Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА
Формулы сокращенного умножения
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
a2 - b2 = (a - b)(a + b)
(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3
a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ∓ ab + b2 )
Модуль числа
Определение:
a = ì a, если a ³ 0,
| í-a, если a < 0. |
Основные свойства модуля:
1. | a | ³ 0.
2. | a | = | - a | .
3. ì| a | ³ a,
| í |
| a | = a Û a ³ 0,
4. | a | = -a Û a £ 0.
Степень с действительным показателем
| a | x | a x |
| a Îℝ | x ÎÆ, x ³ 2 | ax = a –× a_×..–.,× a x сомножителей |
| a Îℝ | x = 1 | a1 = a |
| a Îℝ , a ¹ 0 | x = 0 | a0 = 1 |
| a Îℝ , a ¹ 0 | x Î, x < 0 | ax = 1 a- x |
| a ³ 0 | x = m , m, n ÎÆ, n ³ 2 n | m a n = n am |
| a > 0 | x = m , m, n Î, m < 0, n ³ 2 n | ax = 1 a- x |
| a > 0 | . x Îℝ . | ax = lim ax n *) n®¥ |
Свойства степени с действительным показателем
Пусть
a > 0,
b > 0,
x Îℝ,
y Îℝ . Тогда верны следующие соотношения:
a x × a y = a x+ y
a x : a y = a x - y
(a x )y = a xy
(ab)x = ax × bx (a : b)x = ax : bx ax > 0
ax = ay ax > ay ax > ay
Û
a¹1
Û
a>1
| 0<a<1 |
x = y x > y x < y
*) {xn} ― последовательность десятичных приближений числа x , взятых с избытком или недостатком (здесь n ― число знаков после запятой в десятичной записи числа x).
4. Корень n-ой степени из числа
Корнем n-ой степени (n ÎÆ,
равна a.
n ³ 2) из числа a называется число, n-ая степень которого
|
|
|
Арифметическим корнем четной степени n (n = 2k,
k ÎÆ )
из неотрицательного числа a
называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна a.
Основные свойства арифметического корня:
| n a n |
= a,
= ( n a )m ,
| m n a |
= mn a .
| n a m |
a Îℝ :
= | a | .
| n a n |
| a n b |
| a |
| n ab |
n n
a ³ 0, b ³ 0 :
= a × b,
= (b ¹ 0) .
n b
| n ab |
| a n b |
| n -a n -b |
a ³ 0, b ³ 0 :
a < 0, b ³ 0 :
an b = .
| n anb |
a n b = - n anb .
Логарифмы
Определение логарифма:
log
b = c Û
ac = b .
a a>0, a¹1
Основное логарифмическое тождество:
aloga b = b .
Основные свойства логарифмов
Пусть
a > 0,
a ¹ 1, b > 0,
b ¹ 1,
x > 0,
y > 0,
p Î ℝ . Тогда верны следующие соотношения:
log (xy) = log
x + log y
log
x p = p log x
log
x = logb x
a a a a a
a logb a
log ( x ) = log x - log y
log
x = 1 log x ,
p ¹ 0
xloga y = yloga x
a y a a
a p p a
Арифметическая прогрессия
Формула n-го члена арифметической прогрессии:
|
|
|
a n = a1 + d (n -1) .
Характеристическое свойство арифметической прогрессии:
a = a n-1 + a n+1 ,
n 2
n ³ 2 .
Сумма n первых членов арифметической прогрессии
S = a1 + a n .
n 2
При решении задач, связанных с арифметической прогрессией, могут оказаться полезными также следующие формулы:
S = 2a1 + d (n - 1) n;
n 2
S = 2a n - d (n - 1) n;
n 2
a = a n-k + a n+k ,
n 2
k < n;
a + a = a + a ,
m < k;
d = a n - a k .
k n k -m n+m
n - k
Геометрическая прогрессия
Формула n-го члена геометрической прогрессии:
a = a qn-1 .
| 1 |
| n |
a2 = a a
, n ³ 2 .
Сумма n первых членов геометрической прогрессии:
n n-1
S = a1 - a n q ,
n 1 - q
n+1
q ¹ 1 .
При решении задач, связанных с геометрической прогрессией, могут оказаться полезными также следующие формулы:
| a = a a |
| , |
n 1 - q
2
n n-k n+ k
k < n ;
a k a n = a k -m a n+ m ,
m < k ; | q | = n-k n .
a
k
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
|
|
|
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии: S =
a1 . 1 - q
Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 89; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!