Скалярное произведение векторов и его свойства.

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 8Следующая ⇒

Скалярным произведением двух векторовназывается число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

1) = (переместительное свойство);

2) = = | |2(3)

( 2 называется скалярным квадратом вектора);

3)( + ) = + (распределительное свойство);(4)

4) ( ) = ( )(сочетательное свойство относительно числового множителя).

Скалярное произведение двух векторов в координатной форме.

Скалярным произведением двух векторов называют произведение длин перемножаемых векторов на косинус угла между ними:

Скалярное произведение двух векторов в координатной форме равно сумме произведений одноимённых координат: .

?35 Основные понятия и аксиомы стереометрии (7 аксиом и 3 следствия).

Аксиомы:
1)через любые 2 точки проходит только одна прямая
2)прямая проходящая через 2 различные точки плоскости лежит в этой плоскости
3)через 3 точки не лежащие на одной прямой проходит одна и только одна плоскость
4)если 2 различные плоскости имеют общую точку то их пересечение и есть прямая
5)для любых 2х точек А и В имеется не отрицательная величина назыв расстоянием от А до В растояние |АВ|=0 в том случае если А и В совпадают.
6)растояние от А до В равно растоянию от В до А
7)для любых 3х точек А,В и С расстояние от А до С не больше суммы растояний от А до В и от В до С
Следствия:

?36 .Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве:
1)прямые пересекаются т.е имеют общую точку
2)прямые параллельны т.е лежат в одной плоскости и не пересекаются
3)прямые скрещиваются т.е лежат в разных плоскостях

2 прямые не лежащие на одной плоскости называются скрещивающимися, скрещивающиеся прямые не пересекаются и не являются параллельными

?37 Признак параллельности прямой и плоскости (прямая и обратная теоремы). Следствия 1 и 2.

Теорема:
Если прямая не лежит в данной плоскости паралел некоторой прямой лежащей в этой плоскости то она параллельна и самой плоскости.

Обратная теорема:
Если плоскость проходит через прямую паралел другой плоскости и пересекает эту плоскость то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой

Следствие 1.
Если прямая параллельна каждой из 2х пересекающихся плоскостей а и В то она параллельна линии их пересечения.
Следствие 2.
Если 2 прямые а и в параллельны третей прямой с то они параллельны между собой.

?38 Взаимное расположение двух плоскостей. Признак параллельности двух плоскостей.

Существует 3 случая взаимного расположения 2х плоскостей в пространстве:
1)Плоскости совпадают если они имеют 3 общие точки не принадлежащие одной прямой
2)Плоскости пересекаются если они различны и не имеют общей точки
3)Плоскости не имеют общей точки

Признак параллельности двух плоскостей
2е плоскости называются параллельными если они не имеют общей точки или совпадают

Теорема(признак параллельности 2х плоскостей):
Если 2е пересек прямые одной плоскости параллельны соответственно двум прямым другой плоскости то эти плоскости параллельны.

?39 Теоремы о параллельных плоскостях (Теоремы 1, 2, 3).

Теорема 1
Если 2е параллельные плоскости пересечены 3й плоскостью то линии пересечения параллельны.
Теорема 2
Через точку не лежащую в данной плоскости можно провести единственную плоскость паралел данной.
Теорема 3
Если 2е плоскости параллельны третей то они параллельны между собой.

?40 Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Прямая называется перпендик к плоскости если она пересекаясь с этой плоскостью образует прямой угол с каждой прямой проведенной на плоскость через точку пересечения. В этом случае говорят что и плоскость перпендикулярна прямой.

Теорема
Если прямая пересек плоскость перпендикулярна двум пересекающимся прямым принадлеж плоскости ,то она перпендик и самой плоскости.

?41 Сравнительная длина перпендикуляра и наклонных. Теорема.

Когда из точки А к плоскости а(альфа) проведен перпендикуляр на АВ и наклонная АС, то отрезок ВС соед основание перпендик и основание наклонной называют проекцией наклонной на плоскость а(альфа)
Теорема:
Если из одной и той же точки А взятой вне плоскости а (альфа) проведены к этой плоскости перпендик АВ и какие нибудь наклонные АС,АD,АЕ, то две наклоные имеющие равные плоскости равны.

?42 Теорема о трех перпендикулярах (прямая и обратная).

Теорема
Если прямая DE проведенная на плоскости альфа через основание наклонной АС, перпендик к её проекции ВС, то она перпендик и к самой наклонной АС.

43. Проекция точки и прямой на плоскость. Угол прямой с плоскостью

Это начальные, базовое понятия. Так повелось в силу ограниченности восприятия человеком мира, воспринимать пространство трехмерным. Это вылилось в декартовую систему координат. Все стали довольны, вот поймали мир и закрыли его в банку )).

Что же, перейдем к скучной теории:

В некотором центре Р ,или по направлению S, проецированию некоторой точки(пример) А пространства принадлежит на плоскости проекций п' одна точка А'.Проекция точки В, лежащей в плоскости проекций, совпадает с самой точкой (рис.1).

Это так называемая одноточечная центральная проекция.

рис. 1

Двухточечная центральная проекция на плоскость используется в инженерной графике, архитектуре, строительстве.

Если две прямые лежат в одной плоскости, угол между ними легко измерить — например, с помощью транспортира. А как измерить уголмеждупрямойиплоскостью?

Пусть прямая пересекает плоскость, причем не под прямым, а под каким-то другим углом. Такая прямая называется наклонной.

Опустим перпендикуляр из какой-либо точки наклонной на нашу плоскость. Соединим основание перпендикуляра с точкой пересечения наклонной и плоскости. Мы получилипроекцию наклонной на плоскость.

Уголмеждупрямойиплоскостью— этоуголмеждупрямойи ее проекцией на данную плоскость.

Обратите внимание — в качестве угла между прямой и плоскостью мы выбираем острый угол.

Если прямая параллельна плоскости, значит, угол между прямой и плоскостью равен нулю.

Если прямая перпендикулярна плоскости, ее проекцией на плоскость окажется точка. Очевидно, в этом случае угол между прямойи плоскостью равен 90°.

Двугранные углы и их измерение.

Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, и не принадлежащими одной плоскости.

рис. 44	а - ребро двугранного угла, полуплоскости - грани его.
рис. 45	Угол АОВ - линейный угол двугранного угла. Чтобы его построить, нужно выбрать произвольную точку О на ребре, а лучи ОА и ОВ должны быть перпендикулярны к ребру.

Определение. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера любого из его линейных углов.

рис. 46

Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если он равен 90^o(меньше 90^o, больше 90^o). Пусть

- тот из углов, который не превосходит любого из трёх остальных углов. Тогда угол между пересекающимися плоскостями равен

. (0^o<

90^o)

Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90^o.

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 598; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!