.), шкала силы землетрясений.

В медицине порядковыми шкалами являются - шкала стадий гипертонической болезни, шкала степеней сердечной недостаточности и т.д. Все эти шкалы построены по схеме: заболевание не обнаружено; первая стадия заболевания; вторая стадия; третья стадия…. При описании групп инвалидност.

Номера домов также измерены в порядковой шкале - они показывают, в каком порядке стоят дома вдоль улицы. Номера томов в собрании сочинений писателя или номера дел в архиве предприятия обычно связаны с хронологическим порядком их создания.
Порядковая шкала используется и во многих иных областях.

Все шкалы измерения делят на две группы - шкалы качественных признаков и шкалы количественных признаков.

Порядковая шкала и номинальная - основные шкалы качественных признаков. Поэтому во многих конкретных областях результаты качественного анализа можно рассматривать как измерения по этим шкалам.

Шкалы количественных признаков - это шкалы интервалов, отношений, разностей, абсолютная.

По шкале интервалов измеряют величину потенциальной энергии или координату точки на прямой. В этих случаях на шкале нельзя отметить ни естественное начало отсчета, ни естественную единицу измерения. Исследователь должен сам задать точку отсчета и сам выбрать единицу измерения. Допустимыми преобразованиями в шкале интервалов являются линейные возрастающие преобразования, т.е. линейные функции. Температурные шкалы Цельсия и Фаренгейта связаны именно такой зависимостью.

Из количественных шкал наиболее распространенными в науке и практике являются шкалы отношений. В них есть естественное начало отсчета - нуль, т.е. отсутствие величины, но нет естественной единицы измерения. По шкале отношений измерены большинство физических единиц: масса тела, длина, заряд, а также цены в экономике. Допустимыми преобразованиями шкале отношений являются подобные (изменяющие только масштаб). Другими словами, линейные возрастающие преобразования без свободного члена. Примером является пересчет цен из одной валюты в другую по фиксированному курсу. Предположим, мы сравниваем экономическую эффективность двух инвестиционных проектов, используя цены в рублях. Пусть первый проект оказался лучше второго. Теперь перейдем на валюту самой экономически мощной державы мира - юани, используя фиксированный курс пересчета. Очевидно, первый проект должен опять оказаться более выгодным, чем второй. Это очевидно из общих соображений. Однако алгоритмы расчета не обеспечивают автоматически выполнения этого очевидного условия. Надо проверять, что оно выполнено. Результаты подобной проверки для средних величин описаны ниже.

В шкале разностей есть естественная единица измерения, но нет естественного начала отсчета. Время измеряется по шкале разностей, если год принимаем естественной единицей измерения, и по шкале интервалов в общем случае. На современном уровне знаний естественного начала отсчета указать нельзя. Дату сотворения мира различные авторы рассчитывают по-разному, равно как и момент рождества Христова. Так, согласно новой статистической хронологии Иисус Христос родился примерно в 1054 г.

Только для абсолютной шкалы результаты измерений - числа в обычном смысле слова. Примером является число людей в комнате. Для абсолютной шкалы допустимым является только тождественное преобразование.

6. Метод наименьших квадратов
-Общий принцип
--Виды зависимостей
-Нахождение коэфицента для линейной и квадратичной зависимости.

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 809; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 5 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!