Вычисление объема тела вращения
Объем тела вращения можно вычислить по формуле:
Пример 1
Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями 
, 
вокруг оси 
.
Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу:
Ответ: 
Пример 2
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями 
, , 
Это пример для самостоятельного решения.
Пример 3
Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями 
, 
, 
и 
Решение: Изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями , , ,
Искомая фигура заштрихована синим цветом.
Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел.
Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через 
.
Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси , то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через 
.
И, очевидно, разность объемов 
– в точности объем нашего тела.
Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения:
1) Фигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой , поэтому:
2) Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой , поэтому:
3) Объем искомого тела вращения: 
Ответ: 
Пример 4
Вычислить объем тела, образованного вращением относительно оси плоской фигуры, ограниченной линиями 
, 
, где 
.
|
|
|
Это пример для самостоятельного решения.
Несобственный интеграл
Вычислить несобственный интеграл – это значит, найти ЧИСЛО (точно так же, как в определенном интеграле), или доказать, что он расходится (то есть, получить в итоге бесконечность вместо числа).
Несобственные интегралы бывают двух видов.
Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования
Иногда такой несобственный интеграл называют несобственным интегралом первого рода. В общем виде несобственный интеграл с бесконечным пределом чаще всего выглядит так:
.
В чем его отличие от определенного интеграла? В верхнем пределе. Он бесконечный: 
.
Реже встречаются интегралы с бесконечным нижним пределом
или с двумя бесконечными пределами:
,
Разберём самый популярный случай 
. Для определённости предположим, что 
и тогда типичная криволинейная трапеция будет выглядеть так:
Обратите внимание, что она бесконечна (не ограничена справа), и несобственный интеграл численно равен её площади. При этом возможны следующие варианты:
1) площадь бесконечна. Так быть может. В этом случае говорят, что несобственный интеграл расходится.
|
|
|
2) площадь бесконечной фигуры может равняться… конечному числу! Например: 
. В этом случае несобственный интеграл сходится.
.
Так как несобственный интеграл очень похож на определенный интеграл, то вспомним формулу Ньютона- Лейбница: 
. На самом деле формула применима и к несобственным интегралам, только ее нужно немного модифицировать. В чем отличие? В бесконечном верхнем пределе интегрирования: . Наверное, многие догадались, что это уже попахивает применением теории пределов, и формула запишется так: 
.
В чем отличие от определенного интеграла? Да ни в чем особенном! Как и в определенном интеграле, нужно уметь находить первообразную функцию 
(неопределенный интеграл), уметь применять формулу Ньютона-Лейбница. Единственное, что добавилось – это вычисление предела.
Рассмотрим два классических примера:
Пример 1
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Применение нашей формулы и решение задачи выглядит так:
То есть, несобственный интеграл расходится.
Чистовое оформление задания должно выглядеть примерно так:
“
Подынтегральная функция непрерывна на 
Несобственный интеграл расходится.
Пример 2
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
|
|
|
Выполним чертеж:
Во-первых, замечаем следующее: подынтегральная функция 
непрерывна на полуинтервале .
Решаем с помощью формулы :
(1) Берем простейший интеграл от степенной функции (этот частный случай есть во многих таблицах). Минус лучше сразу вынести за знак предела.
(2) Подставляем верхний и нижний пределы по формуле Ньютона-Лейбница.
(3) Указываем, что 
при 
(Господа, это уже давно нужно понимать) и упрощаем ответ.
Вот здесь площадь бесконечной криволинейной трапеции равна конечному числу.
Чистовое оформление примера должно выглядеть примерно так:
“
Подынтегральная функция непрерывна на
“
Готово.
Что делать, если вам встретится интеграл наподобие 
– с точкой разрыва на интервале интегрирования? В этом случае, в силу свойства аддитивности, следует рассмотреть два несобственных интеграла на промежутках 
и 
и затем разобраться с суммой.
Пример 3
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Подынтегральная функция непрерывна на 
.
На какой из табличных интегралов похожа подынтегральная функция? Напоминает она арктангенс: 
. Из этих соображений напрашивается мысль, что неплохо бы в знаменателе получить квадрат. Делается это путем замены.
|
|
|
Проведем замену: 
Неопределенный интеграл найден, константу 
в данном случае добавлять не имеет смысла.
На черновике всегда полезно выполнить проверку, то есть продифференцировать полученный результат:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, неопределенный интеграл найден правильно.
Теперь находим несобственный интеграл:
(1) Записываем решение в соответствии с формулой 
. Константу лучше сразу вынести за знак предела.
(2) Подставляем верхний и нижний пределы в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница. Почему 
при ? Смотрите график арктангенса.
(3) Получаем окончательный ответ.
Итак,
Подынтегральная функция непрерывна на .
“
А сейчас два примера для самостоятельного решения.
Пример 4
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Пример 5
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 95; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!