Записать тему, закон сложения, разобрать решение задач, выполнить практическую работу.
Тема. Закон сложения в комбинаторике.
Теоретический материал
Задача. В вазе лежат 5 яблок, 4 груши и 3 мандарина. Сколько существует возможностей взять один фрукт из вазы?
Если взять яблоко, то существует 5 возможностей,
если взять грушу, то существуют 4 возможности,
если взять мандарин, то существуют 3 возможности.
Значит, чтобы взять один фрукт из всех лежащих в вазе, существует 5+4+3=12 возможностей.
Этот пример можно обобщить.
Допустим, что есть две группы: в одной k различных элементов, во второй n различных элементов. Если из первой группы какой-либо элемент можно выбрать k способами, а из второй — n способами, то выбрать один элемент из первой или второй группы можно k+n способами.
Это называется законом сложения в комбинаторике. Закон сложения также используется, если нужно выбрать элемент из трёх, четырёх и т. д. групп.
Закон сложения используется тогда, когда нужно выбрать только 1 элемент.
Чтобы использовать закон сложения:
1. нужно понять, каковы группы, из которых нужно выбрать 1 элемент;
2. нужно выяснить количество элементов в каждой группе;
3. нужно убедиться, что в различных группах, из которых выбирают элемент, нет одинаковых элементов.
Пример 1. Вика должна выбрать только один десерт из 8 видов коктейля, 5 видов мороженого и 5 видов йогурта. Сколькими способами она может выбрать десерт?
Решение:
используется закон сложения, т. к. Вика должна выбрать или коктейль, или мороженое, или йогурт.
|
|
|
8+5+5=18. Ответ: Вика может выбрать десерт 18 способами.
При использовании закона сложения надо следить, чтобы ни один из способов выбора объекта a не совпадал с каким-либо способом выбора объекта b.
Если такие совпадения есть, то закон сложения утрачивает силу, и мы получаем лишь (k+n−m) способов выбора, где m — число совпадений.
Итак:
если объект a можно получить k способами, объект b — n способами, то объект «a или b» можно получить k+n−m способами, где m — это количество повторяющихся способов.
Пример2. В группе 7 человек имеют «5» по математике, 9 человек — «5» по философии. В сессии 2 экзамена. Известно, что 4 человека сдали сессию отлично. Сколько человек имеет хотя бы одну пятерку в сессии?
Решение: 7+9−4=12.
Пример3. В магазине канцелярских товаров продаются ручки 10 различных видов, карандаши 14 различных видов и резинки 6 различных видов. Сколькими различными способами Владик может купить:
a) одну резинку? б) один карандаш и одну резинку?
в) одну резинку или один карандаш? г) все три принадлежности — ручку, карандаш и резинку?
|
|
|
Решение. Если в двух группах нет одинаковых элементов и если из первой группы элемент можно выбрать k способами, а из второй - n способами, то выбрать один элемент из первой или второй группы можно k+n способами.
Закон умножения:
Если элемент A можно выбрать k способами и затем второй элемент B независимо от выбора A можно выбрать m различными способами, пару элементов A и B можно выбрать k ⋅ m способами.
a) один элемент из всего множества можно выбрать столькими способами, сколько всего элементов данного вида;
б) используется закон умножения: 14⋅6=84 способами;
в) используется закон сложения: 6+14=20 способами;
г) используется закон умножения: 10⋅14⋅6=840 способами.
Пример4. Из опрошенных 47 молодых людей работают 19, учатся 28 и ничего не делают 3.
Вычисли:
сколько молодых людей учится и работает?
Сколько молодых людей только учится?
Сколько молодых людей только работает?
Соответствующие множества молодых людей отображаем с помощью кругов Эйлера:
M — молодые люди, которые учатся;
S — молодые люди, которые работают:
N — молодые люди, которые ничего не делают.
По кругам видно, что множество молодых людей делится на 4 подмножества.
|
|
|
Если допустить, что количество молодых людей, которые учатся и работают одновременно, равно x, то количество молодых людей, которые только учатся, равно 28−x, а количество тех, которые только работают, равно 19−x.
3. Согласно закону суммы:
(28−x)+x+(19−x)+3=47
28+19−x+3=47
50−x=47
x=3
Значит, учатся и работают одновременно 3 человек, только учатся 28−3=25 человек, а только работают 19−3=16 человек.
Из всех молодых людей учатся и работают 3 человек.
Из всех молодых людей только учатся 25 человек.
Из всех молодых людей только работают 16 человек.
Практическая работа
1. Рита хочет нарядиться на классный вечер. В её шкатулке 2 цепочки, 6 колец, и 10 браслетов. Сколькими способами она может выбрать одно украшение?
2. По телевизору в среду показывают 3 приключенческих фильмов, 6 комедий и 3 фильма ужасов.
Вычисли, сколькими различными способами можно выбрать один из всех предложенных фильмов?
3. В группе 31 человека. Из них 15 человек изучают английский язык, 16 — немецкий язык, 11 — оба языка. Сколько человек не изучают ни одного языка?
4. Каждый из 25 студентов является читателем, по крайней мере, одной из двух библиотек: колледжа и областной. Из них 15 человек берут книги библиотеке колледжа, 20 – в колледжа.
|
|
|
Сколько студентов:
1. Являются читателями обеих библиотек;
2. Не являются читателями областной библиотеки;
3. Не являются читателями библиотеки колледжа;
4. Являются читателями только областной библиотеки;
5. Являются читателями только библиотеки колледжа?
Инструкция.
Записать тему, закон сложения, разобрать решение задач, выполнить практическую работу.
Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 797; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!