Областное государственное автономное

Профессиональное образовательное учреждение

«Валуйский колледж»

Технологическая карта лекционного занятия №31-32

Название УД, ПМ, раздела, МДК:Математика

Специальность: 44.02.02 Преподавание в начальных классах

Группа: 21, 22

Тема лекции: Алгоритмы арифметических действий над целыми неотрицательными числами в десятичной системе счисления. Системы счисления, отличные от десятичной.

I. Организационный этап

Приветствие, проверка присутствующих

II. Формулировка темы, ее мотивация

План:

1. Алгоритм сложения

2. Алгоритм вычитания

3. Алгоритм умножения

4. Алгоритм деления

5. Решение примеров.

III. Изложение основных вопросов лекции

Алгоритм сложения

Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к оп­ределению, все суммы, которые получаются при сложении однознач­ных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей сло­жения однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, смысл сложения сохраняется и для многозначных чисел, но практическое выполнение сложения происходит по особым правилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложе­ние столбиком. Например,

+ 341

7238

 7579

Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теорети­ческие положения лежат в его основе.

Представим слагаемые 341 и 7238 в виде суммы степеней десяти с коэффициентами:

341 + 7238 = (3∙10² + 4∙10 + 1) + (7∙10³ + 2∙10² + 3∙10 + 8). Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами и сгруп­пируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами, десятки с десятками и т.д. Все эти преобразования можно выполнить на основании соответствующих свойств сложения. Свойство ассоциа­тивности разрешает записать выражение без скобок: 3∙10² + 4∙10 + 1 + 7∙10³ + 2∙10² + 3∙10 + 8.

На основании свойства коммутативности поменяем местами сла­гаемые: 7∙10³ + 3∙10² + 2∙10² + 4∙10 + 3∙10 + 1+8. Согласно свойству ассоциативности, произведем группировку: 7∙10³ + (3∙10² + 2∙10²) + (4∙10+ 3∙10) + (1 + 8). Вынесем за скобки в первой выделенной группе число 10², а во второй - 10. Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения: 7∙10³ + 5∙10² + 7∙10 + 9.

Итак, сложение данных чисел 341 и 7238 свелось к сложению одно­значных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения. Полученное выражение есть десятичная запись числа 7579.

Видим, что в основе алгоритма сложения многозначных чисел ле­ жат следующие теоретические факты:

- способ записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойства коммутативности и ассоциативности сложения;

- дистрибутивность умножения относительно сложения;

- таблица сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что в случае сложения чисел «с переходом через десяток» теоретические основы алгоритма сложения будут теми же. Рассмотрим, например, сумму 748 + 436.

Представим слагаемые в виде суммы степеней десяти с соответст­вующими коэффициентами: (7∙10² + 4∙10 + 8) +(4∙10²+ 3∙10 + 6).Воспользуемся свойствами сложения и дистрибутивностью умножения относительно сложения и преобразуем полученное выражение к такому виду: (7 + 4) ∙10² + (4 + 3) ∙10 + (8 + 6). Видим, что в этом случае сложение данных чисел также свелось к сложению однозначных чисел, но суммы 7 + 4, 8 + 6 превышают 10 и поэтому последнее выражение не является десятичной записью числа. Необходимо сделать так, чтобы коэффици­енты перед степенями 10 оказались меньше 10. Для этого выполним ряд преобразований. Сначала сумму 8 + 6 представим в виде 1∙10 + 4:

Затем воспользуемся свойствами сложения и умножения и приведем .Полученное выражение к виду: (7 + 4) ∙10² + (4 + 3 + 1) ∙10 + 4. Суть последнего преобразования такова: десяток, который получился при 1 сложении единиц, прибавим к десяткам данных чисел. И наконец, записав сумму 7 + 4 в виде 1∙10+ 1, получаем: (1 ∙ 10 + 1)10² + 8∙10 + 4. Последнее выражение есть десятичная запись числа 1184. Следователь­но. 748+436= 1184.

Выведем алгоритм сложения многозначных чисел в общем виде. Пусть даны числа:

х= a_n ·10 ⁿ + a_{n -1} ·10 ^{n -1} + ... +а_1·10 + а_0,

у = b_n ·10 ⁿ + b_{n -1} ·10 ^{n -1} + ... +b_1·10 + b_0,

х + у =( a_{n +} b_n )·10ⁿ + ( a _n-1 + b _n-1 ) ·10^n-1 + ... + ( а₁+ b ₁ ) _· 10 + ( а₀+ b ₀)

- преобразования выполнены на основе свойств ассоциативности и коммутативности

сложения, а также дистрибутивности умножения относительно сложения.

Лишь в случае, когда все суммы a к ₊ b к не превосходят 9, операцию сложения можно
считать законченной. В противном случае выбираем наименьшее к, для которого а_к+ b _к> 10. Если а_к+ b _к> 10, то из того, что 0 <а_к<9 и 0 <b _к <9, следует неравенство 0 <а_к+ b _к <18 и поэтому а_к+ b _кможно представить и виде а_к+ b _к= 10 + с_к, где 0 <с_к<9. Но тогда (а_к+ b _к ) ·10^к = (10 + с_к) ·10 ^к = 10 ^к+1 + с_к ·10 и т.д.

В случае когда десятичные записи слагаемых имеют разное количество цифр, надо приписать к числу, имеющему меньшее количество цифр, несколько нулей впереди, уравняв количество цифр в обоих слагаемых. После этого применяется описанный выше процесс сложения.

В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных и десятичной системе счисления, формулируют так:

---

Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 200; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!