Уравнения, неравенства, системы уравнений

К этому моменту вы уже должны уметь решать квадратные уравнения и понимать принцип дополнения до полных квадратов. В качестве факультатива можете посмотреть как решаются уравнения третьей и четвертой степеней. Это не особо важно, но занятно. Тут надо сказать, что наиболее часто встречающийся подход — это использование формул Кардано и метод Феррари, которые могут показаться сложными. Есть однако и довольно элементарные подходы к решению уравнений третьей и четвертой степеней через обычные подстановки переменных и введение дополнительных неизвестных, чтобы подогнать формулу под вид квадрата. Такие подходы имеют ряд недостатков и не раскрывают свойств многочленов, но они довольно элементарны для понимания на школьном уровне. Разбор этих методов моет быть полезным упражнением.

Надо уметь решать основные виды частных случаев уравнений более высоких степеней. Например, уравнения вида или уравнения с симметричными коэффициентами.

Сразу стоит оговориться, что аналитически уравнения старше четвертой степени в общем виде не решаются — это утверждение составляет выдающуюся теорему Абеля. Среднему читателю нет смысла углубляться в доказательство, но интересующимся теоретической математикой я настоятельно рекомендую ознакомиться с книжкой «Теорема Абеля в задачах и решениях» Алексеева А.Б.

Нужно знать основную теорему алгебры. Она заключается в том, что любой полином имеет комплексный корень. На данном этапе понять строгое доказательство этой теоремы вам не удастся, но элементарная интуиция о графиках комплексных функций может подсказать почему теорема верна. Для этого можно рассмотреть образ произвольной окружности в комплексной плоскости для произвольного полинома. Этим образом будет некая замкнутая линия. Начало координат окажется либо внутри этой линии, либо снаружи. В первом случае можно уменьшать радиус начальной окружности пока линия не пересечет начало координат (точка пересечения и будет корнем), во втором наоборот увеличивать радиус до пересечения образа с началом координат. В этом доказательстве очень много дыр, но пока вы вряд ли сможете сформулировать что-то более строгое. Однако такая иллюстрация даёт неплохую интуицию и понимание, строгость же придёт позже.

Из возможности делимости полиномов (с остатком и без) и из основной теоремы алгебры должен стать очевидным тот факт, что любой полином n-ой степени представим в виде — комплексные корни данного полинома. Отсюда элементарно выводятся формулы Виета в общем виде (если вы вывели сами Бином Ньютона, то и формулы Виета отсюда выведете). Если мы знаем, что все корни многочлена рациональны, то из формул Виета следует очевидный способ нахождения их перебором.

Если известно, что комплексное является корнем многочлена  с вещественными коэффициентами, то подставив в него сопряженное мы убедимся, что оно так же является корнем. Отсюда можно получить аналогичное данному выше представление вещественного многочлена в виде , где используются уже только вещественные корни и коэффициенты. Теперь очевидно, что любой вещественный многочлен нечетной степени имеет вещественный корень.

В качестве дополнения, но очень важного и интересного, я рекомендую на этом этапе узнать про производящие функции. Их почти нигде не проходят в России на инженерных специальностях, но однако они крайне важны в современной науке и имеют широчайшие применения. В комбинаторных задачах средней сложности и некоторых смежных областях (анализ последовательностей, теория вероятностей) это сейчас один из самых широкоупотребимых математических инструментов.

С неравенствами всё довольно просто — достаточно понять как решаются базовые случаи на уровне задачников к ЕГЭ. Там нет ничего сложного. Аналогично с системами уравнений. Важно понять общий принцип решения систем уравнений через выражение вначале одной из n переменных через n-1 других, затем подстановкой этого значения в систему, выражения одной из оставшихся через остальные и т. д.

Можно посмотреть так же в сторону метода Гаусса решения систем линейных уравнений, но на самом деле это пока не обязательно — мотивация для решения таких систем и их важность станут понятны несколько позже.

Упражнения:

б) Используя формулы Виета, получите представление для дискриминанта квадратного уравнения в виде  — корни многочлена. В отличие от привычной школьной формулы, это определение обобщается на случай многочленов произвольного порядка: Пользуясь этим определением и формулами Виета найдите дискриминант для многочлена

в) При каких параметрах a уравнение

6. Показательная и логарифмическая функции

Определить строго эти функции в школьном курсе весьма сложно, поэтому придётся опираться не на строгость, а на интуицию.

Начать следует с показательной функции Как строить такую функцию для целых x понятно (из индуктивного определения легко следует как считать отрицательные целые степени). Степень вида можно определить как корень степени x и использовав приём поразрядного подбора. Это следует из свойства Воспользовавшись этим же свойством еще раз, можно определить возведение в любую рациональную степень.

Теперь встает вопрос как определять значения для иррациональных показателей степеней. Поскольку каждое иррациональное число сколь угодно точно может быть приближено рациональным числом, то и иррациональные показатели степени могут быть приближены рациональными степенями. Опять же строгое проведение этих рассуждений требует базовых сведений о пределах и топологии, поэтому на среднешкольном уровне оно невозможно. Однако можно найти много неформальных рассуждений в этом ключе, дающих хорошее понимание и интуицию.

Когда определена показательная функция, можно определить логарифм как функцию, обратную к показательной.

Следующими шагами является изучение максимума свойств логарифмов и показательных функций, включая неравенства и вид их графиков. Полезно почитать про выпуклость логарифма и показательной функции и следующих из этого неравенств.

Упражнения:

а) Пусть дано произвольное натуральное число x. Сколько разрядов потребуется для его записи в позиционной системе счисления с основанием k? (Для тех, кто пропустил системы счисления, рассмотрите только случай  k=10).

б) Используя выпуклость логарифма докажите неравенство Юнга: . Факультативно можете посмотреть в учебниках как из него выводятся неравенства Гёльдера и затем Минковского (сейчас это не необходимо, но позже они сыграют важную роль).

в) Используя неравенство докажите, что среднее геометрическое всегда меньше либо равно среднему арифметическому.

7. Геометрия

Если курс школьной алгебры составлен хоть как-то более-менее нормально, то школьная геометрия представляет собой полностью провалившуюся концепцию. Геометрия Евклида в том виде как он её излагал крайне не строга (даже самую первую теорему в своих «Началах» сам Евклид доказывает некорректно), а доказываются в ней зачастую совершенно интуитивные вещи, которые можно было бы и не доказывать. О самой сути и назначении доказательств я скажу немного в конце, пока же обозначу то, что требуется знать.

Во-первых, надо узнать про сумму углов n-угольников. Это очень простая теорема. Употребляется она не часто, но не знать её стыдно.

Затем надо принять число 2π как длину окружности единичного радиуса. Никакой строгости тут быть не может — школьник (да и студент технического ВУЗа) чисто физически не сможет определить понятие длины, а уж тем более доказать, что окружность этой самой длинной в принципе обладает. Это действительно не простые всё вопросы, требующие значительной подготовки, поэтому просто примите большую часть очевидных фактов как должное.

Затем полезно (но не обязательно) доказать (не слишком строго опять же) формулы площади и периметра для окружностей произвольного радиуса, в предположении, что радиус единичной окружности равен 2π, что мы пока условились принимать как аксиому.

Изучите измерение углов в радианах и как считать длину дуги окружности (можно пока только единичной).

Покажите, что если из одной точки A исходит два луча, пересекающих линию L в точках B и C, и линию L’, параллельную L, в точках D и E, то Это и подобные соотношения дают основания для введения тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса. Определяемые изначально как отношения между сторонами прямоугольного треугольника, тригонометрические формулы оказываются зависимыми в действительности не от сторон этого треугольника, а только от угла, что и должно быть видно из выведенного выше соотношения.

Используя тригонометрические функции научитесь определять площади и высоты простейших геометрических фигур.

Докажите теорему Пифагора и из неё установите основное тригонометрическое тождество  и его следствия.

Докажите теорему синусов (для этого вам предварительно придется немного покопать свойства вписанных в окружность углов).

Изучите основы векторного исчисления в случае плоскости. Из многих подходов к изучению векторов следует выбирать те источники, где вектор представляется парой вещественных чисел, а арифметические операции над ним как покоординатные операции. Вы должны усвоить сложение векторов (правило параллелограмма), умножение на скаляр, понятие о сонаправленности и параллельности векторов, скалярное произведение и его связь с углами, проекции.

Из векторного исчисления выведите теорему косинусов. Из теоремы косинусов и основного тригонометрического тождества — формулу Герона.

Докажите теперь теорему Пифагора в чисто векторном смысле: определив ортогональность (перпендикулярность) векторов как (x, y) = 0 установите равенство для ортогональных векторов.

Рассмотрите уравнения прямой и окружности на плоскости. Если в дальнейшем вы хотите изучать теоретическую математику — изучить так же свойства инверсии.

Полезно изучить так же золотое сечение.

Упражнения:

а) Докажите неравенство Коши-Шварца (его еще называют неравенством Коши-Буняковского):

б) Дана единичная окружность с центром в начале координат. Найдите все уравнения прямых, проходящих через заданную точку и касающихся этой окружности.

в) Каждая точка плоскости может быть представлена парой координат (x, y). Существует ли такая прямая, которая проходит в точности через одну точку, у которой обе координаты рациональны? (Более сложный вариант: установить существует ли прямая, которая вообще не проходит через точки с двумя рациональными координатами).

8. Тригонометрия

Рассматривая единичную окружность определите значения тригонометрических функций для произвольных аргументов углов. Отсюда установите периодичность тригонометрических функций, четность, нечетность, свойства .

Самые сложные формулы, которые надо изучить в самом начале, это формулы синуса и косинуса суммы: .

Их доказательство обязательно надо найти.

Затем надо научиться выводить кучу тригонометрических тождеств. Главные тут это тригонометрические формулы двойных углов, половинных углов и суммы и произведения тригонометрических функций. Выясните как они получаются. Время от времени они нужны, но довольно глупо пытаться их запомнить — правильнее помнить как они выводятся, это куда практичнее и проще.

Научитесь строить графики тригонометрических функций. Изучите обратные тригонометрические функции. Научитесь решать тригонометрические уравнения и неравенства.

Изучите геометрическую интерпретацию комплексных чисел и их тригонометрическое представление. Разберите формулу Муавра и вычисление комплексных корней. Применяя формулу Муавра и Бином Ньютона получите формулу n-кратного угла для синуса и косинуса.

В общем-то главная суть тригонометрии на данном этапе — усвоить всевозможные манипуляции с тригонометрическими тождествами и ряд стандартных трюков при решении уравнений. Здесь опять же можно почитать материалы для подготовки к ЕГЭ — какой-то специальной теории на данном этапе не удастся рассмотреть.

Уражнения:

б) Пусть  — k-ый комплексный корень n-ой степени из единицы. Докажите, что

в) Придумайте формулу разложения для произвольной суммы

9. К начальному институтскому курсу

Изложенного выше достаточно для того, чтобы начинать читать университетские учебники. Области математики, которые необходимо изучать, очень зависят от того, чем вы планируете заниматься. Я дам краткий ориентир что и как читать по самым основам в самом начале — все это вам пригодится 100%.

Одномерный анализ: это пределы, производные, интегралы и ряды. На начальном этапе я бы посоветовал избегать вникания в формализм. Запись  означает, что при приближении аргумента x к a, значение функции приближается к b. Довольно очевидно, что функция при этом будет приближаться к значению  2b даже без строгих доказательств. Если вы начнете зарываться в эпсилон-дельта формализм, который преподаётся в ВУЗах, то потратите уйму времени и ничего не поймёте. Причины ненужности этого формализма я подробнее поясню ниже.

По пределам вы должны усвоить два золотых предела, теорему Штольца (её возможно отложить на время, пока не займётесь формализмом), изучить о-нотацию и свойства бесконечно малых и бесконечно больших.

При изучении производных вы должны уметь выводить все формулы дифференцирования. Изучение дифференциала и производной композиции и обратной функции скорее всего получится весьма неформальным.

При изучении производных важно понять геометрический смысл и как он помогает определять экстремумы и области выпуклости функции, теорему Ролля, теорему Лагранжа, теорему Коши о среднем значении, правило Лопиталя, изучить ряды Тейлора, изучить взаимосвязь корней полинома с корнями его производной. Опять же, в большинстве случаев подойдут неформальные рассуждения.

Про интегралы важно узнать основную теорему анализа, правило интегрирования по частям и как производить замену переменных. Опять же важно узнать как интегрируются все стандартные функции, включая рациональные дроби (интересно посмотреть прием интегрирования Остроградского).

Про ряды особо ничего знать не надо. На практике вам мало что из теории рядов пригодится, кроме как самих рядов. То есть сама теория ставит много вопросов о сходимости, равномерной сходимости и подобном, однако все реальные ряды, которые встретятся на вашем жизненном пути, будут обладать весьма хорошими свойствами сходимости и не потребуют какого-либо специального анализа. Про это я опять же напишу ниже подробнее. Из прикладных аспектов хорошо посмотреть арифметические операции над рядами, как с помощью рядов решаются дифференциальные уравнения и как выводятся ряды для основных школьных функций. Посмотрите так же на аппроксимацию Стирлинга (в общем виде вы пока её не сумеете понять, но простейшее приближение вы уже должны быть способны получить из Гамма-функции, пусть и не совсем формально).

Читать по анализу рекомендую учебники Зорича и Лорана Шварца. Если решите брать другой учебник и копать теорию, то критерием выбора книги должно быть использование языка топологии и векторных пространств в книге, а не эпсилоны и кучи неравенств.

Основы теории множеств. В теории множеств на начальном этапе надо понять операции над множествами и общее определение функции (как подмножество декартова произведения), такие свойства как инъективность, сюръективность и подобные, а так же ассоциативность композиции функций. В детали залезать с самого начала нет смысла, но ассоциативность композиции важно уметь доказывать. Читать можно что угодно, в том числе мой учебник (если хотите хардкора).

Основы линейной алгебры. Обозначить наиболее важные темы в линейной алгебре довольно сложно — там в принципе неважного нет. Поначалу можно опустить изучение тензоров, но это в принципе всё. При изучении линейной алгебры следует обращать внимание на следующие аспекты:

1) Материалы, которые вы будете читать, должны по минимуму использовать матрицы и по максимуму линейные операторы. В идеале вы не должны закладываться вообще на существование какого-либо базиса в линейном пространстве. Вы вначале должны узнать что такое линейный оператор, и лишь потом что такое матрица. Никак иначе.

2) Ваши учебники должны по минимуму опираться на определители и по максимуму на собственные вектора. Если учебник постоянно навязывает вам вычисление всяких там миноров и алгебраических дополнений с доказательствами по индукции, вместо того, чтобы применять формулу Гаусса или приводить матрицу к диагональному виду, вы такой учебник должны разорвать, выкинуть и сжечь.

3) Сам определитель должен быть определен как кососимметрическая форма либо как направленный объём. Если вам изначально предлагается формула с разложением по строке или столбцу, либо же здоровая сумма с перестановками коэффициентов — такой учебник так же никуда не годится (исключение составляет учебник Кострикина).

Именно с точки зрения линейной алгебры нужно подходить к евклидовой геометрии, вы должны постоянно держать в голове как проходимый вами материал может быть применен к геометрии и пытаться решать геометрические задачи методами алгебры.

Из конкретных учебников советую учебник Винберга, Кострикина и совместный учебник Кострикина и Манина. Говорят, что хороший учебник ШелдонаАкслера «LinearAlgebraDoneRight», но сам я его не читал.

Многомерный анализ. Здесь на начальном этапе важны лишь производные и интегрирование. Производные хорошо изучать как аппроксимации произвольных функций линейными операторами. Здесь уже получится корректно и понятно ввести понятие дифференциала и изучить в общем виде свойства производных, которые ранее изучались неформально (типа производной композиции и обратных функций). Изучите обязательно как решаются оптимизационные задачи и условия для экстремумов (тут же посмотрите в сторону градиентной оптимизации).

В интегрировании опять же не стоит углубляться в теорию — просто посмотрите как считаются стандартные примеры интегралов. Например, обратите внимание на вычисление интеграла Гаусса и вычисление объема n-мерной сферы. Из теоретически важного можно выделить теорему Грина и интегрирование потенциальных векторных полей. Учебники все те же Зорича и Шварца.

Теория вероятностей и основы статистики. Эти темы сейчас являются очень важными практически во всех областях. Вообще очень сложно представить себе область знаний, которая не требовала бы понимания этих дисциплин. По теории вероятностей нужно знать аскиомы и свойства случайных событий, случайные величины и их характеристики (вы должны понимать, например, как связано скалярное произведение и СКО, а так же почему именно ковариационная матрица является положительно-определенной), иметь представление о характеристической и производящей функции. Полезно залезть в основы теории информации.

По статистике надо знать основы оценивания (включая информацию Фишера и информационное неравенство), проверки гипотез, понимать чем отличаются частотный и байесов подход, знать какие-нибудь алгоритмы анализа независимых компонент. Область эта сейчас очень динамично развивающаяся и полезно посмотреть просто современные статьи — они редко являются сложными, но содержат часто интересные и продуктивные идеи.

Комплексный анализ. Курсы комплексного анализа все довольно стандартны, можете брать любой, хотя комплексный анализ нужен уже только тем, кто собрался двигаться дальше. Хорошим критерием того, что вы неплохо разобрались в теме, является понимание как интегрировать и суммировать с помощью вычетов (вы должны быть способны посчитать сумму умение доказывать основную теорему алгебры в одну строчку и понимание почему голоморфность эквивалентна аналитичности. С точки зрения комплексного анализа удобно рассмотреть анализ Фурье (хотя, если углубляться в теорию, еще лучше рассматривать эти темы с точки зрения функционального анализа).

10. Что дальше

Дальнейшее изучение зависит от того что вам надо. Приведенной мной выше список понадобится практически любому человеку, кто хотя бы косвенно связан с математикой. Естественно, что в конкретных областях знаний требуется отдельные разделы математики, которые надо изучать независимо. Например, если вы занимаетесь криптографией, вам потребуется серьезная подготовка по теории чисел и алгебре. Если в каких-то инженерных или физических задачах вам нужна теория поля (та что про ротор и дивергенцию), то вам будет полезно изучить основы топологии и дифференциальные формы с общей формулировкой теоремы Стокса. Если вам нужна вычислительная математика и анализ данных, то вам надо читать про численные методы, методы оптимизации и подобное. Если вы финансовый аналитик, вам потребуются случайные процессы и анализ Ито, а если экономист, то теория игр. Инженерам и физикам очень нужны дифуры и вариационное исчисление, а физикам-теоретикам вообще очень много чего надо из того, что я в этой подборке даже издали не касался.

По этой причине дать какие-то общие рекомендаций тут уже невозможно, после изучения того, что я изложил выше, надо смотреть нужное именно вам лично. Если вы хотите закрыть дырки в доказательствах, которые возникли при изучении, то вам уже следует изучать теоретическую математику — вначале теорию множеств (в части про бесконечные множества, аксиому выбора и ординалы), общую топологию и алгебру, затем функциональный анализ. Этого будет достаточно для того, что доказать и понять правильно как идейно, так и формально абсолютно всё, что могло вам встретиться в школьном и университетском курсе. Многие вещи вы определите при этом уже совершенно по-иному: так, вы поймёте, что самым корректным определением тригонометрических функций являются ряды, узнаете про интеграл Лебега, многообразия, из функционального анализа вы по-другому взгляните на вопросы сходимости, ну и так далее. После перечисленного уже можно ориентироваться на широкоизвестные списки типа списка Вербицкого или списка для студентов НМУ. Это собственно самое адекватное что есть.

Задачи

Надо сделать немного замечаний о том, как вообще изучать материал, потому что привычная схема изучения, которую навязывает школа и институт, очень глупа и не правильна в корне.

Институт и школа приучают решать кучу однотипных примеров на одни и те же темы. В школе вначале решается куча уравнений, потом куча неравенств, потом куча систем уравнений. В институте вначале куча пределов, потом куча производных, потом куча интегралов, потом куча дифуров. Причем чем больше и сложнее задачи, тем лучше, как считается, учат. Надо быть очень глупым человеком, чтобы правда верить в то, что это зачем-то может вообще пригодиться.

Задачи имеет смысл решать преследуя лишь одну цель: чтобы лучше понять материал. В этом плане вам могут пригодиться либо совсем простые задачи на несколько минут раздумий, которые помогают, если вы начинаете путаться в материале и теряете нить рассуждений, либо же сложные задачи, которые займут у вас уйму времени и вы вообще не факт что с ними справитесь, однако во время раздумий над задачей вы выполните определенное самостоятельное исследование темы. Даже если вы ничего нового в ходе этого не узнаете, вы пощупаете материал и уже будете в нем увереннее себя чувствовать.

Вообще в задачах не важно смогли вы ее решить или не смогли — важно лишь то, вынесли вы из процесса решения что-либо или нет. Ситуация, когда задачи решаются на время у доски под надзором учителя или в листке с контрольной работой призваны лишь проконтролировать, что ученик выполнил приказ учительницы и зазубрил нужную формулу. Есть определенный статистический интерес в контрольных с простыми быстрыми вопросами, чтобы учитель понимал догоняет ли вообще класс в целом что происходит на доске и какие темы требуют дополнительной проработки, но это именно статистическая мера, а не оценка понимая конкретного студента. О понимании конкретным студентом материала тут речи идти не может вообще никакой.

Часто учителя на этот аргумент возражают, что, мол, у доски отрабатываются основные техники решения. Однако и это является не правдой: никаких основных техник решения задач не существует. Посмотрите на доказательства теорем — в них нет ничего общего с теми тысячами однотипных задач нарешиваемых у доски. Если вы посмотрите в какие-то прикладные области науки, то убедитесь, что вообще все задачи даже на те же пределы или интегралы, которые в принципе способны попасться на практике, либо решаются совсем тривиально, либо наоборот очень сложно с помощью какого-либо хитрого трюка, который все равно в институте не изучался, либо вообще не решаются напрямую и там требуются численные решения.

Мой личный подход к задачам — не решать их вообще. Я за них берусь лишь когда чувствую, что начинаю плавать в изучаемом, и тогда прорешиваю простые задачки. Вместо же сложных задач я пытаюсь самостоятельно доказывать теоремы (прежде чем я читаю доказательство, я пытаюсь придумать его сам). Сложные задачи иногда я тоже решаю, но я их как правило сам себе ставлю, те же задачи, что ставит мне кто-то в учебнике у меня обычно нет мотивации решать, хотя это зависит от темы и от учебника.

Человеку, изучающему математику, есть смысл следовать именно этому принципу: решать лишь несколько задач на каждую тему и стараться во время решения оценить насколько вы понимаете саму тему, а не ориентироваться на вашу способность или неспособность решать задачу. Это важно так же и поскольку разные учебные пособия подразумевают совершенно разный уровень подготовки по смежным дисциплинам и различное планируемое время, которое требуется затратить на решение. Если у вас не получается решать задачи, то скорее всего это от того, что составитель учебника лично на вас не ориентировался, а не потому что вы тупой. Аналогично если вы легко решаете задачи, то скорее всего вы и не выносите из решения ничего для себя, и это так же плохо подобранный материал.

Доказательства

К доказательствам отношение в школе и в институте так же формируется некорректное. Надо понимать три вещи:

1) Целью доказательства является логически корректное убеждение спорящего оппонента, а не достоверное установление истины.

2) Достоверно корректных доказательств вообще почти не существует.

3) Доказательств каждого отдельного факта чаще всего существует довольно много и нет никакого единого доказательства, которое надо знать.

Я поясню что я имею ввиду.

Во-первых, вы должны знать, что вы скорее всего не видели ни одного действительно полноценного и строгого доказательства в своей жизни (это не относится к математикам-теоретикам и логикам). Большая часть доказательств в математике в том виде, как она представлена в учебниках, совершенно не формальна и содержит огромное количество дырок, и это не недостаток учебников, а суть нашего мышления.

Возьмём аксиомы Евклида и его книгу «Начала». Как я уже упоминал, в ней первая же теорема доказана некорректно. Некорректность заключается в том, что Евклид полагал очевидным тот факт, что две достаточно близко располагающиеся друг к другу окружности обязательно пересекутся (в его случае когда радиус равен расстоянию между центрами окружностей). Это действительно кажется очевидным, но, оказывается, из аксиом Евклида это невозможно доказать, и причина кроется в том, что его аксиомы не раскрывают сути непрерывности линии — вполне может быть, что окружности содержат большое количество «щелей», говоря неформально, в своей внутренней структуре, и если пересечение придется на такие «щели», то никакого пересечения по сути и не будет — у окружностей не найдется в этом случае общих точек.

Это очень тонкий момент, но для полноты строгости его необходимо рассматривать. Это приводит к тому, что вместо пяти аксиом Евклида приходится рассматривать двадцать аксиом Гильберта, которые закрывают дырки Евклидовой геометрии. Но возникает резонный вопрос: а нужна ли нам вообще такая строгость? Что реально получает студент-инженер или школьник, рассматривая вместо пяти аксиом двадцать аксиом? Ведь скорее всего эти щели в окружностях ему будут совершенно непонятны и будут казаться надуманными — чтобы вполне осознать их возможность, надо предварительно изучить понятие полноты метрических пространств, а это уже довольно продвинутый теоретический материал. Изучение же метрических пространств без предварительной геометрической интуиции так же будет бессмысленным.

Здесь как раз возникает вопрос убедительности. Аксиомы Евклида были сформулированы в третьем веке до нашей эры, а их неполнота стала понятна лишь во второй половине XIX-го века. Во весь этот промежуток времени ни у кого не было никаких сомнений в верности доказательств Евклида. В школе до сих пор используются аксиомы и доказательства Евклида — они некорректны, что очевидно любому математику, но они в то же время убедительны, и никого в школе они не смущают. Но тогда возникает вопрос, стоит ли тратить время вообще на эту формулировку неполноценных аксиом и неполноценные доказательства? Так факт, что вертикальные углы равны между собой очевиден на глаз, и никакой школьник никогда не поймёт зачем это надо доказывать. Так не логично ли выкинуть это доказательство вообще из курса школьной геометрии, наряду с другими? Моя программа по геометрии, данная выше, как раз предполагает именно подход доказательств, беря за основу не аксиомы и строгие выводы, а очевидные соображения.

Аналогичная ситуация наблюдается в матанализе. Исторически производные, пределы, интегралы и ряды появились гораздо раньше, нежели они были формально обоснованы с точки зрения эпсилон-дельта формализма. Такой выдающийся математик как Эйлер доказал огромное количество теорем, но за эти доказательства в современном российском ВУЗе ему поставили бы твёрдый кол: Эйлер просто не знал о том, что надо еще доказывать всякие там сходимости, произнося слова типа «для любого эпсилон больше нуля, существует такое эн, что…» Тем не менее, доказательства Эйлера казались совершенно строгими и убедительными его современникам — в то время никто не занимался поиском контрпримеров и тонким анализом сходимости.

Что здесь важно заметить: при всей нестрогости доказательств Эйлера, результаты, которые он получил (даже самые невероятные), оказались верны. Почему так произошло? Как я уже упоминал выше, вам очень маловероятно что попадутся примеры функций, обладающих какими-то неприятными свойствами, а если они и будут, то эти неприятные свойства чаще всего будут совершенно очевидны. Чтобы сконструировать какой-то контрпример, в котором будет важно тонко анализировать свойства сходимости, надо очень здорово попотеть. Посмотрите, к примеру, книгу Гелбаума и Олмстеда «Контрпримеры в анализе». Вы очень быстро поймёте, что такие функции вам никогда не понадобятся на практике.

На самом деле даже при всем желании провести корректное полноценное доказательство и построение математики, вам этого не удастся. Институтский эпсилон-формализм преподаватели обычно позиционируют как полноценное доказательство, хотя на самом деле это очень далеко от истины: студентам инженерных специальностей не доказывают, что вещественная прямая полна, а стало быть может случиться такое, что последовательность хоть и сходится по признаку Коши (является фундаментальной), но не имеет предела, ведь вещественные числа как пополнение рациональных на инженерных специальностях не вводятся — вещественные числа подразумеваются там чем-то очевидным, хотя это далеко не так.

Даже если определить вещественные числа как пополнение рациональной прямой, остаётся вопрос как ввести рациональные числа. Положим, с ними проблемы большой нет, в предположении того, что мы владеем теорией натуральных чисел. А как определить натуральное число? Очень непонятный и неочевидный (без дополнительной подготовки и подробного изучения вопроса) способ предоставляет теория множеств, которую лишь на базовом уровне преподают лишь на некоторых специальностях.

Тут возникает проблема аксиоматизации теории множеств, поскольку наивные представления о множествах тут же приводят к чудовищным противоречиями. Возникает потребность в строгой аксиоматике на языке формальной логики. Здесь уже сразу возникает вопрос о том, что аксиоматизаций теории множеств существует много разных и хорошо бы обсудить со студентами их различия, а так же следующие из некоторых из них парадоксы. Но даже если рассматривать лишь одну какую-нибудь аксиоматику, возникает вопрос строгого обоснования используемой логики, на которой мы формулируем аксиомы. Логических парадоксов ведь тоже довольно много, да и самих разновидностей логики существует изрядное количество: какое-то время назад многие математики активно выступали против классической логики в пользу интуиционистской, но даже в рамках привычной всем логики возникают вопросы использования логики более высокого порядка нежели первого, или необходимости рассматривать модальную логику, или же нашей правомочности в принципе рассматривать объекты бесконечной природы. Во Вселенной ведь судя по всему лишь конечное число частиц, так имеем ли мы право мыслить о всяких там континуумах и счетных множествах в математических рассуждениях? Не является ли это всё одним большим заблуждением? Эти вопросы не стоят сейчас на полном серьезе в математике, но тем не менее они показывают, что корректность математического доказательства — вещь очень относительная.

Конечно, какого-то уровня строгости рассуждения надо придерживаться, но непонятно кто имеет эксклюзивное право устанавливать эту границу формальности, которой должен следовать учащийся. Кто вообще придумал, что ровно эпсилон-формализм (или любой другой) является необходимым формализмом для любого студента? Почему в институте не принимают графические «доказательства», но принимают рассуждения никак не обозначающие свойства полноты вещественной оси и измеримости множеств, как данное?

Способен ли этот формализм, преподающийся на инженерных специальностях, убедить глубоко мыслящего, понимающего и дотошного человека? Очевидно, нет. Делает ли этот формализм материал проще и интуитивнее? Тоже, очевидно, нет. Является ли сам этот подход широко применимым и полезным? Да он вообще устарел, чрезвычайно сложен и громоздок. Сам Коши, используя эпсилоны и дельты, очень часто лепил ошибки и после публикации какой-нибудь «теоремы», тут же выпускал вторую публикацию вдогонку в духе «ой, извините, я ошибся, на самом деле там вот так должно быть». В современной математике этот формализм заменен более общими и простыми концепциями. Так логично ли требовать от студентов знать и изучать это? Существует ли вообще какой-либо формализм и доказательства, которые необходимо знать?

Поэтому я и утверждаю, что цель доказательства — убедить. В научном сообществе задачей является убеждение рецензентов. Это довольно хороший подход: если большое количество профессионалов за какое-то время, подробно изучая ваше рассуждение, не нашло в нем никаких недочетов и контрпримеров, мы можем утверждать, что это доказательство, видимо, хорошее. С точки зрения абсолютности философской истины это конечно же не так, но для научной практики этого достаточно.

Для студента задачей доказательства так же является убеждение, но в данном случае уже самого себя. Когда вы убедили себя в верности какого-либо утверждения и оно не вызывает у вас сомнений, вы можете считать, что вы это понимаете. Только когда у вас нет сомнений в истинности теоремы, вы можете её смело применять.

Предположим, вы начали изучать натуральные числа и хотите понять, почему xy=yx. Предположим, что вы перебрали очень много пар чисел (скажем, сто разных пар), и убедились, что во всех этих случаях данное свойство выполняется. Допустим, вы сочли, что этот перебор является замечательным доказательством требуемого утверждения, настолько замечательным, что вы сами вполне убеждены в верности теоремы и не мыслите себе иного. Учитель в институте скажет вам на такое доказательство, что вы идиот и отправит служить в армию. Я же вам скажу, что вы молодец, вы действительно доказали этот факт для себя и можете переходить к следующей теме. Через какое-то время, может быть при изучении графиков функций, может быть при изучении производных, вы всё же поймёте, что ваше доказательство никуда не годится — тогда вы вернетесь в самое начало и докажете это же самое свойство чисел уже по-другому. И будет наивно думать, что это станет окончательным вашим доказательством.

Идеальная ситуация — это когда у вас есть учитель, который показывает вам в чем ваше доказательство не верно. Если вы считаете какой-то шаг очевидным, учитель должен вам показать ситуацию, в которой такой шаг является явно некорректным. В некоторых книжках для некоторых доказательств отдельно рассматриваются тонкие моменты самих доказательств, но это лишь частные случаи. По большому счету у самоучки нет никакого способа достоверно проверить является ли его понимание доказательства полноценным или нет — единственный критерием здесь является лишь ваша личная убежденность в правильности доказанного утверждения. Чаще всего и у студента технического ВУЗа тоже нет такого учителя, который способен показать неверность доказательства — там требуется лишь ответ в соответствии с программой и не более того. Понимания от вас не требуют, дать вам это понимание там никто не способен.

Сказанное имеет важное методическое следствие. Во-первых, вы должны принять за правило не изучать строгие формальные доказательства на более глубоком уровне, чем это требуется лично вам. Если вам очевидно, чтоxy=yx из геометрических построений, не стоит лезть в теорию множеств. Если вам очевидно, что предел суммы равен сумме пределов, потому что это довольно логично (если x_n приближается к  a, а y_n приближается к b, то было бы странно, если бы x_{_n}+y_{_n} приближался к чему-то иному, нежели к a+b), то наплюйте на строгое доказательство. Именно сам эпсилон-формализм вам нигде кроме этого и сжепарочки подобных очевидных доказательств не пригодится. Так не тратьте время.

Второй методический момент связан с тем, как вообще человек мыслит при доказательстве чего-либо. Я очень сильно сомневаюсь, что какой-либо математик начиная думать о теореме, начинает с того, что произносит в голове фразу: «Пусть функция f равномерно непрерывна на замкнутом интервале [a;b] и дифференцируема по крайней мере десять раз в некоторых окресностях точек x, y и z; выберем для каждой из этих точек такое положительное эпсилон и натуральное эн-большое, что…». Люди просто не умеют так думать, хотя это именно то, что требуют отвечать в институте.

Можно рассмотреть набросок доказательства основной теоремы алгебры, который я привёл выше. Данное «доказательство» совершенно неформально и не строго, но это хорошая идея, которая подсказывает, каким путем идти дальше. Попытки формализовать это доказательство и заполнить пробелы, которые имеются, приводят уже к доказательству в том виде, как оно публикуется в учебниках и научных статьях. Со всякими эпсилонами и эн-большими. Но изучать математику именно в таком формализованном виде, не пытаясь обратить внимания на неформальную интуицию, скрывающуюся за определениями — не правильно. Первоначальна в рассуждениях почти всегда интуиция и неформальные построения, а лишь затем добавляется строгость.

Таким образом получается, что ваша личная интерпретация доказательства, пусть даже и неформальная и где-то что-то упускающая, оказывается гораздо более ценна, нежели целиком точное и формальное изложение. Гораздо ценнее, если вы понимаете интуитивно теорему, нежели чем если вы зазубрили доказательство и умеете его выдать у доски. Формальное же доказательство в учебнике дается не для того, чтобы вы разобрались именно в нем и знали именно его в том виде как оно дано, а для того, чтобы подсказать вам идею, которая стоит за утверждением и объяснить почему теорема имеет вообще место быть.

Через какое-то время самостоятельного изучения математики вы научитесь читать формальные выкладки очень быстро и бегло, и на лету выхватывать стоящую за ними идею. Понимание необходимости таких выкладок по идее должно придти при рассмотрении более-менее продвинутых тем вещественного и комплексного анализа, где появляется уже много совершенно не очевидных теорем, далеко не каждая их которых имеет хоть какую-то интуитивную трактовку. Набивание руки на изучении таких доказательств приучит вас легко их интерпретировать. Поэтому если на начальном этапе вам вдруг покажется, что какой-то факт и так понятен и не требует доказательства — пропускайте это доказательство. Если вы видите очевидное рассуждение, устанавливающее справедливость какой-то формулы, и не понимаете зачем в учебнике даны тонны непонятных выкладок — ориентируйтесь на своё рассуждение и плюйте на выкладки в учебнике.

Ваша личная интерпретация и понимание математики на порядок важнее того, что вам навязывают.

Помочь в развитии навыков доказательства могут два таких совета:

1) Иногда, не слишком часто, внимательно просматривайте все условия теоремы, и по каждому из условий задайте сами себе вопрос: «Где используется это условие? Что было бы, если бы это условие не присутствовало, каким именно образом доказательство развалилось бы?» Такие размышления со временем научат вас строгому мышлению и понимаю математического формализма.

2) Для каждой теоремы с не очень простым доказательством, спрашивайте сами себя: «Каким именно образом автор доказательства до него додумался? Какая у него была первоначальная неформальная идея?» Это научит вас понимать интуицию, которая кроется за формальными выкладками.

Последовательность изучения

Еще она важная ошибка современного образования заключается в попытке излагать материал последовательно и аксиоматично. Вначале без какой-либо мотивации вас пичкают анализом, затем, лишь через пару-тройку лет, когда вы всё забудете, вы вдруг обнаруживаете, что оказывается дифференциалы действительно нужны в методах оптимизации, которые правда сами не понятно где используются (не все же диеты для американской армии составлять).

В идеале прежде чем браться за изучение какого-то материала, вам нужно увидеть проблему, которую вам интересно решать. Это даёт мотивацию и понимание чего вы собираетесь получить от изучаемой дисциплины.

У разных людей мотивация может быть различной. Теоретику может оказаться интересно разрешить противоречия и неполноту доказательств в какой-то теории, либо же просто попробовать построить какие-то рассуждения в каких-то нестандартных условиях, и тогда он станет читать про теорию множеств и формальную логику. Финансист, попытавшись анализировать цены на рынке, неминуемо придет к необходимости изучать стохастические процессы и необходимые для них области математики. Программист, изучающий алгоритмы, может заинтересоваться комбинаторикой и теорией вероятностей.

В институтах почти никогда такой мотивации не дают. Можно услышать общие фразы типа «это имеет широчайшие применения в различных отраслях народного хозяйства и при анализе финансовых рынков», но это бессмысленный набор слов. Чтобы у вас была реальная мотивация и понимание того, что вы изучаете, вы должны на конкретном примере знать где изучаемая вами теория пригодится, в каких конкретных задачах.

У совсем начальных областей математики, программу по которым я набросал выше, есть лишь одна мотивация для изучения — использование этих материалов далее в каких-то областях уже более продвинутых или прикладных, но именно в рамках самой математики. На практике все перечисленные мной выше вещи действительно чаще всего не встречаются (кроме натуральных чисел при подсчете сдачи в магазине), но они необходимы как строительные кирпичики для других областей науки. Например, ни формулировка, ни ответ дифференциального уравнения не содержит никаких комплексных чисел, но без них невозможно развить и понять теорию. Ни формулировка, ни ответ задачи линейного программирования не содержит упоминания многомерной геометрии, но без нее невозможно понять симплекс-метода, используемого для решения этой задачи.

Поэтому довольно полезным может оказаться вначале беглый поверхностный Возьмите за правило читать параллельно много книг, ставя критерием на начальном этапе скорость прочтения. Если вы вдруг не понимаете какую-то теорему, то у вас есть два пути: либо засесть с ней на пару недель и не факт, что корректно её истрактовать в итоге, либо пропустить её и изучать этот или другой материал дальше. Последний подход намного лучше, так как в девяти из десяти случаев окажется, что либо вам просто попался учебник с не самой удачной формулировкой или доказательством (даже если автор — очень крутой мужик, он мог запросто написать что-то неудачно), либо вам эта теорема не нужна вовсе, либо ваша трудность возникла из-за того, что вы не видите её применения, либо учебник ориентирован на людей с другим уровнем либо другими целями. Часто абстрактная формулировка не даёт вычленить в теореме важность её как инструмента — именно поэтому забегание вперед и пропуск непонятного часто оказывается очень плодотворным, поскольку вы сможете увидеть, где именно и как эта теорема найдет своё применение.

Правда, с забеганием вперед и поверхностным знакомством надо тоже знать меру. Вы все же должны понимать, что вы читаете, и поддерживать в голове баланс из общих знаний что откуда берется и строгих доказательств. Я насмотрелся в своей жизни на кучу финансовых аналитиков, портфельных и риск менеджеров и подобных, которые умеют очень долго вести разговор на математическую тему, сыпать терминами и фамилиями, они знают названия кучи теорем, областей математики и что откуда берется, но при малейшей попытке как-то конкретизировать разговор, выясняется, что они вообще не понимают даже в общих чертах о чем они балаболят. Такому, как я понимаю, учат в разных там экономических ВУЗах. Это стыдно.

Что касается самого материала, то тоже нужно понимать, что в общем-то что действительно важно и нужно тоже нет никакой достоверности. Инженеры будут вас уверять, что обязательно надо изучать интеграл Римана со всеми строгими выкладками и читать про равномерную сходимость, однако студенты и преподаватели НМУ вам расскажут о том, что интеграл Римана не нужен, а нужен интеграл Лебега, а вместо равномерной сходимости надо изучать банаховы пространства в самом общем виде. Правильный ответ как учитьскорее всего может дать лишь каждый отдельно взятый учащийся, и этот ответ будет правильным исключительно для него, в зависимости от его личных целей и того, как ему проще понимать материал. При всей абсурдности такого курса как «аналитическая геометрия» в институтах, если вам просто надо быстро понять свойства эллипса для прикладной цели, то вероятно будет эффективнее действительно почитать книгу по «аналитической геометрии», а не копаться в свойствах квадрик, хотя конечно последнее даст вам куда лучшее понимание вопроса.

То же самое касается и учебников и самого набора тем для изучения. Приведенный мной выше набросок того что надо изучать сам по себе весьма относителен. 99% инженеров живут не зная ни мультиномиального коэффициента, ни производящих функций, ни даже теоремы Евклида. Им это не не мешает изучать свою область, хотя я считаю, что эти темы были бы пусть даже и не полезны непосредственно всем, но интересны. Но вероятно в их ситуации действительно полезнее читать о чем-то другом. Мой набросок, к примеру, лишь поверхностно рассматривает геометрию Евклида на плоскости, рассчитывая на то, что поняв основы алгебры и анализа, школьные теоремы читатель сможет выводить сам, и совсем не рассматривает проективную или риманову геометрии, которые так же могут быть крайне полезны прикладникам, но лишь в частных случаях. Возможно, что многим прикладникам придутся более по душе простые книжки по проективным плоскостям и геометрии на сфере, а не абстрактные конструкции через векторные пространства и многообразия, и такой подход может оказаться продуктивнее, если вас интересуют только несколько основных результатов.

 

---

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 1159; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!