Примем без доказательства, что для кривой заданной уравнением с произвольным параметрoм, то

Nbsp;                                                                                                КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ГЕОМЕТРИИ С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Часть II. Аффинное пространство.

Группы преобразований.

Дифференциальная геометрия.

Методы изображений.

Для самостоятельной работы студентов

физического и математического факультетов

 

УДК 514.072

ББК 22.151 р 30

 

 

Автор: доцент кафедры геометрии и математического анализа

         УО «ВГУ им. П.М.Машерова», кандидат физико-математических

         наук М.Н.Подоксенов

           

          

 

Рецензент: доцент кафедры прикладкой математики УО «ВГУ им. П.М.Машерова,                     

               кандидат физико-математических наук Л.В.Командина

 

 

 

Учебно-методическое пособие подготовлено в соответствии с типовой учебной программой по курсу «Геометрия» для студентов физического факультета обучающихся по специальности «физика и математика». Излагаются теоретический материал и примеры решения задач.

Рекомендуется также для студентов очного и заочного отделений математического факультета, обучающихся по специальности «Математики и информатика».    

 

 

УДК 514.072

ББК 22.151 р 30

 

                               ã Подоксенов М.Н., 2006.

                                                                 ã УО «ВГУ им. П.М.Машерова, 2007.

СОДЕРЖАНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.............................................................................................5

ГЛАВА 5. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

§1. Движение и подобие на плоскости.

§2. Аффинное преобразование.

§3. Группы преобразований плоскости.

§4. Группа преобразований плоскости Минковского.

ГЛАВА 6. АФФИННОЕ И ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

§1. Векторное пространство. Линейная зависимость векторов.

§2. Базис и координаты в векторном пространстве.

§3. Евклидово векторное пространство.

§4. Аффинное и евклидово точечное пространство.

§5. Краткий обзор геометрии пространства A⁴.

 

ГЛАВА 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ.

§1. Понятие метрического пространства.

§2. Открытые множества. Понятие топологического пространства.

§3. Замкнутые множества. Замыкание.

§4. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм.

ГЛАВА 8. ТЕОРИЯ КРИВЫХ.

§1. Вектор-функция скалярного аргумента; её дифференцирование.

§2. Понятия пути и кривой. Гладкая и регулярная кривая. Замена

параметра.

§3. Касательная прямая. Нормальная плоскость кривой.

§4. Соприкасающаяся плоскость к кривой. Главная нормаль. Бинормаль.

§5. Длина кривой. Натуральный параметр.

§6. Кривизна и кручение кривой. Формулы Френе.

 

ГЛАВА 9. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ.

§1. Понятие поверхности.

§2. Кривые на поверхности. Касательная плоскость и нормаль

к поверхности.

§3. Первая квадратичная форма поверхности. Длина кривой на

поверхности, угол между кривыми, площадь поверхности.

§4. Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная

кривизна поверхности. Теорема Менье.

§5. Главные направления, главные кривизны, гауссова и средняя

кривизна.

§6. Соприкасающийся параболоид к поверхности.

§7. Геодезические линии на поверхности.

§8. Теорема Гаусса-Бонне. Эйлерова характеристика поверхности.

 

 

ГЛАВА 5. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

§1. Движение и подобие на плоскости.

Определение. Преобразованием множества M называется биекция f : M –® M (т.е. взаимнооднозначное отображение множества  M на себя).

Определение. Пусть P – это плоскость. Преобразование f :P –® P  называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками; т.е. если  A¢= f (A), B ¢= f (B), то |A¢B ¢| = |AB| .

В школе вы изучали следующие виды движений.

1) параллельный перенос; 2) поворот; 3) симметрия относительно прямой (центральная симметрия – это поворот на 180°).

1. Произвольный параллельный перенос p₁:P –® P задается вектором (a₁, a₂). Eсли A¢= p₁(A), то = . Формулы параллельного переноса:

                                                 x¢= x + a₁ ,

                                                 y¢= y + a₂ .

Они означают, что точка A(x, y) переходит в точку A¢(x¢, y¢), координаты которой вычисляются по данным формулам.

Если p₂:P –® P – другой перенос, который задается вектором       (b₁, b₂), и  A²= p₂(A¢), то

                         x²= x¢ + b₁ ,                     x²= x¢ + (a₁+ b₁) ,

                         y²= y¢ + b₂ .                     y²= y¢ + (a₂+ b₂) .    

Значит композиция (т.е. последовательное выполнение) параллельных переносов  p₂o p₁:P –® P  задается вектором + . Кроме того, очевидно, что p₂o p₁= p₁o p₂ , т.е. p₂(p₁(A)) = p₁(p₂(A)) для любой точки A на плоскости. Говорят, что p₁ и  p₂ коммутируют между собой.

Обратное преобразование p₁^–1 :P –® P , очевидно, задается вектором – , а тождественное преобразование плоскости id :P –® P  тоже представляет собой параллельный перенос, который задается нулевым вектором.

2.Поворот на угол a вокруг начала координат h_a :P –® P   действует по формулам  

                                            x¢= x×cos a – y×sin a,              

                                            y¢= x×sin a + y×cos a.

Эти формулы можно переписать в матричном виде:

                                                X¢= H_aX ,

где

           X = ,   X¢= ,  H_a = .

Если h_b :P –® P   – поворот на угол b, то очевидно, что h_bo h_a = h_ao h_b = = h_a+b .

Упражнение.  Самостоятельно  убедитесь,  что   H_a+b = H_a ·H_b =    = H_b ·H_a.   

Таким образом, при последовательном выполнении поворотов их матрицы перемножаются. Мы также видим, что два поворота коммутируют между собой. А, вот, поворот и параллельный перенос не коммутируют.

Если a = 0, то H_a = E =  . Очевидно, что обратный поворот – это поворот на угол –a , т.е. (h_a)^–1= h_–a . Он задается матрицей

                                      H_–a = .

Упражнение.Самостоятельно убедитесь, что H_–a ·H_a = E, т.е.  H_–a=(H_a)^–1. Это значит, что обратный поворот задается обратной матрицей. 

3. Симметрия s₁ относительно оси Ox  задается формулами

                                                   x¢= x ,                  

                                                     y¢= – y .

В матричном виде их можно записать так: 

                             X¢= S₁X ,

где

                                              S₁ = .

Аналогично, симметрия относительно Oy задается матрицей

                                 S₁ = .

Из школьной программы вы знаете, что любое движение плоскости является композицией параллельного переноса, поворота и осевой симметрии.

4. Определение. Преобразование g :P –® P называется подобием, если " A, B Î P  и для A¢= g(A), B¢= g(B) выполнено |A¢B¢| = k|AB| , где k = const > 0. Тогда k называется коэффициентом подобия.

Гомотетией с центром в начале координат называется подобие     g_k :P –® P , которое действует по формулам:

                                                   x¢= kx,                  

                                                   y¢= ky .

На следующих рисунках показано, как строится D A¢B¢C¢ гомотетичный данному D ABC с коэффициентами 2 и –2.

 

 

 

Произвольное подобие является композицией гомотетии и движения. Формулы (4) можно записать в матричном виде так:

                             X¢= G_k X ,

где

                                            G_k =    .

Очевидно, что  g_l o g_k = g_ko g_l = g_kl  и G_l G_k = G_k G_l = G_kl , т.е. две гомотетии с центром в начале координат коммутируют, и композиции гомотетий соответствует произведение их матриц.

Тождественное преобразование представляет собой гомотетию с    k = 1. Преобразованием, обратным к g_k  является g_1/k .

Замечание. Удобно использовать обозначение 

                                          G_m =    .

Тогда

                       G_nG_m =       . = = G_m+n .

Также G_m^–1 = G_–m . Поэтому g_no g_m = g_m o g_n = g_m+n,  g_m^–1 = g_–m . Но таким образом можно задать только гомотетию с положительным коэффициентом. Для того, чтобы получить гомотетию с отрицательным коэффициентом необходимо добавить еще центральную симметрию, т.е. поворот на 180°.

Легко проверить, что при последовательном выполнении поворота, симметрии и гомотетии, оставляющих неподвижными начало координат, их матрицы перемножаются. Например, g_ko s₁o h_a  задается матрицей G_koS₁o H_a . Это же верно и при выполнении данных преобразований в любом другом порядке.

§2. Аффинное преобразование.

Определение.  Преобразование плоскости f :P –® P  называется аффинным, если оно действует по формулам вида

                                              х¢= а₁₁х  + а₁₂ у + а₁, 

                                             у¢= а₂₁х  + а₂₂ у + а₂,

и при этом, D =  ¹ 0 (последнее условие, на самом деле, можно доказать: если D = 0, то f   не будет биекцией).

В матричном виде формулы (5) можно переписать так: 

                                                  X¢= AX + C ,                              (5¢)

где

                                 A =   ,C = .

Используя формулы (5) можно доказать, что

1. Определение аффинного преобразования не зависит от выбора СК, т.е. при выборе другой СК (даже если она не будет декартовой или будет иметь другое начало координат) преобразование будет задаваться формулами вида (5).

2. Последовательное выполнение двух аффинных преобразований есть аффинное преобразование.

3. Преобразование обратное к аффинному тоже является аффинным.

4. Тождественное преобразование является аффинным.

5. Аффинное преобразование переводит прямые в прямые.

6. Аффинное преобразование однозначно определяется заданием трех точек, не лежащих на одной прямой и их образов: A¢= f (A),         B¢= f (B), C¢= f (C).

Докажем, например, 3. Решим систему уравнений (5) относительно неизвестных x и y. Получим формулы

                                           х = b₁₁(х¢– а₁) + b₁₂(у¢– а₂), 

                                          у = b₂₁(х¢– а₁) + b₂₂(у¢– а₂),

где B =   = A^–1. Обозначим b₁=– b₁₁а₁ – b₁₂ а₂ , b₂=– b₂₁а₁ – b₂₂ а₂  и получим

                                              х = b₁₁х¢ + b₁₂ у¢ + b₁, 

                                             у = b₂₁х¢ + b₂₂ у¢+ b₂ .

Это формулы такого же вида, что и (5).

5. Пусть l – прямая на плоскости. Её уравнение можно записать в общем виде как ax + by + c = 0 . Подставим в него (6) :

                     a(b₁₁х¢ + b₁₂ у¢ + b₁) + b(b₂₁х¢ + b₂₂ у¢+ b₂) + c = 0.

После преобразований получим уравнение вида

                                           a¢x + b¢y + c = 0 .                                    (7)

Значит l¢= f(l) – тоже прямая, которая задается уравнением (7).

Замечание. Часто аффинное преобразование определяют, как переводящее прямые в прямые, и потом доказывают, что оно определяется уравнениями вида (5). Мы ещё раз вернемся к аффинным преобразованиям при изучении раздела «Методы изображений»; в частности, тогда будет доказано свойство 6.

Преобразование вида (5) можно представить виде композиции двух преобразований f = p₁o f₁, где f₁ оставляет неподвижным начало координат и действует по формулам

                                    х²= а₁₁х  + а₁₂ у, 

                                   у²= а₂₁х  + а₂₂,

а p₁ – это параллельный перенос:

                                                   х¢= х²+ а₁, 

                                                  у¢= у²+ а₂.

Примем без доказательства, что преобразование f₁ можно представить виде композиции поворота, гомотетии и сжатия по одному из направлений.

§3. Группа преобразований.

Определение. Пусть G – некоторое множество преобразований плоскости или пространства. Введем на этом множестве операцию умножения преобразований – их композицию:  f ·g = f o g. Если G относительно этой операции образует группу áG, ·ñ, то G называется группой преобразований плоскости.

Напомним аксиомы группы: " f , g, h Î G 

1. (f ·g)· h = f ·(g· h) – ассоциативность умножения;

2. $ eÎ G такой что e·f = f·e = f – существование единичного

 элемента;

3. $ f ^–1Î G такой что  f · f ^–1= e – существование обратного

 элемента.

В параграфах 1 и 2 мы показали, что все рассмотренные выше множества преобразований удовлетворяют этим аксиомам, а значит, образуют группы.

Определение. Пусть áG, ·ñ – группа, а H Ì G – некоторое подмножество. Тогда H называется подгруппой группы G, если относительно операции «· » сама H является группой.

Пусть G – группа преобразований плоскости, а H Ì G. Для того, чтобы проверить, что H является подгруппой в G, необходимо убедиться в следующем:

1. композиция двух преобразований из H тоже

2. тождественное преобразование id :P –® P  принадлежит H ;

3. " f ÎH обратное преобразование f ^–1 тоже принадлежит  H .

Ассоциативность будет выполняться автоматически, т.к. H – подмножество в группе G.

Обозначим A(2) – группа аффинных преобразований, SO(2) – группа поворотов,  P(2) – группа параллельных переносов, S(2) – группа симметрий на плоскости относительно  Ox, E(2) – группа всех движений плоскости, П(2) – группа подобий. Тогда SO(2), P(2), S(2)       являются подгруппами в E(2), E(2) – подгруппой в П(2), П(2) – подгруппой в A(2). Также мы можем сказать, что SO(2), P(2), S(2) являются подгруппами в П(2) и подгруппами в A(2).

Заметим, что S(2) состоит только из двух элементов: id и s₁ .

Обозначим O(2) – группа, которую образуют все повороты, симметрии и их композиции. Она называется ортогональной группой, а SO(2) называется специальной ортогональной группой.

Рассмотрим теперь только те преобразования плоскости, которые оставляют на месте начало координат. Каждое такое преобразование задается матрицей. При этом, композиции преобразований соответствует произведение их матриц, тождественному преобразованию – единичная матрица, а обратному преобразованию – обратная матрица. Поэтому матрицы, соответствующие таким преобразованиям тоже образуют группы, которые мы тоже будем обозначать теми же буквами.

Например, SO(2) состоит из матриц вида 

                                                  cos a  – sin a

                                                  sin a cos a ,

O(2) включает в себя ещё матрицы вида

                                                  cos a  – sin a

                                                  sin a cos a .

Произвольное аффинное преобразование, оставляющее начало координат на месте, задается квадратной матрицей A порядка 2 с det A ¹ 0. Такие матрицы образуют специальную линейную группу SL(2) или SL(2, R).  Симметрия относительно Oxy задается матрицей .

Определение.Пусть áG₁, ·ñ и áG₂, *ñ – две группы. Биекция    j: G₁–® G₂ называется изоморфизмом групп  G₁ и G₂, если " g, hÎ G₁ выполнено 

j(g)* j(h) = f (g·h) , j(g^–1) = j(g)^–1.

Другими словами, изоморфизм групп сохраняет групповую операцию: элементы в группе G₁ перемножаются по тому же закону, что и их образы в группе G₂. Поэтому, с точки зрения алгебры изоморфные группы устроены одинаково.

Мы установили, что каждая из рассмотренных выше групп преобразований плоскости, оставляющих на месте начало координат, изоморфна какой-либо матричной группе.

Замечание 1. Этот факт касается только групп, являющихся подгруппами в A(2). Для произвольных групп преобразований плоскости это неверно.

Замечание 2.Все сказанное в этой главе с небольшими изменениями переносится на преобразования пространства. Например, группа всех аффинных преобразований пространства  A(3) состоит из всех преобразований вида 

                                           х¢= а₁₁х  + а₁₂ у + а₁₃ z + а₁, 

                                          у¢= а₂₁х  + а₂₂ у + а₂₃ z + а₂,

                                          z¢= а₃₁х  + а₃₂ у + а₃₃ z + а₃,

где D = det(a_ij) ¹ 0. Преобразования, оставляющие неподвижным начало координат, образуют группу, изоморфную матричной группе SL(3, R), которая состоит из всех невырожденных квадратных матриц третьего порядка с действительными коэффициентами. Группа всех поворотов пространства изоморфна группе  SO(3), состоящей из ортогональных матриц (Q^Т = Q^–1 ) третьего порядка с det Q =1. Осевая симметрия в пространстве сводится к повороту, поэтому симметриями будем называть симметрии относительно плоскости. Симметрия относительно Oxy задается матрицей

                                                     –1 0 0

                                                       0 1 0

                                                       0 0 1

Определение.Преобразование плоскости или пространства       f : P –® P называется ортогональным, если оно сохраняет скалярное произведение векторов; т.е. =f( ), =f( )  Þ ·= ·.

Очевидно, что повороты плоскости (или пространства) и симметрии сохраняют длины векторов и угол между векторами. Следовательно, они сохраняют скалярное произведение векторов. Примем без доказательства, что произвольное ортогональное преобразование является композицией поворота и симметрии и задается ортогональной матрицей. Группа всех ортогональных преобразований пространства изоморфна группе всех ортогональных матриц порядка 3. Она обозначается O(3).

§4. Группа преобразований плоскости Минковского.

Определение.Пусть в некотором базисе B = {, }  на плоскости скалярное произведение векторов (a₁, a₂)  и (b₁, b₂)  задается формулой

                                             · = a₁b₁ – a₂b₂.                                     (8)

Тогда плоскость вместе с таким скалярным произведением векторов называется плоскостью Минковского.

Заметим, что по этой формуле ² = 1, а ² = –1, а для вектора (1, 1) выполнено ²=0. Таким образом, на плоскости Минковского существуют ненулевые векторы, квадрат которых отрицателен или равен нулю.

Определение. Вектор   называется пространственноподобным, если ²> 0, времениподобным, если  ²< 0,  и изотропным, если  ²=0.

Условие изотропности вектора (x₁, x₂) имеет вид: 

                                             x₁² – x₂² = 0.

Пусть l₁ и l₂ – прямые, которые задаются уравнениями

                                l₁: x₁ – x₂ = 0, l₂: x₁ + x₂ = 0.

Тогда все изотропные векторы коллинеарны этим прямым; а если отложить изотропный вектор из начала координат, то он будет лежать на одной из этих прямых.

Прямые l₁ и l₂  образуют две пары вертикальных углов. В одной из этих пар будут лежать времениподобные векторы, если отложить их от начала координат, а в другой – пространственноподобные.

Ортогональность векторов понимается так же, как и в евклидовом пространстве: ^ Û  ·= 0.

Определение. Движением плоскости Минковского называется её преобразование, сохраняющее скалярное произведение векторов.

Очевидно, что параллельные переносы и симметрии относительно координатных осей будут движениями плоскости Минковского. Преобразование, действующее по формуле

                                            x₁¢= x₁×ch t + x₂×sh t,                  

                                            x₂¢= x₁×sh t + x₂×ch t, tÎR,

назовем гиперболическим поворотом. Пусть вектор  (x₁¢, x₂¢) получен гиперболическим поворотом вектора (x₁, x₂). Тогда

               ² = (x₁×ch t + x₂×sh t)² – (x₁×sh t + x₂×ch t)²

                  = x₁²(ch²t – sh²t) – x₂(ch²t – sh²t) = x₁² – x₂² = ².

Таким образом, гиперболический поворот сохраняет скалярный квадрат вектора. Скалярное произведение векторов можно выразить через скалярный квадрат:

                                     ·= (( + )² – ² – ²).

Поэтому гиперболический поворот сохраняет скалярное произведение т.е. является движением плоскости Минковского.

Примем без доказательства, что произвольное движение плоскости Минковского является композицией гиперболического поворота, параллельного переноса и, возможно, симметрии относительно одной из координатных осей.

Из (9) следует, что при гиперболическом повороте базисные векторы , переходят в векторы (ch t, sh t)_B, (sh t, ch t)_B. Если отложить от начала координат и начать изменять t, то его конец опишет одну ветвь гиперболы. Аналогично, опишет одну ветвь сопряженной гиперболы. Прямые l₁ и l₂  являются общими асимптотами этих гипербол.

Все движения плоскости Минковского образуют группу, которая называется группой преобразований Лоренца. Один из вариантов её обозначения: E(1, 1).

 

ГЛАВА 6. АФФИННОЕ И ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

Что такое геометрическое трехмерное пространство мы можем себе представить наглядно. Что такое четырехмерное пространство представить себе трудно: в окружающей нас повседневной реальности оно не существует. В этой главе мы дадим аксиоматическое определение пространства произвольной размерности и рассмотрим некоторые факты из геометрии четырехмерного пространства.

В параграфах 1, 2, 3 мы коротко напомним материал из курса алгебры.

§1. Векторное пространство. Линейная зависимость

Векторов.

Определение. Пусть L – произвольное множество, для элементов которого заданы две операции: сложение элементов и умножение элемента на число, так что "x, y, z Î L и "l, mÎR выполнено x + yÎ L , lxÎ L , и имеют место следующие аксиомы.

А1. x + y = y + x (коммутативность сложения);

A2. (x + y) + z = x +(y + z) (ассоциативность сложения);

A3. $ o Î L такой что x + o = x   (существование нулевого элемента);

A4.  (–x) ÎL такой что x + (–x) =o(существование противоположного элемента);

A5. l(x + y) = lx + ly

A6. (l + m)x = lx+ mx

A7.  (lm)x = l(mx) ;

A8. 1·x = x .

Тогда L  вместе с этими операциями называется линейным или векторным пространством, а его элементы – векторами.

Примеры. 1. Пространство V², состоящее из всех векторов на плоскости или  V³, состоящее из всех векторов геометрического пространства. Тогда А1 – A8 представляют собой свойства операций над векторами, которые мы доказывали в главе 1.

2. Арифметическое пространство R³, элементами которого являются тройки чисел. Мы будем записывать эти тройки в виде столбца:

                                              x₁

                                R³=      x₂ x₁, x₂, x₃ ÎR

                                            x₃                          

Операции определяются следующим образом. Если

                                          x₁                                       y₁

                                  X =   x₂               Y =   y₂

                                         x₃                                      y₃

то

                                             x₁+ y₁              lx₁

                               X +Y = x₂ + y₂         lX =  lx₂

                                             x₃ + y₃              lx₃

Проверим, что в данном пространстве выполняются аксиомы А1–А8.

Проверим, например, А5.

                           x₁+ y₁     lx₁+ ly₁      lx₁    ly₁

    l(X +Y ) = l x₂ + y₂    =  lx₂ + ly₂ =   lx₂ +   ly₂ = lX +lY.

                              x₃ + y₃     lx₃ + ly₃     lx₃     ly₃

Роль нулевого элемента и элемента, противоположного к X очевидно, играют

                                           0              – x₁

                                  O =  0         – X =  – x₂ ,

                                            0              – x₃

т.е выполнены А3и А4.

Аналогично определяется пространство Rⁿ состоящее из столбцов высоты n .

Упражнение. Проверьте самостоятельно, что выполняются остальные аксиомы.

3.Пространство P_n состоит из всех многочленов с действительными коэффициентами, степени не превосходящей n:

                      P_n = {a_o+ a₁t + a₂t² +…+ a_nt ⁿ | a_o, a₁,…, a_nÎR}

4.Пространство C^o([0,1]) состоит из всех функций, непрерывных на отрезке [0,1].

Можно привести ещё массу примеров. Главное – уяснить себе, что векторное пространство может состоять из совершенно любых математических объектов, которые можно складывать и умножать на число, если, конечно, выполняются А1–А8. При изучении дальнейшего материала, для простоты восприятия, можно представлять себе, что речь идет о векторах.

Из аксиом А1–А8 можно вывести следующие следствия:

1), 2) единственность нулевого и противоположного элементов;

3) 0·x = o ; 4) –1·x = –x ; 5) l·o = o  "xÎL и "lÎR.  

Определение. Пусть x₁, x₂,…, x_nÎL – произвольные векторы, а          l₁, l₂,…, l_n – произвольные числа. Тогда выражение  

                                         l₁x₁+ l₂x₂ +…+ l_nx_n                                (1)

называется линейной комбинацией векторов x₁, x₂,…, x_n. Числа l₁, l₂,…, l_n называются коэффициентами линейной комбинации. Линейная комбинация (1) называется тривиальной, если l₁= l₂ =…= l_n = 0. Соответственно, (1) называется нетривиальной, если среди l₁, l₂,…, l_n есть хотя бы одно ненулевое число.

Определение. Векторы  x₁, x₂,…, x_n называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору:

                                     l₁x₁+ l₂x₂ +…+ l_nx_n = o.                               (2)

Соответственно x₁, x₂,…, x_n называются линейно независимыми, если равенство (2) возможно только для тривиальной комбинации векторов.

Примеры. 1.Векторы i, j, k  в пространстве V³ линейно независимы, а векторы a₁=i+j, a₂=i+j+k, a₃=kлинейно зависимы, т.к.             1·a₁+(–1)·a₂+1·a₃ =o.

2. В пространстве R³ столбцы

                                        1             0           0

                              E₁=  0   ,  E₂ =   1 ,  E₃ =  0  

                                         0           0           1   

линейно независимы. Действительно,

                                                         l₁    0

        l₁E₁+ l₂E₂ +l₃E₃ = O Û l₂ = 0 Û l₁= l₂ =…= l_n = 0.

                                                         l₃    0       

                                                                                      x₁

Если к ним добавить произвольный столбец   X = x₂ , то получим

                                                                                      x₃ 

линейно зависимую систему столбцов {E₁, E₂, E₃, X}, т.к.

                               1·E₁+ 1·E₂ +1·E₃ + (–1)·X = O.

3. В пространстве  P_n  многочлены  1, t, t²,…, t ⁿ линейно независимы. Если к ним добавить любой многочлен f(t) степени n, то получим линейно зависимую систему.

Упражнение. Самостоятельно покажите, что функции f(t)º1,          g(t) = cos t, h(t) = sin 2t в пространстве C^o([0,1]) линейно зависимы.

Предложение 1. Векторы x₁, x₂,…, x_k, k>1, линейно зависимы, тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией остальных.

Действительно, пусть векторы x₁, x₂,…, x_k линейно зависимы, и

                                       l₁x₁+ l₂x₂ +…+ l_kx_k = o,

где, например, l_k¹0. Тогда 

                                  x_k = x₁+ x₂ +…+ x _k–1,

т.е. x_k  является линейной комбинацией x₁, x₂,…, x_k–1.

Обратно, если x_k = l₁x₁+ l₂x₂ +…+ l_k–1x _k–1, то 

                               l₁x₁+ l₂x₂ +…+ l_k–1x _k–1+ (–1)x_k = o,

и комбинация нетривиальная, т.к. –1¹0.

Предложение 2. Если среди векторов x₁, x₂,…, x_k есть нулевой, то эти векторы линейно зависимы.

Действительно, если, например, x_k = o, то

                                     0·x₁+ …+ 0·x _k–1+ 1·x_k = o,

и комбинация нетривиальная, т.к. 1¹0.

§2. Базис и координаты в векторном пространстве.

Определение. Пусть в векторном пространстве L выполнены еще две аксиомы:

А9.Существуют n линейно независимых векторов;

А10.Любые n +1 векторов линейно зависимы.

Тогда говорим, что векторное пространство L  имеет размерность  n и пишем dim L = n. Для векторного пространства размерности n используется обозначение Lⁿ.

Определение. Базисом в Lⁿ  называется любая система, состоящая из n  линейно независимых векторов. Векторы, входящие в базис, называются базисными.

Пусть B ={e₁, e₂,…, e_n} – базис в Lⁿ, а xÎ Lⁿ – любой вектор. Тогда система {x,e₁, e₂,…, e_n} состоит из n +1 векторов, а значит, эти векторы линейно зависимы. Пусть 

                                    l_ox +l₁e₁+ l₂e₂ +…+ l_ne_n = o,                         (*)

и комбинация нетривиальная. Тогда обязательно l_o¹0. Действительно, если l_o= 0, то (*) превращается в условие линейной зависимости базисных векторов:

                                        l₁e₁+ l₂e₂ +…+ l_ne_n = o.

Но эти векторы по определению линейно независимы. Противоречие.

Итак, поскольку l_o¹0, то из (*) получаем

                                        x = e₁+ e₂ +…+ e_n .

Обозначим x_i = –l_i /l_o и получим

                                        x = x₁e₁+ x₂e₂ +…+ x_ne_n .

Определение. Числа x₁, x₂,…, x_n называются координатами вектора x в базисе B. Пишем x(x₁, x₂,… x_n)_B.

Если y = y₁e₁+ y₂e₂ +…+ y_ne_n , то 

                          x + y = (x₁+ y₁)e₁+ (x₂ + y₂)e₂ +…+( x_n + y_n)e_n ,

                                    lx = lx₁e₁+ lx₂e₂ +…+ lx_ne_n .

Таким образом, при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Сопоставим каждому вектору x(x₁, x₂,… x_n) столбец, составленный из его координат:    

                                                x₁                                                                       y₁

       x(x₁, x₂,… x_n) «   X =  x₂ , y(y₁, y₂,… y_n) «   Y = y₂ ,

                                                         M                                                       M

                                                x_n                                             y_n

                                             x₁+ y₁                                     lx₁

             x + y «   X +Y =   x₂ + y₂ ,       lx    «   lX = lx₂ ,

                                                        M                                                    M

                                              x_n+ y_n                                         lx_n

Мы видим, что операциям над векторами соответствуют точно такие же операции над их координатными столбцами. Поэтому с точки зрения линейной алгебры произвольное векторное пространство Lⁿ устроено точно также, как и Rⁿ. Говорят, что Lⁿ изоморфно Rⁿ  или, что Rⁿ является моделью пространства Lⁿ.

Замечание.Более точное определение изоморфизма векторных и евклидовых пространств изучается в курсе алгебры. Рекомендуется также ознакомиться с темой, как изменяются координаты вектора при замене базиса.

§3. Евклидово векторное пространство.

Определение. Пусть в векторном пространстве L задана ещё одна операция, сопоставляющая двум векторам x  и  y число x·y, так, что выполнены следующие аксиомы. " x, y, z ÎL и "lÎR

   А11. x·y= x·y;

   А12. x·(y + z) = x·y+ x·z;

   А13. (lx)·y= l(x·y);

   А14. x·x³0 и  x·x=0 Û x=o.

Тогда данная операция называется скалярным произведением векторов, а пространство L вместе с этой операцией называется евклидовым пространством. Число x²=x·x называется скалярным квадратом вектора x.

Обозначение Eⁿ означает евклидово пространство размерности n.

Если вместо А14 выполнено 

А14¢. " xÎL $yÎL такой что x·y¹0,

то пространство L вместе с такой операцией называется псевдоевклидовым пространством.

Определение.Длиной вектора x в евклидовом пространстве называется число |x|=. Углом между векторами x  и  y называется такое число a, что cos a = . Векторы x  и  y называются коллинеарными, если $ lÎR такое, что  y = lx.

В силу А14 |x| – действительное число, и |x|=0 Û x=o. Мы знаем, что |cos a|£1. Поэтому для того, чтобы имело смысл определение угла необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

                  £1 Û |x·y|£|x|·|y| Û (x·y)²£|x|²·|y|² Û

                         Û (x·y)²£ (x·x)(y·y)                                (1)

Это неравенство называется неравенством Коши-Буняковского. Докажем его.

1 случай. Векторы x и y не коллинеарны. Тогда " lÎR lx + y ¹ o.

Тогда согласно А14 " lÎR  

              (lx + y)·(lx + y) > 0     Û    l²(x·x) + 2l(x·y) +y·y> 0

Выражение в левой части неравенства представляет собой квадратный трехчлен относительно переменной l. Поскольку это выражение строго больше нуля, то для его дискриминанта получаем

                              = (x·x)(y·y) – (x·y)²<0.

Значит, имеет место (1) со строгим неравенством.                             

2 случай.   x||y. Тогда  $ lÎR такое, что y = lx.  Подставим это  в (1):

                    (x·lx)²£ (x·x)(lx·lx) Û l²(x·x)²£l²(x·x)².

Таким образом, имеет место (1) со знаком равенства.

Попутно мы выяснили, что равенство в (1) достигается тогда и только тогда, когда x||y.

Для векторов в геометрическом пространстве имеет место неравенство треугольника

                                 |x+y|£|x|+|y|                              (2)

Докажем его для произвольного евклидова пространства. Используя неравенство (1) в виде (x·y)²£|x|²|y|² получаем

   |x+y|²=(x+y)·(x+y)=x²+2x·y +y²£ |x|²+2|x|²·|y|²+|y|²=(|x|+|y|)².

Остается извлечь корень из обеих частей неравенства. При этом, равенство в (2) имеет место тогда и только тогда, когда равенство имеет место в (1), т.е. когда x||y.

Определение.Векторы x  и  y называются ортогональными, если x·y = 0.

Заметим, что только нулевой вектор ортогонален каждому вектору. Действительно, если "yÎEⁿ x·y = 0, то это должно быть выполнено и для y=x, т.е. x·x = 0. В силу А14  это равносильно  x=o.

Определение.Система векторов {e₁, e₂,…, e_k}ÎEⁿ называется ортонормированной, если  " i, j=1…k  выполнено  e_i·e_j = d_ij, т.е. если все векторы единичные и взаимно ортогональные.

Предложение. Ортонормированная система векторов линейно независима.

Действительно, пусть

                                     l₁e₁+ l₂e₂ +…+ l_ke_k = o.

Выберем произвольное i =1…k  и домножим обе части равенства скалярно на e_i :

                        (l₁e₁+ l₂e₂ +…+ l_ke_k)e_i =o·e_iÛ l_i = 0.

Поскольку i  было произвольным, то l₁= l₂ =…= l_k = 0.

В курсе алгебры доказывается следующая теорема.

Теорема. В Eⁿ существует ортонормированный базис (ОНБ), т.е. ортонормированная система, состоящая из n векторов.

Пусть B ={e₁, e₂,…, e_n} – ОНБ в Eⁿ, x, yÎEⁿ – произвольные векторы. Пусть x(x₁, x₂,… x_n)_B ,y(y₁, y₂,… y_n)_B . Тогда

          x·y = (x_ie_i)·(y_je_j ) = x_i y_j(e_i·e_j ) =x_i y_jd_ij = x_i y_i .

Итак,

                            x·y = x₁ y₁+ x₂ y₂ +…+ x_n y_n ,                         (3)

т.е. в ОНБформула для вычисления скалярного произведения такая же, как и в обычном геометрическом пространстве, если координаты заданы в декартовой СК.

Из этой формулы следует, что

                                              |x|= .                             (4)

Пусть теперь базис B ={f₁, f₂,…, f_n} в Eⁿ не является ортонормированным. Как вычислить скалярное произведение векторовx(x₁, x₂,… x_n)_B ,y(y₁, y₂,… y_n)_B ?

Обозначим   g_ij =f_i·f_j , и из этих чисел составим матрицу

                                            G =        ,

которая называется матрицей Грама базиса B . Она, очевидно, является симметрической: g_ji =f_j·f_i=f_i·f_j = g_ij . Тогда

       x·y = (x_ie_i)·(y_je_j ) = x_i y_j(e_i·e_j ) =g_ijx_i y_j  .              (5)

Если использовать координатные столбцы X и Y векторов x  и  y, то (4) можно переписать в матричном виде:

                                x·y = X^ТGY = x₁ x₂ … x_n G .                         (5¢)

Если базис ортонормированный, то g_ij =d_ij  и G = E . Отметим, что для любого базиса det G > 0.

Примеры. 1.Пространство V³ с обычным скалярным произведением векторов: · = | |½½ cosÐ( , ). Аксиомы А11– А14 представляют собой свойства этого произведения.  B ={i, j, k} представляет собой ОНБ.

2. В пространстве Rⁿ для столбцов

                                    x₁                                                    y₁

                               X =  x₂ ,                        Y = y₂ .

                                           M                                         M

                                    x_n                                y_n

определим

                                  X·Y = x₁ y₁+ x₂ y₂ +…+ x_n y_n .                             (6)

Упражнение 1.Проверьте самостоятельно, что при таком определении выполняются А11– А14.

Таким образом, Rⁿ со скалярным произведением (6) представляет собой евклидово векторное пространство. Легко проверить, что столбцы

                                        1             0                0

                              E₁=  0   ,  E₂ =   1 , ..., E_n =  0  

                                          M               M                          M

                                         0           0                1   

составляют ОНБ.

Мы уже отмечали, что для любого векторного пространства Lⁿ векторное пространство Rⁿ может служить его моделью. Для этого надо в Lⁿ выбрать базис B  и каждому вектору x(x₁, x₂,… x_n)_B сопоставить столбец X, составленный из его координат. Тогда линейным операциям над векторами будут соответствовать точно такие же операции над их координатными столбцами. Выберем теперь в евклидовом векторном пространстве Eⁿ  ОНБ  B ={e₁, e₂,…, e_n}  и по тому же принципу сопоставим каждому вектору его координатный столбец:    

                                                x₁                                                                       y₁

       x(x₁, x₂,… x_n)_B «   X =  x₂ , y(y₁, y₂,… y_n)_B «   Y = y₂ .

                                                         M                                                       M

                                                x_n                                             y_n

Тогда x·y = x₁ y₁+ x₂ y₂ +…+ x_n y_n = X·Y . Таким образом, это соответствие сохраняет не только линейные операции над векторами, но и их скалярное произведение. Поэтому говорят, что Eⁿ изоморфно евклидову векторному пространству Rⁿ  или, что евклидово векторное пространство Rⁿ является моделью пространства Eⁿ.

 

§4. Аффинное и евклидово точечное пространство.

Пока мы определили пространство, состоящее только из векторов. В этом параграфе у нас появятся точки, и будет установлена связь между точками и векторами.

Пусть дано некоторое множество A, элементы которого будем называть точками и обозначать большими буквами A, B, C… и некоторое векторное пространство Lⁿ. Пусть каждой упорядоченной паре точек A, B сопоставлен вектор x (пишем = x) так, что выполнены следующие аксиомы:

А15. " AÎA и "xÎLⁿ  $! BÎA такая что =x.

А16. Если = x, = y, то =x+y.

Тогда множество точек A, связанное с Lⁿ называется n-мерным аффинным пространством и обозначается A ⁿ.

Из А15 и А16 вытекают следующие следствия.

1. Каждой паре одинаковых точек сопоставляется нулевой вектор: =o.

Действительно, пусть x=– любой вектор, а  y= . Тогда, согласно А16: x+y= Þ x+y=x Þ y=o.

2. Если =x, то   =–x.

Действительно, если =y, то согласно А16: =x+yÞ x+y=oÞy=–x.

Пусть  OÎA ⁿ– произвольная точка, а B ={e₁, e₂,…, e_n} – базис в Lⁿ. Тогда набор  R ={O, e₁, e₂,…, e_n} назовем аффинным репером, а точку O – началом координат. Иногда аффинный репер называют также аффинной системой координат.

Пусть PÎA ⁿ– другая произвольная точка. Тогда назовем радиус-вектором точки M. Разложим его по базису:

                                       = x₁e₁+ x₂e₂ +…+ x_ne_n .

Тогда набор чисел (x₁, x₂,… x_n) называется координатами точки P в данном репере. Пишем P(x₁, x₂,… x_n)_R . Если Q(y₁, y₂,… y_n)_R – другая точка, то

                              = y₁e₁+ y₂e₂ +…+ y_ne_n Þ  

            = – = (y₁– x₁)e₁+ (y₂ – x₂)e₂ +…+ (y_n – x_n)e_n .

Значит, 

                                   (y₁– x₁, y₂ – x₂,…, y_n – x_n).                             (6)

Таким образом, чтобы найти координаты вектора надо из координат его конца отнять координаты начала.

Определение.Аффинное пространство A ⁿ, связанное с евклидовым векторным пространством Eⁿ называется точечным евклидовым пространством. Будем обозначать его Eⁿ.

Определение.Система аксиом А1– А16 называется системой аксиом Вейля n-мерного точечного евклидова пространства.

 Определение.  Система координат в точечном евклидовом пространстве называется ортонормированной, если соответствующий базис B ={e₁, e₂,…, e_n} является ортонормированным.

Определение.Расстоянием между точками P и Q в точечном евклидовом пространстве называется модуль вектора . Это расстояние обозначим  r(P, Q).

Пусть в Eⁿ задана ортонормированная система координат, относительно которой  P(x₁, x₂,… x_n), Q(y₁, y₂,… y_n). Тогда из форму (4) и (7) следует, что расстояние между этими точками вычисляется по формуле

          r(P, Q) =  .

Можно сказать, что r есть функция, которая сопоставляет двум точкам P, QÎEⁿ число r(P, Q). Отметим, что эта функция обладает следующими свойствами:

1. r(P, Q) = r(Q, P);

2. r(P, Q) + r(Q, R) ³ r(P, R) (неравенство треугольника);

3. r(P, Q) ³ 0, и r(P, Q) = 0 Û  P = Q.

§5. Краткий обзор геометрии пространства A⁴.

Определение.Пусть даны точка A и вектор a. Прямой проходящей через точку A в направлении вектора a называется множество точек

                                        l = {M| = ta, tÎR}.                                (8)

Определение.Пусть даны точка A и два неколлинеарных вектора a  и b. Плоскостью, проходящей через точку A в направлении векторов a и b называется множество точек

                                   p = {M| = ua+vb,  u,vÎR}.

Определение.Пусть даны точка A и три линейно независимых вектора a, b, c. Тогда множество точек

                              P = {M| = la+mb +nc,  l,m,nÎR}.

называется гиперплоскостью, проходящей через точку A в направлении векторов a, b, c.

Заметим, что каждую прямую можно рассматривать, как одномерное аффинное пространство, плоскость – как двумерное, гиперплоскость – как трехмерное. Например, пусть M₁, M₂ÎP, т.е.

                      = l₁a+m₁b +n₁c,  = l₂a+m₂b +n₂c.

Тогда

                   = – = (l₁–l₂)a+(m₁–m₂)b +(n₁–n₂)c.

Таким образом, каждой паре точек M₁, M₂ÎP соответствует вектор . И этот вектор однозначно раскладывается по трём линейно независимым векторам a, b, c. Значит, a, b, c образуют базис B₁={a, b, c} в аффинном пространстве P, и (l₁–l₂, m₁–m₂, n₁–n₂) в этом базисе. Четверка  R ={A, a, b, c} образует репер и, например, M₁(l₁, m₁, n₁)_R.

Предложение 1. Каковы бы ни были две различные точки A, B существует и, притом, единственная прямая l, проходящая через эти точки.

Действительно, это будет прямая, которая проходит через A в направлении вектора : l = {M| = t, tÎR}. Очевидно, что при t=0 получим точку A, а при t=1 получим точку B. Будем писать l =AB.

В дальнейшем координаты точек, в отличие от координат векторов, будем обозначать большими буквами.

Если A(X₁^o, X₂^o, X₃^o, X₄^o), a(a₁, a₁, a₁, a₄), то прямая (8 ) задается каноническим уравнением 

                           = = =

или параметрическими уравнениями

                                               X₁= X₁^o+ a₁t,

                                               X₂= X₂^o+ a₂t,

                                               X₃= X₃^o+ a₃t,

                                               X₄= X₄^o+ a₄t.

Предложение 2. Каковы бы ни были три различные точки A, B, C  существует и, притом, единственная плоскость p, проходящая через эти точки.

Действительно, это будет плоскость, которая проходит через A в направлении векторов и : p = {M| = u + v, u,vÎR}. Очевидно, что при u=1, v=0 получим точку A, а при u=0, v=1 получим точку B.

Предложение 3. Каковы бы ни были четыре различные точки A, B, C  существует и, притом, единственная гиперплоскость p, проходящая через эти точки.

Упражнение. Докажите это самостоятельно.

 

ГЛАВА 8. ТЕОРИЯ КРИВЫХ

§1. Вектор-функция скалярного аргумента;

Определение.Пусть E³ – евклидово пространство, U– некоторое множество на прямой, плоскости или в пространстве. Говорят, что на U задана вектор-функция, если каждой его точке A сопоставлен вектор   (A) Î E³. Если U = I Î R – некоторый интервал числовой прямой, то       : I –® E³ называется вектор-функцией скалярного аргумента.

Пусть t Î I , а (t) Î E³ – его образ при отображении . В E³ выберем ОНБ {i, j, k}. Тогда вектор (t) мы можем разложить по базису:

                                     (t)= f₁(t)i + f₂(t)j + f₃(t)k .

Таким образом, задание одной вектор-функции равносильно заданию трех обычных скалярных (обычных) функций  f₁(t), f₂(t), f₃(t);  f_i: R –® R, i = 1, 2, 3.

Понятия предела, непрерывности и производной вводится аналогично таким же понятиям для обычных функций.

Определение.Пишем, что = (t) , если |(t) – | = 0 (здесь уже получается предел обычной функции). Это равносильно следующему: "e > 0 $d: | t – t_o| < d Þ |(t)– | = e. Говорим, что (t) непрерывна при  t = t_o, если (t) = (t_о) ; (t) непрерывна на интервале I , если она непрерывна " t Î I .

Определение.Производная вектор-функции  : I –® E³  в точке t_oÎ I определяется по формуле ¢(t_о) = . Если теперь t_o не фиксировать, то получим новую вектор-функцию ¢: I –® E³.

Примем без доказательства, что ¢(t) =f₁¢(t)i + f₂¢(t)j + f₃¢(t)k , т.е. вычислять производную вектор-функцию можно покоординатно.

Вектор-функцию ¢(t)  также можно дифференцировать. Получим вектор-функцию ²(t). Далее, естественным образом можем определить и производные высших порядков.

Определение.Говорим, что (t) принадлежит классу Cⁿ(I), если у неё существуют все производные до порядка n включительно, и они непрерывны.

Определение.Вектор-функция  (t) называется регулярной на интервале I , если | ¢(t) | > 0  (Û ¢(t) ¹ ) " t Î I .

Пусть (t) и (t) – две вектор-функции, определенные на одном интервале. Тогда их скалярное произведение ( · )(t) = (t) · (t) будет функцией и ее можно дифференцировать.

Упражнение. Самостоятельно докажите, что ( · )¢ = ¢ · +  · ¢.

Примем без доказательства, что аналогичная формула выполняется и для векторного произведения. Также для вектор-функции имеет место формула Тейлора:

(t+Dt) = (t) + Dt ¢(t) + ²(t) +…+ ( ⁽ⁿ⁾(t) + e(t, Dt)),

гдеe(t, Dt) = .

Для вектор-функции также можно определить понятия первообразной, неопределенного и определенного интегралов.

В дальнейшем, стрелочку над обозначением вектор-функции ставить не будем.

§2. Понятия пути и кривой. Гладкая и регулярная

кривая. Замена параметра.

Пусть P – обычное геометрическое пространство или плоскость. Тогда P является точечным евклидовым пространством. Мы будем вести речь про пространство, но всё сказанное ниже с незначительными изменениями верно и для случая, когда P – плоскость. Пусть в пространстве задана декартова СК Oxyz. Мы будем отождествлять произвольную точку M и её радиус-вектор  .

Определение. Путем называется непрерывное отображение      c: I –® P , где I – некоторый интервал числовой прямой.

В силу нашей договоренности об отождествлении, можно сказать, что путь – это непрерывная вектор-функция. Подчеркнем, что путь – это отображение. А, вот, кривая – это множество в пространстве.

Определение. Пусть c: I –® P  – путь. Тогда его образ – множество  g = c(I) в пространстве называется кривой. Bектор-функция  c(t) называется параметризацией кривой g . Запись 

                                               x = c₁(t),

                                               y = c₂(t),

                                               z = c₃(t), t Î I,

называется параметрическими уравнениями кривой  g. Если использовать обозначение – это вектор с текущими координатами (x, y, z), то параметрические уравнения можно записать в виде одного векторного равенства = c(t).

Замечание. При таком определении кривая может выглядеть совсем непохоже на интуитивное представление о кривой. Например, кривая Пеано проходит через каждую точку квадрата, и поэтому она имеет ненулевую площадь. Такой пример рассматривается в рамках спецкурса по топологии. Поэтому один из вариантов определения заключается в следующем. Кривой называется множество g в пространстве или на плоскости, гомеоморфное открытому интервалу числовой прямой.  Тогда  гомеоморфизм  c: I –® g Ì P

называется  параметризацией кривой g. Но при таком определении мы отбрасываем кривые с самопересечениями и даже окружность. Поэтому это определение тоже несовершенно. Это говорит о том, что понятие кривой, на самом деле, не такое простое.

Определение. Кривая g называется гладкой класса Cⁿ(регулярной) если у нее существует гладкая класса Cⁿ(регулярная) параметризация. Термин «гладкий» является синонимом термина «дифференцируемый».

Вы привыкли, что если функция дифференцируема, то ее график не имеет изломов. Но кривая, определяемая вектор-функцией не является ее графиком.

Пример 1. Путь c(t) = (t², t³),  t Î R определяет  на  плоскости кривую, которая называется  полукубической  параболой. Этот путь гладкий класса C^¥(R).  Имеем c¢(t) = (2t, 3t²) и c¢(0) = , т.е. данный путь

не является регулярным. Причем, регулярность нарушается как раз в той точке, где кривая имеет излом.

Из теоремы 1 (следующий параграф) следует, что гладкая класса  C¹ регулярная кривая не имеет изломов.

Определение. Путь c  называется простым, если  c – взаимнооднозначное отображение.

Простой путь задает кривую без самопересечений: при движении по кривой мы проходим каждую точку ровно один раз. Путь из примера 1 является простым.

Пример 2. Путь c(t) = (a cos t, a sin t ), t Î R  определяет  на плоскости окружность радиуса a  с центром в начале координат. Этот путь не является простым: в процессе изменения параметра  мы «проходим» через каждую точку окружности бесконечное количество раз.

Пример 3. Одна и та же кривая может задаваться разными параметрическими уравнениями. Например, верхняя половина полукубической параболы может быть задана следующими уравнениями.

                               x = t²,                 x = e^2t,

                               y = t³, t Î (0, + ¥)          y = e^3t, t Î R

Ясно, что вторая система получается из первой с помощью замены t = e^t, t Î R . Обозначим j(t) = e^t ; тогда j – это отображение j: R –® (0, + ¥). Отсюда возникает понятие «замена параметра».

Пусть c: I –® P – путь,  задающий  кривую g,  а  I₁ Î R –  другой интервал числовой  прямой. Пусть j: I₁ –® I ,– непрерывное отображение,  t = j(u). Рассмотрим композицию отображений d = c°j: I₁–® P, d(u)= c(j(u)).  Это  будет другой путь,  но его образ

d(I₁) – та же самая кривая g. Говорят, что отображение j осуществляет замену параметра кривой.

Определение. Замена параметра j: I₁ –®  I  называется допустимой, если j – дифференцируемая функция и j¢(u) ¹ 0 " uÎ I₁.

Пусть c – регулярный путь. Тогда 

                                   d¢(u)= c(j(u))¢ = j¢(u)c¢(t).

Мы видим, что путь d(u) является регулярным тогда и только тогда, когда замена параметра является допустимой.

Определение. Регулярные пути c: I –® P и d: I₁–® P называются эквивалентными, если существует такая допустимая замена параметра j: I₁ –® I , t = j(u), что d = c°j. Иногда говорят, что регулярная кривая – это класс эквивалентных друг другу регулярных путей.

Можно сказать, что эквивалентные пути имеют одинаковую траекторию, но проходят ее за различные промежутки времени и с разной скоростью.

Например, замена параметра t = e^t, является допустимой, и поэтому пути c(t) = (t², t³), t Î (0, + ¥) и  d(t) = (e^2t, e^3t), tÎR   являются эквивалентными.

Упражнения. 1. Является ли регулярным путь (a cos³t, a sin³t), tÎR ?

2. Является ли допустимой замена параметра   t = ,  u Î R ? В какой интервал она переводит числовую прямую?

   §3. Касательная прямая. Нормальная

Плоскость кривой.

Определение. Пусть g – некоторая кривая, P – точка на ней. Выберем  близкую к ней точку QÎg. Прямую  PQ  назовем секущей. Если при  Q –® P стремится занять определенное положение l,  то секущая прямая l называется  касательной к кривой  g в точке P.

Математически более точным является следующее определение.

Определение. Пусть g – некоторая кривая, P – точка на ней, а l – некоторая прямая, проходящая через P. Выберем близкую к P точку QÎg. Обозначим d =½ PQ½ , d – расстояние от Q до l. Если = 0, то прямая l называется касательной к кривой g в точке P.

Теорема 1. Гладкая регулярная кривая имеет в каждой своей точке касательную и, притом, единственную.

Доказательство. Пусть c(t) – гладкая регулярная параметризация кривой g, P = c(t_o),  Q = c(t) – близкая к P  точка. Тогда 

                           = c(t) – c(t_o) , d =½ ½ =½ c(t) – c(t_o)½ .

Пусть l – некоторая прямая, проходящая через P, t– единичный направляющий вектор этой прямой, а  a – угол между t и . Тогда

                d = d×sin a =½ ½ ×½ t½ ×sin a =½ ´t½ ,

(мы домножили на ½ t½ , т.к. ½ t½  =1). Отсюда

             = = = .

Перейдем в этом равенстве к пределу при d –® 0 Û t –® t_o :

                                    =   .

Значит, равенство нулю этого предела равносильно c¢(t_o)´t = Û          Û  c¢(t_o) ½½ t. Таким образом, прямая l будет касательной   Û вектор c¢(t_o) будет её направляющим вектором. Поскольку путь c(t) регулярный, то  c¢(t_o) ¹ , и касательная прямая существует и однозначно определяется этим вектором и точкой P = c(t_o).

Пусть кривая g задана уравнением = c(t). Из теоремы вытекает, что касательная к g, проходящая через точку  P(x_o, y_o, z_o) = c(t_o), задается уравнением  

                                       = = .                               (1 )

Если кривая расположена на плоскости, то в этом уравнении будет отсутствовать второе равенство (координата z).

Кривая на плоскости может быть задана уравнением в неявном виде:

                                                   j(x, y) = 0.                                               (2)

Пусть = c(t) – параметрическое уравнение этой же кривой Û

                                                     x = c₁(t),

                                                     y = c₂(t).

Тогда при подстановке этих уравнений в (2) мы получаем тождество:

                                               j(c₁(t), c₂(t)) º 0.

Продифференцируем его по t :

      c₁¢ (t) + c₂¢ (t) = 0.            (*)

Обозначим grad j = ( , ) . Тогда равенство (*) равносильно

              (grad j) · c¢(t)º 0.

Это означает, что в каждой точке P=c(t_o), на кривой  g  вектор градиента

grad_Pj, вычисленный в этой точке перпендикулярен вектору  c¢(t_o), т.е. является вектором нормали для касательной к кривой в этой точке  P. Значит уравнение касательной в точке  P имеет вид:

                                      (x – x_o) + (y – y_o) = 0,                           (3)

где все производные вычисляются в точке P(x_o, y_o).

Если кривая задана уравнением в явном виде  y = f (x), то мы можем переписать уравнение так:   y – f (x) = 0, и, применяя уравнение (2), получим уравнение касательной

                                          y – y_o = f ¢(x_o)(x – x_o).                                   (4)  

Определение. Любая прямая, проходящая через точку PÎg, перпендикулярно касательной к кривой g в этой точке называется нормалью кривой. Если регулярная кривая расположена на плоскости, то нормаль у нее в каждой точке одна, а если кривая находится в пространстве – то бесконечно много. Тогда все нормали лежат в одной плоскости перпендикулярной касательной. Эта плоскость называется нормальной плоскостью к кривой g  в точке  P.

Пусть = c(t) – параметрическое уравнение кривой, P(x_o, y_o, z_o) = = c(t_o). Тогда вектор c¢(t_o) будет перпендикулярен нормальной плоскости, а значит её уравнение

                     c₁¢ (t_o) (x – x_o) + c₂¢ (t_o)(y – y_o) + c₃¢ (t_o)(z – z_o) = 0.             (5)

Если кривая расположена на плоскости, то уравнение нормали к ней в точке  P:

                                c₁¢ (t_o) (x – x_o) + c₂¢ (t_o)(y – y_o) = 0.

Если кривая задана уравнением в неявном виде (2), то вектор grad_Pj будет направляющим вектором нормали к ней в точке  P, а значит уравнение нормали:

                                            = .

§4. Соприкасающаяся плоскость к кривой.

Главная нормаль. Бинормаль.

Определение. Пусть g – некоторая кривая, P – точка на ней,        Q Î g – близкая к P  точка. Пусть p – плоскость, проходящая через P. Обозначим d =½ PQ½,  d – расстояние от Q до p.  Если = 0,  то плоскость p называется соприкасающейся плоскостью  к кривой g в точке  P.

Смысл этого определения в следующем: соприкасающаяся плоскость – это та плоскость, которая плотнее всего прилегает к кривой. Следующее определение эквивалентно данному.

Определение. Пусть g – некоторая кривая, P – точка на ней. Выберем две близкие к P точки Q и  R на кривой. Если при  Q –® P  и     R –® P  плоскость PQR стремится занять определенное положение p, то плоскость p называется соприкасающейся плоскостью к кривой g в точке  P.

Теорема 2. Если кривая g дважды дифференцируема в точке  P, то она имеет в этой точке соприкасающуюся плоскость. Если c(t) – параметризация класса C² кривой g и P = c(t_o), то соприкасающаяся плоскость будет параллельна векторам c¢(t_o) и c²(t_o). Если эти векторы неколлинеарны, то соприкасающаяся плоскость единственна, а если  c¢(t_o)½½c²(t_o), то любая плоскость, проходящая через касательную к кривой g в точке P, будет соприкасающейся плоскостью к кривой.

Можно определить соприкасающуюся плоскость, как паралелльную векторам c¢(t_o) иc²(t_o), а потом доказать, что именно она наиболее плотно прилегает к кривой.

Если  c¢(t_o) c²(t_o), то соприкасающаяся плоскость в точке           P = c(t_o) задается уравнением

                                              x – x_o   y – y_o  z – z_o

                                                 c₁¢        c₂¢        c₃¢       = 0 .

                                                  c₁²        c₂²       c₃²       

Определение. Прямая перпендикулярная к соприкасающейся плоскости к кривой g в точке  P называется бинормалью к кривой  g в точке  P. Нормаль к кривой g в точке  P, лежащая в соприкасающейся плоскости называется главной нормалью.

Поскольку  c¢(t_o)  и  c²(t_o) параллельны соприкасающейся плоскости, то вектор c¢(t_o)´c²(t_o) будет вектором нормали к ней, а значит, он будет направляющим вектором бинормали. Значит, бинормаль задается уравнением

                                     =  = .

                                     c₂²     c₃²    c₃²     c₁²         c₂²     c₃²                     

Главная нормаль перпендикулярна касательной и бинормали. Поэтому ее направляющий     вектор перпендикулярен c¢  и   c¢´c². Значит, направляющий       вектор главной нормали – это   (c¢´ c²)´ c¢. Для того, чтобы составить уравнение главной нормали надо сначала вычислить этот вектор в данной точке.

Определение. Плоскость перпендикулярная главной нормали к кривой g в точке  P называется спрямляющей плоскостью к кривой g в точке  P.

Для спрямляющей плоскости вектор (c¢´c²)´c¢ будет вектором нормали. Для того, чтобы составить уравнение спрямляющей плоскости надо сначала вычислить вектор (c¢´c²)´c¢ в данной точке.

Единичные направляющие векторы касательной, главной нормали и бинормали принято обозначать соответственно t, n, b. Тогда, для того, чтобы  они  образовывали  правую тройку необходимо, чтобы выполнялось  n = t ´ b – именно в этом порядке. Тогда

                                 t = , b = , n = .

Говорят, что вместе с точкой   P = c(t_o) эти векторы, вычисленные в данной точке, образуют подвижной репер кривой {P,t, n, b} или репер Френе. Именно в этом репере удобнее всего исследовать поведение кривой в окрестности точки P.

Изобразим теперь вместе все прямые и плоскости, относящиеся к кривой.

 

 

§5. Длина кривой. Натуральный параметр.

Определение. Пусть =c(t) – параметрическое уравнение кривой g,  А = c(а), B= c(b) – две точки на кривой (a<b). Разобьём промежуток [a, b] :

    a=t_o<t₁ <t₂ < … < t_n–1<t_n =b.  

Тогда ломаная с вершинами

c(а), c(t₁), c(t₂ ),…, c(t_n–1), c(b)

называется вписанной в кривую.

Будем неограниченно измельчать это разбиение так, чтобы длина максимального звена ломаной стремилась к нулю:

      d = |c(t_i+1) – c(t_i)| –®  0 .

 Определение. Если при этом длина ломаной

              l =| c(t_i+1) – c(t_i) |  

стремится к определённому пределу L, то   l   называется длиной участка пути c(t) от c(a) до  c(b).

Подчеркнём, что это не есть длина кривой от А до B , поскольку путь по кривой может осуществляться с “возвратами” (например, вписанная ломаная может вы-

глядеть, как на рисунке). Но если  c(t)  гладкая и регулярная параметризация, то  L  будет длиной участка кривой g от  А  до  B, потому что в точках, где движение кривой меняет направление обязательно c¢= , что невозможно для регулярной параметризации.

    Теорема 3. Пусть c(t) – гладкая регулярная параметризация кривой g.  Длина пути от точки   А = c(а) до точки   B= c(b)   вычисляется по формуле

                                             L(a, b)= |c¢(t)| dt.                      (6)

При этом эта величина не зависит от выбора конкретной параметризации кривой g,  т.е. при допустимой замене параметра, эта величина не изменяется.

Доказательство. Длина ломаной, вписанной в кривую

L = | c(t_i+1) – c(t_i)|.

Добавим и отнимем справа два выражения: 

| c¢(t_i)| ( t  _{i+ 1}  – t _i ) ,   |c¢(t)| dt.

и сгруппируем:  

L= |c¢(t)| dt + { | c¢( t _i ) | ( t_{i + 1} – t _i ) –  |c¢(t)| dt} +

+ { | c(t_i+1) – c(t_i) | -- | c¢(t_i)| ( t _{i + 1}   – t_i) },

Первая фигурная скобка стремится к нулю при измельчении разбиения по определению интеграла. Вторую перепишем так:

( t _{i + 1}   – t_i) { – |c¢(t_i)| }

Выражение в фигурных скобках стремится нулю по определению производной, а

(t_i+1– t_i ) = b – a,

поэтому и всё выражение стремится к нулю. Получается, что при измельчении разбиения длина вписанной ломаной стремится к

|c¢(t)| dt.

Пусть теперь t = j(u) – допустимая замена параметра, f(u) = c(j(u)), a=j(u₁), b= j(u₂). Тогда j – монотонная функция.

1 случай.Функция  j – возрастающая. Тогда  j¢>0  и u₁< u₂ . В соответствии с формулами замены параметра в определенном интеграле получаем  

| f ¢(u)| du  = |c(j(u))¢_u| du  = | c_t¢· j¢_u| du  = |c¢(t)| j¢_u du  =  |c¢(t)| dt.

2 случай.Функция  j – убывающая. Тогда  j¢<0  и u₁>u₂ . Поэтому u₁ будет верхним пределом, а u₂ – нижним. При перестановке пределов в определенном интеграле меняется знак, а j¢_u выносится из-под модуля со знаком минус:

| f ¢(u)| du = |c(j(u))¢_u| du  = | c_t¢· j¢_u| du  =  –|c¢(t)| (– j¢_u ) du  =

=|c¢(t)| j¢_u du = |c¢(t)| dt.

Таким образом, формула для вычисления длины одинакова, как для параметра t, так и для параметра u на кривой g.

Определение. Выберем произвольную точку A=c(t_o) на кривой g  и будем от неё отсчитывать длину кривой до произвольной точки В, в одну сторону со знаком  “+” , в другую – со знаком   “–”;  т.е. если длина дуги  АВ  равна  s, то точкe  В  приписывается новое значение параметра s или – s , тем самым на кривой получается новый параметр s, который называется естественным параметром кривой. Если параметр, с помощью которого задана кривая, является естественным, то такая параметризация называется естественной параметризацией кривой.

Естественная параметризация означает, что в качестве параметра на кривой выбрана длина дуги, отсчитываемая от некоторой начальной точки A  в одну сторону – со знаком “+”, а в другую – со знаком “–”.

Если A=c(t_o), В=c(t), то в соответствии с теоремой 3

                                               s(t) = |c¢(t)| dt

Это формула для нахождения естественного параметра. В качестве t_o можно выбирать любое значение из интервала, на котором кривая определена и регулярна. 

По формуле дифференцирования интеграла с переменным верхним пределом

= | c¢( t )| .

Обозначим естественную параметризацию кривой той же буквой c:  c(s)=c(t(s)),  тогда

= = ,

т.е. – это единичный вектор, что и следовало ожидать, потому что при движении по кривой с естественным параметром мы за единицу времени проходим единицу пути. Дифференцирование по параметру  s будем обозначать точкой:

= (s).

Мы установили, что   |(s)|=1 , значит единичный направляющий вектор касательной: t=(s). Кроме того, |(s)|=1 Û ||²= · = 1.

Продифференцируем это равенство:

                  (·)¢_s = 0 Û · + · = 0 Û · = 0 .   

Это означает, что в случае естественной параметризации

                                                    ^.                                   (**)

Благодаря этому очень многие формулы упрощаются.

Вектор параллелен соприкаюсающейся плоскости, а в силу (**) он перпендикулярен касательной, значит он направлен по главной нормали, т.е. n|| Þ n=/||. Тогда b= t´n=´/||. Итак,

                                   t = , n = , b = .

(именно, учитывая последнее равенство, и то что (t,n,b) – правая тройка, мы делаем вывод, что n­­). Главная нормаль имеет уравнение:

                                      =  = ,

а спрямляющая плоскость:

                                (x – x_o) + (y – y_o) + ( z – z_o) = 0.     

§6. Кривизна и кручение кривой. Формулы Френе.

Пусть g – регулярная кривая, PÎg – любая точка, а QÎg  – близкая к ней точка. Обозначим a  – угол между касательными к кривой в точках  Р  и  Q, Ds – длина   дуги  PQ. Если существует предел

               = k,

то  эта  величина  называется  кривизной

кривой g в точке Р. Другими словами, кривизна – это скорость поворота касательной.

Теорема 4. Регулярная кривая  g  класса  С²  в каждой своей точке имеет кривизну. Если = c(s) – уравнение с естественной параметризацией, то  k = |(s)|.

 Доказательство. Пусть   Р = c(s), Q = c(s + Ds), тогда векторы   c(s)  и  c(s + Ds) будут единичными направляющими векторами касательных в этих точках. Отложим их из одной точки. Получим равнобедренный треугольник с боковой стороной равной 1. Тогда находим основание:

                                         |(s + Ds) – (s)| = 2sin .

Отсюда

                        = = = · .

Перейдем здесь к пределу при Ds ® 0.

                               |(s)| = ·= 1· k ,

т.к. a®0 при Ds®0,  что и требовалось доказать.

Примем без доказательства, что для кривой заданной уравнением с произвольным параметрoм, то

                k = =

Теорема 4.1) Если кривизна кривой равна нулю всюду, то эта кривая есть прямая линия.

2) Если кривая плоская и ее кривизна постоянна  k=k_o= const, то это кривая – окружность радиуса  R =1/ .

Доказательство. Докажем только первый пункт. Пусть = c(s) – параметрическое уравнение кривой с естественным параметром. Имеем k = |(s)| º 0 Þ  (s) º ,

  Û     Û   

где b₁, b₂, b₃ – постоянные величины. Получили параметрические уравнения прямой.

Определение. Пусть  g  некоторая кривая, Р – точка на ней,  Q, R  – близкие к ней точки; если при Q и  R стремящихся к Р  окружность w стремится занять определенное положение  w_o,  то окружность w_o  называется     соприкасающейся окружностью к кривой  g  в точке Р, а ее центр  O  называется центром кривизны кривой  g  к точке  Р.

Примем без доказательства, что  g  и  w₀ имеют в точке Р одинаковую кривизну, а поскольку кривизна окружности радиуса  R  равна 1/R², то  R² = 1/k . Центр кривизны кривой в точке P лежит на главной нормали к кривой в точке P.

Определение. Пусть g – некоторая кривая, Р – точка на ней, QÎg  – близкая к Р точка, а q – угол между соприкасающимися плоскостями в точках Р и Q, Ds – длина дуги . Если существует предел , то он называется абсолютным кручением кривой  g  в точке  Р  и обозначается |k|

(греческая буква “каппа”). То есть абсолютное кручение – это скорость поворота соприкасающейся плоскости.

 При этом очевидно, что угол между соприкасающимися плоскостями будет равен углу между бинормалями в точках Р  и  Q .

Теорема 6. регулярная кривая  g  класса  с³ имеет кручение в каждой точке, где кривизна отлична от нуля. Если  c(s) – естественная параметризация кривой  g , то

                                 |k| = .                                  (1)

Доказательство. Поскольку кривая регулярная, мы можем задать её с помощью естественной параметризации c(s). Тогда   ¹ . В тех точках, где  k ¹ 0 выполнено ¹ , а при естественной параметризации ^ , значит в этих точках однозначно определена соприкасающаяся плоскость как параллельная этим векторам.

Пусть Р=c(s), Q=c(s+Ds) – две точки на кривой g, b(s) и b(s+∆s) – единичные векторы бинормали в этих точках, а q – угол между ними. Также как и в доказательстве теоремы 4,

             | b(s+∆s) – b(s)| = 2sin ,  Þ = × ,

 Перейдем в этом равенстве к пределу при Ds ® 0

|(s)| = · = 1·|k| ,

т.к. при Ds®0 также и q ®0. Итак, |k|= | (s)| .

Т.к. | b(s)| = 1, то b(s)· b(s) = 1. Продифференцировав это тождество, получим

2·b = 0 Û ^ b.

Потом, b = t´n. Продифференцируем это равенство:

= ´n + t ´ .

Но t= Þ = || n Þ   ´n = . Значит, = t´ Þ   ^ t . Но мы выяснили уже, что ^ b. Значит, || n и косинус угла между ними равен ±1, а также |n|=1.Поэтому

                                        |·n|=

N||cos Ð(,n)| = ||=|k|. Итак, |k|= |·n| (*). Мы знаем, что                                 n =  =  , b = = . Находим, что                   = ( )¢s ´ + (´ + ´ ) = ( )¢s ´ + (´ ), т.к. ´ = . Подставим это в (*):       |k|= |(( )¢s ´ + (´ )) ·  |=|( )¢s + |= , т.к = 0, и при перестановке сомножителей модуль смешанного произведения не изменяется. Придадим теперь кручению знак, чтобы выполнялось                                                k= .                                      (2) Пусть теперь  кривая задана уравнением с произвольным параметром. Тогда кручение будет вычисляться по формуле                                     k=                                            (3)                                        (без доказательства). Теорема 7. Если кручение кривой тождественно равно нулю всюду, то эта кривая – плоская линия (без доказательства). При этом, плоскость в которой она лежит, очевидно, является её соприкасающейся плоскостью. Для того, чтобы составить её уравнение, достаточно составить уравнение соприкасающейся плоскости в любой фиксированной точке на кривой, где эта кривая регулярна и k ¹ 0.

---

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 596; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!