Я надеюсь, что именно эта методика позволит успешно справиться с заданием по теме «Замкнуты системы» . Жду выполнения этого задания именно по методике ГиР.

УНИВЕРСАЛЬНАЯ МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ АМ СМО

С ограниченной очередью

Схема процесса гибели и размножения (СГиР)

В теории массового обслуживания широкое распространение имеет специальный класс моделей случайных процессов — так называемый процесс гибели и размножения. Название этого процесса связано с рядом биологических задач, где он является математической моделью изменения численности биологических популяций. Для разработки и исследования моделей этого класса разработана методика построения математических (аналитических) моделей, основанная на тех же принципах , что и рассмотренные нами методики построения моделей типовых СМО. Суть этой методики состоит в следующем. Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид, показанный на рис..1.

Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы S0, S1, $2, ..., Sk,…, Sn. Переходы могут осуществляться из любого стояния только в состояния с соседними номерами, т.е. из состояния Sk возможны переходы только либо в состояние Sk+1, либо в состояние Sk-1 .

Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа, простейшие с соответствующими интенсивностями _k_,_k₊₁ или _k_+1,_k. По графу, представленному на рис..1, составим и решим алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний (их существование вытекает из возможности перехода из каждого состояния в каждое другое и конечности – ограниченности - числа состояний). В соответствии с правилом составления таких уравнений получим: для состояния S0 -

₀₁P₀= ₁₀P₁ ,

для состояния S1 -

( ₁₂+ ₁₀)P₁= ₁₀P₀+ ₂₁P₂ ,

которое с учётом первого приводится к виду

₁₂P₁= ₂₁P₂ .

Аналогично, записывая уравнения для предельных вероятностей других состояний, можно получить систему из n уравнений:

₀₁P₀= ₁₀P₁ ,

₁₂P₁= ₂₁P₂ ,

……………………………

_n-1,nP_n-1= _n,n+1P_n .

к которой добавляется нормировочное условие

P₀+P₁+P₂ +….+P_n = 1.

Решая эту систему, можно получить прежде всего формулу для вычисления Р_О, а затем и для всех остальных вероятностей состояний, зависящих от Р_О и от задаваемых интенсивностей (см. рис.2).

Легко заметить, что в формулах для P_{1 ,}P_2,…., P_n коэффициенты при P₀ есть слагаемые, стоящие после единицы в формуле для P₀). Числители этих коэффициентов представляют произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо до данного состояния S_k (k=l, 2, ..., n), а знаменатели — произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево до состояния S_k_.

2. Применение методики СГиР для построения математических (аналитических) моделей типовых схем одноканальных и многоканальных СМО с ограниченной очередью.

Прежде всего требуется для заданной схемы СМО построить граф состояний, по структуре совпадающий с графом СГиР, но имеющий особенноси, определяемые спецификой заданной СМО – закономерностями изменения интенсивностей появления заявок и интенсивностей обслуживания этих заявок.. В качестве исходных данных для расчета характеристик СМО должно быть определено, во-первых, k – общее число состояний СМО, и во-вторых , две группы наборов значений интенсивностей как весов рёбер графа , связывающих k состояний вцепочку. При этом наборы интенсивностей определяются из графа состояний, построенного для заданной конкретной схемы СМО.

В кчестве примера ниже приводятся результаты расчёта характеристик трёхканальной СМО с очередью, ограниченной двумя местами (Рекомендую нарисовать самостоятельно схему именно этой СМО и построить граф состояний этой СМО с указание на графе конкретных чисел, умножаемых на и µ). Общее число состояний k =6 (на схеме ниже это n =6). Пусть интенсивность входного потока заявок равна 5 заявок в секунду, интенсивность обслуживания µ в одном канале равна 1,5 заявки в секунду. Тогда интенсивности нижнего ряда определяются количеством процессов обслуживания µ, 2µ, 3µ, 3µ, 3µ, (количество одновременно работающих каналов от 1 до 3), выполняемых трёхканальным устройством в соответствующем состоянии СМО: 1,5; 3; 4,5; 4,5; 4,5:

(Ниже приведены результаты работы «Автоматизированной системы расчёта характеристик типовых схем дискретных процессов и систем массового обслуживания »)

Рекомендую в качестве практики провести свои расчёты Ро и Р5 и сравнить с приведёнными выше.

Наиболее эффективным, и, как мне кажется, очевидным, с точки зрения простоты понимания, применением этой методики является построение моделей СМО, графы состояний которых содержат многообразие вариантов изменения интенсивностей переходов в ту и другую сторону линейной структуры графа.

Для иллюстрации сказанного рекомендую самостоятельно найти вероятности состояний совсем простого графа некоторой СМО, содержащего три состояния S0, S1, S2 c интенсивностями перехода , заданными числами: 1 из S0 в S1, 2 из S1 в S2, и обратно 3 из S2 в S1, 4 из S1 в S0. Для самопроверки расчётов привожу результат для Р0=0,706, Р1=0.1765.

Я надеюсь, что именно эта методика позволит успешно справиться с заданием по теме «Замкнуты системы» . Жду выполнения этого задания именно по методике ГиР.

Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 60; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!