Анализ (расчет) сложных электрических цепей применением уравнений Кирхгофа

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 6Следующая ⇒

Задача анализа (расчета) цепи – это нахождение токов во всех ее ветвях; при этом величины сопротивлений, источников ЭДС и тока и сама схема электрической цепи должны быть известны.

Сложная электрическая цепь – это такая цепь, рассчитать токи в которой невозможно с помощью закона Ома и требуется применение специальных методов расчета.

Разберем порядок расчета (анализа) сложной электрической цепи применением законов Кирхгофа и получим необходимые расчетные формулы в общем виде. Для этого в качестве типовой анализируемой схемы электрической цепи примем схему, показанную на рис. 1.1. Положим, что в этой схеме установлены источники ЭДС и , а также источники тока и . Тогда типовая схема, показанная на рис. 1.1 примет вид, показанный на рис. 2.1.

Для составления уравнений по законам Кирхгофа следует обозначить направления токов во всех ветвях схемы, а также все узлы в схеме. Поскольку до того, как токи во всех ветвях схемы не буду рассчитаны, неизвестными являются не только величины искомых токов, но и их направления, направления токов в ветвях схемы рис. 2.1 придется выбрать произвольно. После того, как токи будут определены, они окажутся либо со знаком “плюс”, либо со знаком “минус”. Этот знак покажет, что, при обозначении направления тока в той или иной ветви схемы, мы либо случайно угадали его истинное направление (если ток получился с плюсом), либо не угадали (если ток получился с минусом). Для анализа цепи знак, с которым получился искомый ток, значения не имеет – пусть будет хоть “плюс”, хоть “минус”, но менять направление тока в схеме, если при расчете он получился отрицательным, не следует, чтобы далее при работе с этой схемой не ошибиться в других расчетах. То есть, отрицательное значение постоянного тока в той или иной ветви электрической цепи, получившееся при расчете, означает только то, что ток в этой ветви течет в направлении, противоположном выбранному в начале расчета схемы, и этот факт не требует изменения направления при проведении дальнейших расчетов.

Рис. 2.1. Пример схемы сложной электрической цепи

На рис. 2.2 показана та же схема, что и на рис. 2.1, но с обозначенными на ней узлами, а также направлениями и величинами токов в ветвях (их удобно называть токами ветвей).

Направления токов ветвей на рис. 2.2 обозначены стрелками на проводах ветвей, а величины токов ветвей – символами , , , , , с индексами, соответствующими индексам сопротивлений, расположенных в этих ветвях. Малыми буквами латинского алфавита , , и обозначены все узлы – точки соединения трех и более ветвей. Потенциалы этих узлов имеют обозначения , , и , соответственно.

После того, как в анализируемой схеме обозначены токи ветвей, узлы и их потенциалы, запишем уравнения первого и второго законов Кирхгофа для этой схемы.

Рис. 2.2. Эквивалентная схема сложной электрической цепи с обозначенными на ней узлами , а также токами ветвей

По первому закону Кирхгофа можно составить, в общей сложности, четыре уравнения – для узлов a, b, c и d. Запишем эти уравнения, условившись, что втекающие токи (то есть, направленные в узел), имеют знак «плюс», а вытекающие токи (то есть, направленные из узла) – знак «минус». Можно было взять и обратные этим направления токов – вытекающие из узла с «плюсом», втекающие в узел – с «минусом». Для расчетов это значения не имеет и на результатах не сказывается, так как означает домножение правой и левой частей уравнений первого закона Кирхгофа на .

Тогда для узлов a, b, c и d уравнения первого закона Кирхгофа будет иметь следующий вид, соответственно:

. (2.1)

, (2.2)

, (2.3)

. (2.4)

Сравнив между собой уравнения (2.1) – (2.4), отметим, что первые три из них, записанные для узлов a, b и c (2.1) – (2.3), отличаются друг от друга, по крайней мере, одним током. Четвертое же уравнение (2.4) первого закона Кирхгофа для узла d (2.4) содержит все токи, уже имеющиеся в уравнениях для узлов a, b и c. Этой означает, что уравнение первого закона Кирхгофа для узла d (2.4) является линейно зависимым от уравнений первого закона Кирхгофа для узлов a (2.1), b (2.2) и c (2.3). При этом узлы a, b и c называют независимыми, а узел d – зависимым. Соответственно этому, уравнения первого закона Кирхгофа для схемы рис. 2.2 для узлов a, b и c (2.1), (2.2), (2.3), соответственно, будут линейно независимы, а уравнение первого закона Кирхгофа для узла d – линейно зависимым от уравнений первого закона Кирхгофа для других узлов схемы рис. 2.2. Таким образом, количество независимых узлов в анализируемой схеме электрической цепи оказывается на один меньше общего числа узлов в этой схеме, а количество независимых уравнений, которые можно составить по первому закону Кирхгофа, на одно меньше общего числа уравнений, которые можно составить по этому закону для анализируемой схемы.

По этой причине уравнение для узла d (2.4) можно исключить из системы уравнений первого закона Кирхгофа, что эквивалентно заземлению этого узла. Тогда система уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для этой цепи примет вид:

. (2.5)

Поскольку общее число уравнений для нахождения токов во всех шести ветвях схемы рис. 2.2 должно быть также не менее шести, для получения решения к трем уравнениям, составленным по первому закону Кирхгофа (2.5), требуется составить ещё три уравнения. Это можно сделать, составив три уравнения второго закона Кирхгофа для схемы рис. 2.2. Для составления этих трёх уравнений перерисуем схему рис. 2.2 анализируемой цепи и представим её в виде, показанном на рис. 2.3. Обозначения, принятые на схеме рис. 2.3 соответствуют обозначениям, принятым на схеме рис. 2.2, но, в отличие от схемы рис. 2.2, на рис. 2.3 прерывистыми овалами со стрелками обозначены направления обхода контуров схемы анализируемой цепи. Эти направления выбраны по часовой стрелке и означают, что все падения напряжений на элементах контура, который мы будем обходить, и которые совпадут по направлению с направлением обхода контура, будут иметь знак «плюс» в левой части уравнения второго закона Кирхгофа, а при несовпадении направления обхода с направлением падения напряжения на данном элементе контура, будут иметь знак «минус» в левой части уравнения второго закона Кирхгофа, включая и источники тока и ЭДС, если в правой части уравнения второго закона Кирхгофа при этом записан ноль. Кроме того, на схеме рис. 2.3 расставлены полярности и обозначены падения напряжений для каждого элемента цепи, включая источники ЭДС и тока. Полярности падений напряжений соответствуют принятым ранее направлениям токов в ветвях, то есть, для сопротивлений падение напряжения направлено согласно с направлением тока (от плюса к минусу), а для источников ЭДС и тока падение напряжения противоположно току внутри источника. Направления обхода контуров можно было выбрать и против часовой стрелки – как и при выборе направлений токов в узлах при составлении уравнений первого закона Кирхгофа, это означает всего лишь домножение правой и левой частей уравнений второго закона Кирхгофа на .

Рис. 2.3. Эквивалентная схема сложной электрической цепи с обозначенными на ней направлениями обхода контуров (по часовой стрелке)

Количество уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для анализируемой схемы рис. 2.3, должно быть равно числу независимых контуров. Число независимых контуров в схеме рис. 2.3 равно трём, так как, если составить для трёх обозначенных прерывистыми овалами со стрелками контуров этой схемы уравнения по второму закону Кирхгофа (первый контур , второй контур , третий контур ), окажется, что, в этих уравнениях будут фигурировать все возможные падения напряжений, имеющиеся на рис. 2.3. Все остальные возможные обходы контуров (например, обход по контуру , контуру ), являются линейно зависимыми и не могут быть приняты для системы уравнений второго закона Кирхгофа.

Ещё один важный момент, который следует подробно рассмотреть, связан с тем, что часть ветвей анализируемой схемы содержит источники тока. В анализируемой схеме рис. 2.3 это первая ветвь, образованная сопротивлением , источником ЭДС и источником тока , а также шестая ветвь, образованная сопротивлением и источником тока . Учет этих источников тока не сразу ясен при составлении уравнений второго закона Кирхгофа для контуров, поэтому есть смысл разобрать этот вопрос подробнее.

Если преобразовать ветви с источниками тока в эквивалентные им ветви с источниками ЭДС, то источники ЭДС и , эквивалентные источникам тока и , можно легко включить в уравнения второго закона Кирхгофа по тому же принципу, как и источники ЭДС и . Преобразовать же источники тока в источники ЭДС можно, используя принцип эквивалентных преобразований: различные электрические схемы эквивалентны друг другу, если на внешних относительно этих схем узлах токи и напряжения остаются неизменными.

Проведем преобразование источника тока в эквивалентный ему источник ЭДС на примере шестой ветви. Изобразим на рис. 2.4, а фрагмент схемы цепи рис. 2.3, включающий шестую ветвь, который заключен между узлами a и c. На рис. 2.4, б покажем цепь с источником ЭДС, эквивалентную исходной шестой ветви.

В исходной схеме замещения источника тока рис. 2.4, а, падение напряжения между узлами c и a создается двумя токами: током источника тока и током . Ток течет через сопротивление от разности потенциалов , создаваемой той частью схемы рис. 2.3, из которой выбран фрагмент рис. 2.4, а. По первому закону Кирхгофа для узла c имеет место равенство:

. (2.6)

а б

Рис. 2.4. Эквивалентные друг другу схемы замещения: (а) реального генератора (источника) тока; (б) реального генератора (источника) ЭДС

Тогда ток , протекающий в сопротивлении , равен:

, (2.7)

а падение напряжения :

. (2.8)

Источник тока создает падение напряжения между узлами c и a сверху вниз (по схеме), то есть, от узла c к узлу a. Естественно, что при переходе к схеме рис. 2.4, б, это направление падения напряжения, создаваемого источником тока , в соответствии с принципом эквивалентности схем, должно оставаться прежним – от узла c к узлу a. Поэтому направление тока источника ЭДС на рис. 2.4, б, эквивалентного исходному источнику тока на рис. 2.4, а, остается тем же. Величина эквивалентного источника ЭДС должна быть такой, чтобы этот источник создавал падение напряжения между узлами c и a, равное тому, которое было от источника тока . По закону Ома это будет:

. (2.9)

Аналогично выражению (2.9), позволяющего заменить источник тока в анализируемой схеме рис. 2.3 на эквивалентный ему источник ЭДС , можно осуществить замену источника тока на эквивалентный ему источник ЭДС :

, (2.10)

а направление тока этого источника (направление стрелки внутри обозначения источника) остается таким же, как и для заменяемого источника тока – от узла b к узлу a по схеме рис. 2.3.

После замены параллельно соединенных сопротивления и источника тока на последовательное соединение сопротивления и эквивалентного источника ЭДС , а также соответствующей замены источника тока на эквивалентную ему ЭДС , представим анализируемую схему рис. 2.3 в виде, показанном на рис. 2.5. После проведенных преобразований эта схема не содержит источников тока и уравнения второго закона Кирхгофа могут быть записаны для такой схемы без затруднений.

Для первого контура, содержащего последовательно включенные между собой источники ЭДС и , сопротивление , сопротивление и сопротивление , уравнение второго закона Кирхгофа, записанное в виде суммы падений напряжений на элементах этого контура, имеет вид:

. (2.11)

В этом уравнении падение напряжения на сопротивлении совпадает по направлению с направлением обхода первого контура, оно направлено вдоль тока , поэтому берется в левой части уравнения со знаком “плюс”; падение напряжения на сопротивлении также совпадает с направлением обхода первого контура, и поэтому в левой части уравнения взято также со знаком “плюс”; падение напряжения на сопротивлении противоположно направлению обхода первого контура и берется в левой части уравнения со знаком «минус»; падение напряжения на источнике ЭДС противоположно направлению обхода первого контура и поэтому в левой части уравнения взято со знаком “минус”, падение напряжения на эквивалентном источнике ЭДС совпадает с направлением обхода контура и поэтому в левой части уравнения взято со знаком “плюс”.

Рис. 2.5. Эквивалентная схема анализируемой цепи, в которой источники тока и заменены на эквивалентные им источники ЭДС

Уравнение (2.11) может быть представлено в виде суммы произведений токов ветвей на сопротивления этих ветвей и источников ЭДС:

, (2.12)

или, если перенести источники ЭДС в правую часть уравнения (2.12), с соответствующим изменением их знаков на противоположные:

. (2.13)

Следуя этой логике составления уравнений по второму закону Кирхгофа, запишем соответствующее уравнение для второго и третьего контуров схемы рис. 2.5:

. (2.14)

. (2.15)

В итоге можно представить систему из трёх уравнений (2.13), (2.14), (2.15), составленных по второму закону Кирхгофа для анализируемой схемы рис. 2.5:

. (2.16)

Тогда общая система уравнения для нахождения токов во всех шести ветвях анализируемой цепи рис. 2.5 представится в виде объединенной системы, включающей три уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа (2.5) и три уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа (2.16):

. (2.17)

Совместное решение уравнений этой системы даст величины токов во всех ветвях цепи при заданных сопротивлениях и источниках тока и ЭДС. Проверку правильности решения системы уравнений (2.17) следует проводить путем подстановки полученных численных результатов в эту же систему уравнений.

Наиболее существенным недостатком непосредственного применения уравнений Кирхгофа для расчета сложной электрической цепи является то, что при этом методе необходимо решить одновременно большое число уравнений – столько, сколько токов в анализируемой схеме.

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 1465; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!