Степенно-показательной функции

Логарифмическое дифференцирование. Производная

Лекция № 7

Тема: «Производные высших порядков»

1.Логарифмическое дифференцирование. Производная степенно - показательной функции. 2. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически 3. Производные высших порядков 4. Производная второго порядка и её физический смысл

О.1.1. Степенно-показательной функцией (показательно-степенной или сложной показательной) называется функция вида где и

основание и показатель степени являются функциями от , имеющими в данной точке производные и , , т.е.

Т.1.1. Если и дифференцируемые функции, то - функция дифференцируемая.

Доказательство.

Прологарифмируем функцию по основанию . Так как и дифференцируемы, то функция

так же имеет производную.

Продифференцируем полученное равенство по переменной :

откуда .

Подставим , получим:

;

или (1)

О.1.2. Операция, состоящая в последовательном применении к функции сначала логарифмирования (по основанию ), а затем дифференцирования, называется логарифмическим дифференцированием, а ее результат - логарифмической производной данной функции.

Замечание. Производная степенно-показательной функции состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое получается, если функцию дифференцировать как степенную функцию, считая , а - переменной; а второе слагаемое – если функцию дифференцировать как показательную функцию, считая , а - переменной от .

Логарифмическое дифференцирование может быть применено для отыскания производных не только степенно-показательных функций, но и таких, непосредственное дифференцирование которых громоздко (произведение большого числа сомножителей, радикалы, дроби и т.д.).

Примеры:

1) . Найти .