Правило логарифмического дифференцирования.
Тема . Дифференцирование функции от функции. Цепное правило. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование обратной функции.
Занятие 3.
Теорема 1.Функция, имеющая производную в точке 
, непрерывна в этой точке.
Доказательство. Если производная 
существует и конечна, то для любого 
справедливо равенство 
. Переходя к пределу , получаем 
Следовательно, предельное значение функции совпадает со значением функции 
. Теорема доказана.
Дифференцирование сложной функции
Пусть переменная 
является аргументом функции 
и в свою очередь 
сама является функцией от аргумента 
. Тогда если существует функция 
, то она называется функцией от функции или сложной функцией.
Пример 1. Пусть 
. Тогда 
. Пусть 
, а 
. Тогда 
.
Следующая теорема показывает, что если базовые функции, из которых состоит сложная функция, дифференцируемы, то и сама сложная функция дифференцируема, причем её производная равна произведению производных, формирующих эту сложную функцию.
Теорема 3.1 . Правило дифференцирования сложной функции. Цепное правило.
Пусть 
имеет производную в точке 
: 
. Функция 
имеет производную в
точке 
: 
. Тогда производная от сложной функции 
по переменной 
в точке 
вычисляется по правилу
(3.1)
|
|
|
Замечание. Производная 
означает следующее. Сначала по таблице вычисляется производная 
, а затем вместо переменной 
подставляется функция 
.
Правило вычисления (3.1) производной сложной функции называется цепным правилом.
Доказательство теоремы. Докажем теорему для случая, когда функция 
является строго монотонной функцией. В этом случае, для любого ненулевого приращения
,приращение промежуточного аргумента также будет отлично от нуля 
. Доказываем формулу (3.1)
1 шаг. Вычисляем отношение приращений 
(3.2)
2 шаг. По определению производной нужно вычислить предел выражения (3.2)
Теорема доказана. Доказательство теоремы для случая, когда функция 
не является монотонной можно посмотреть в учебнике по математическому анализу.
Пример 2. Вычислить производные следующих функций
1) 
2) 
3) 
4) 
Решение. Решаем 1)
Решаем 2)
Решаем 3)
Решаем 4) 
Замечание. Сложная функция может состоять из любого числа базовых функций (звеньев).
Пример 3. По заданным сложным функциям найти их базовые составляющие
|
|
|
Решение.
1) 
2) 
3) 
Производная вычисляется по тому же цепному правилу с той лишь разницей, что количество сомножителей в формуле (1) увеличивается до трёх.
Пример 4. Вычислить производную функции 
.
Обратные функции и их дифференцирование.
Как пример рассмотрим вычисление производных обратных тригонометрических функций.
Хорошо известно, что функции 
являются взаимно обратными, так как для них справедливо тождество
. (3.3)
Нам нужно получить формулу вычисления производной 
.
Вычисляя производную по аргументу 
от обеих частей тождества, получаем
Отсюда 
В последнем равенстве мы воспользовались формулами
Аналогично вычисляются производные других обратных тригонометрических функций.
Правило логарифмического дифференцирования.
Пример 5. Вычислить производные функций
|
|
|
Прежде чем дифференцировать данное выражение – логарифмируем его. 
Решаем 1)
Решаем 2)
Примеры для самостоятельной работы. Сборник задач №№ 237-241.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 834; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!