Определение уравненийрегрессии

Корреляционную зависимость между переменными X и Y можно выра- зить с помощью уравнений типа

Y = F(x)

или

Xy = F(Y) ,

которые называются уравнениями регрессии. В этих уравнениях

ляются средними арифметическими переменных X и Y.

Yxи Xyяв-

Графическое выражение регрессионного уравнения называют линией регрессии. Линия регрессии выражает наилучшее предсказание зависимой переменной Y по независимым переменным X (рис. 2.17). Эти независимые переменные в математике называются предикатами.

xy = в0 + в1y

B yx = ao + a1x

x X

Рис. 2. 17. Линия регрессии У = F(x) и X = F(у)

в системе прямоугольных координат

В соответствии с уравнениями (1) корреляционную зависимость можно выразить с помощью двух уравнений регрессии, которые в самом простом случае выглядят как уравнения прямой:

Y = a₀ +a₁X, (2.10)

X = b₁ +b₁Y. (2.11)

В уравнении (2.10) Y – зависимая переменная, а X – независимая пере- менная, a₀ – свободный член, a₁ – коэффициент регрессии, или угловой коэф- фициент, определяющий наклон линии регрессии по отношению к осям ко- ординат.

В уравнении (2.11) наоборот X – зависимая переменная, а Y – независи- мая, b₀ – свободный член, b₁ – коэффициент регрессии, или угловой коэффи- циент, определяющий наклон линии регрессии по отношению к осям коор- динат.

Если произвольно на рис. 2.17 изобразить линии регрессии по уравнени- ям (2.10) и (2.11), то они пересекаются в точке O(x,y) с координатами, соот- ветствующими средним арифметическим значений переменных X и Y. Линия AB, проходящая через точку O, соответствует линейной функциональной за- висимости между переменными Y и X, когда коэффициент корреляции меж- ду ними r_xy равен единице. При этом наблюдается следующая закономер- ность: чем сильнее связь между X и Y, тем ближе обе линии регрессии к прямой АВ, и наоборот, чем слабее корреляция, тем больше линии регрессии отклоняются от прямой АВ. При отсутствии связи (r_xy =0) между X и Y ли- нии регрессии оказываются под прямым углом по отношению друг к другу.

Количественное установление связи (зависимости) между X и Y (или между Y и X) называется регрессионным анализом.Главная задача регрес- сионного анализа состоит:

- в определение коэффициентов a₀, b₀, a₁,b₁,

- вопределениеуровнязначимостиполученныхуравненийрегрессии

(2.10) и (2.11), связывающих между собой переменные X и Y.

Если до проведения регрессионного анализа выполнен корреляционный анализ переменных и определены коэффициенты корреляции между ними, то легко определить коэффициенты регрессии a₁ и b₁ по формулам:

a1 = rxy

×Sy ,

b1 = ryx

× Sx,

где S_x, S_y – среднеквадратические отклонения, подсчитанные для пере- менных X и Y соответственно.

å å

(y - y)

(x - x)

Можно рассчитать коэффициенты регрессии и без подсчета среднеквад- ратических отклонений по формулам:

a1 =rxy×

, (2.12)

å å

(x - x)

(y - y)

b1 =ryx

. (2.13)

В том случае, если коэффициент корреляции неизвестен, коэффициенты регрессии можно вычислить по следующим формулам:

a=å(xi-x)×(yi-y). (2.14)

1 å(x -x)

b=å(xi-x)×(yi-y). (2.15)

1 å(y-y)

Зная коэффициенты регрессии, можно легко получить коэффициент кор- реляции:

rxy=

a1 ×b1 .

(2.16)

Свободные члены уравнений регрессии a₀ и b₀ вычисляются по следую- щим формулам:

=åyi

×åx2 -åx

× åxi

×yi. (2.17)

0 åx 2 -å(x)2

b=åxi

×åy2-åy

× åxi

× yi.

0 åy2-å(y)2

Трудоемкость вычислений по формулам (2.14),(2.15),(2.16),(2.17) сво- бодных членов и коэффициентов регрессии достаточно велика, поэтому в регрессионном анализе используются более простые методы их определения, базирующиеся на методе наименьших квадратов [3].

Применяя этот метод для линейной функции зависимости переменных, получим две системы уравнений, позволяющие определить из одной систе- мы величины a₀ и a₁:

a_0·N+a₁Σx_i=Σy_i, (2.18)

a₀ ·Σx_i + a₁ Σ(x_i·x_i) = Σy_i·x_i ,

а из другой системы величины b₀ и b₁:

b₀·N + b_1·Σy_i = Σx_i, b_0·Σy_i+b₁·Σ(y_i·y_i)=Σy_i_·x_i,

где N – число переменных x или y.

Приведем примервычисления коэффициентов линейной регрессии.

Допустим, что при исследовании статистической зависимости между объемом снятого в процессе токарной обработки материала заготовки Q и глубиной резания s получены следующие результаты эксперимента (табл.2.11):

Таблица 2.11

Номер эксперимента	Глубина резания s, мм	Объем материала Q, куб. см
1	2,2	2,70
2	2,4	3,15
3	2,6	3,44
4	2,8	3,52
5	3,0	4,05
6	3,2	4,12
7	3,4	4,54
8	3,6	4,61
9	3,8	4,80
10	4,0	5,31
11	4,2	5,53
12	4,4	5,66

Графическое отражение экспериментальных данных приведено на рис.2.18.

Уравнение регрессии при этом имеет вид

Y = a₀₊a_1·X,

где в качестве независимой переменной X выступает глубина резания s, а в качестве зависимой переменной Y выступает объем снятого материала Q.

Q, см³

6 5 4 3 2 1

2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,63,8 4 4,2

s, мм

Рис. 2.18. Экспериментальная зависимость сошлифованного материала Q

от глубины резания s; а – линия регрессии Q = f (s)

Для решения уравнений (2.18) заполним вспомогательную таблицу 2.12:

Таблица 2.12

Номер экс- перимента	X	X·X	Y	Y·Y	X·Y
1	2,2	4,84	2,70	7,29	5,94
2	2,4	5,76	3,15	9,92	7,56
3	2,6	6,76	3,44	11,83	8,94
4	2,8	7,84	3,52	12,39	9,86
5	3,0	9,00	4,05	16,40	12,15
6	3,2	10,24	4,12	16,97	13,18
7	3,4	11,56	4,54	20,61	15,44
8	3,6	12,96	4,61	21,25	16,60
9	3,8	14,44	4,80	23,04	18,24
10	4,0	16,00	5,31	28,20	21,24
11	4,2	17,64	5,53	30,58	23,23
12	4,4	19,36	5,66	32,04	24,90
Σ	39,60	136,40	51,43	230,52	177,28

Подставляя значения данных табл.2.12 в уравнение (2.18), получим сле- дующую систему линейных уравнений:

a₀ ·12 + a₁·39,60 = 51,43, a₀×39,60 + a₁·136,40 =177,28.

Решая эту систему уравнений, получим a₀= -0,44 ; a₁= 1,40.Тогда

Y = -0,44+ 1,40·X..

Для решения уравнения регрессии

X = b₀ + b_1·Y

получим следующую систему уравнений:

b₀ 12 + b₁·51,43 = 39,60,

b₀ ·51,43 + b₁·230,52 = 177,28.

Решая эту систему уравнений, получим b₀ = 0,30; b₁ = 0,70. Тогда

X = 0,30 + 0,70·Y.

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 386; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!