Теория: 03 Противоположное событие, произведение и сумма вероятностей

Формула произведения вероятностей

Если события A\displaystyle AA и B\displaystyle BB независимы, то есть наступление одного из событий никак не влияет на вероятность наступления другого события, то вероятность их одновременно наступления равна

P(A⋅B)=P(A)⋅P(B).

3.Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3очка, в случае ничьей — 1очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3 ОТ-0,33

Формула суммы вероятностей

Если события A и B несовместны, то есть наступление одного события исключает появление другого события, то тогда вероятность того, что наступит событие A или событие B, равна сумме вероятностей наступления событий A и B,

P(A+B)=P(A)+P(B)

P(ВВ+ВН+НВ)=P(ВВ)+P(ВН)+P(НВ)

Так как по условию задачи результаты матча не зависят друг от друга, то используем правило.

Формула произведения вероятностей

Если события A и B независимы, то есть наступление одного из событий никак не влияет на вероятность наступления другого события, то вероятность их одновременного наступления равна

P(A⋅B)=P(A)⋅P(B).

Получаем:

P(В⋅В)+P(В⋅Н)+P(Н⋅В)=P(В)⋅P(В)+P(В)⋅P(Н)+P(Н)⋅P(В).\

По условию P(В)=0,3, P(П)=0,3 и, соответственно,

P(Н)=1−P(В)−P(П)=1−0,3−0,3=0,4.

Таким образом,

P(ВВ+ВН+НВ)=P(ВВ)+P(ВН)+P(НВ)==P(В)⋅P(В)+P(В)⋅P(Н)+P(Н)⋅P(В) =

0,3⋅0,3+0,3⋅0,4+0,4⋅0,3=0,33.

Ответ: 0,33

4.Выпускник поступает в два университета. Чтобы поступить в первый университет, ему надо сдать математику, русский и обществознание.

Чтобы поступить во второй университет, ему надо сдать математику, русский и иностранный языки. Вероятность того, что он сдаст математику равна 0,8 русский язык равна 0,9обществознание равна 0,9, иностранный язык равна 0,8. Найдите вероятность того, что выпускник поступит хотя бы в один университет.

Пусть событие A– это поступление в первый университет, а событие B – это поступление во второй университет.

Событие A наступает, если успешно сданы математика, русский и обществознание. Следовательно, вероятность наступление события A равна

P(A)=0,8⋅0,9⋅0,9.

Событие B наступает, если успешно сданы математика, русский и иностранный языки. Следовательно, вероятность наступление события B равна

P(B)=0,8⋅0,9⋅0,8.

Необходимо найти вероятность того, что выпускник поступит хотя бы в один университет, то есть P(A+B).. События A и B совместны, то есть могут наступить одновременно. Воспользуемся правилом.

Вероятность суммы совместных событий

Если события A и B совместны, то

P(A+B)=P(A)+P(B)−P(A⋅B)

Найдем вероятность события A⋅B, то есть одновременного поступления в оба университета. Тогда

P(A⋅B)=0,8⋅0,9⋅0,9⋅0,8. Таким образом,

P(A+B)=0,8⋅0,9⋅0,9+0,8⋅0,9⋅0,8−0,8⋅0,9⋅0,9⋅0,8=0,7056.

Ответ: 0,7056

Вероятность попадания точки во множество A равна 0,7,вероятность попадания точки во множество B равна 0,8,а вероятность попадания точки в A∩B равна 0,56

Найдите вероятность, что точка попадет во множество A или во множество B.

0,94

Вероятность попадания точки во множество A равна 0,7, а вероятность попадания точки во множество B равна 0,8. Также известно, что данные события независимы. Так как площадь фигуры A∪B равна сумме площадей фигур A и B минус A∩B (так как пересечение входит в оба множества и при суммировании считается дважды), то

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

или

P(A+B)=P(A)+P(B)−P(A⋅B)

Таким образом,

P(A+B)=0,7+0,8−0,56=0,94

Ответ:0,94

Найдите вероятность попадания из точки A в точку G,если на каждой развилке путь выбирается наудачу (то есть на каждой развилке выборы равноправны) и движение происходит только по направлению стрелок.

Теория: 03 Противоположное событие, произведение и сумма вероятностей

Задание

Найдите вероятность попадания из точки A в точку G, если на каждой развилке путь выбирается наудачу (то есть на каждой развилке выборы равноправны) и движение происходит только по направлению стрелок.

0,5

Решение

Из пункта А попасть в пункт G можно двумя путями:

A→B→G	A→С→Е→G

Так как данные события несовместны (нельзя пройти по двум путям сразу), то

P(AG)=P(ABG)+P(ACEG).

Найдем вероятность прохождения каждого из данных маршрутов:

Вероятность попадания в точку B из точки A равна 1/3, так как из точки A выходят три пути.
Вероятность попадания в точку G из точки B равна 1, так как из точки B есть только один путь.

Поэтому P(ABG)=1/3⋅1=1/3.

Вероятность попадания в точку C из точки A равна 1/3, так как из точки A выходят три пути.

Вероятность попадания в точку E из точки C равна 1/2, так как из точки C выходят два пути.
Вероятность попадания в точку G из точки C равна 1, так как из точки C есть только один путь.

Поэтому P(ACEG)=1/3⋅1/2⋅1=1/6

Таким образом, вероятность попадания в точку G из точки A равна

P(AG)=P(ABG)+P(ACEG)=1/3+1/6=3/6=0,5.

Ответ:0,5