Приведём другое решение пункта а).

Вариант № 33877140

Задание 1

При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 5%. Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 400 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приемное устройство данного терминала?

Задание 2

На диаграмме показано распределение выплавки меди (в тысячах тонн) в 10 странах мира в 2006 году. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимали США, десятое место — Казахстан. Какое место занимало Перу?

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён четырёхугольник. Найдите его площадь.

Задание 4

Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Задание 5

Найдите корень уравнения

Задание 6

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Задание 7

Прямая y = −4x − 8 является касательной к графику функции y = x³ − 3x² − x − 9. Найдите абсциссу точки касания.

Задание 8

Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

Задание 9

Найдите значение выражения

Задание 10

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью м/с, начал торможение с постоянным ускорением м/с². За – секунд после начала торможения он прошёл путь (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 30 метров. Ответ выразите в секундах.

Задание 11

На изготовление 391 детали первый рабочий затрачивает на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 460 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Задание 13

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Задание 14

Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания ABC.

а) Докажите, что высота пирамиды, проведённая из точки A, делится плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, AC и SA, пополам.

б) Найдите расстояние от вершины A до этой плоскости, если AB = AC = 5,

Задание 15

Решите неравенство:

Задание 16

Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите сумму квадратов медиан AA₁ и CC₁, если известно, что AC = 10.

Задание 17

В июле 2022 года планируется взять кредит на сумму 419 375 рублей. Условия возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 20% по сравнению с предыдущим годом;

— с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Задание 18

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно три различных решения.

Задание 19

Петя умножил некоторое натуральное число на соседнее натуральное число, и получил произведение, равное а. Вася умножил некоторое четное натуральное число на соседнее четное натуральное число и получил произведение, равное b.

а) Может ли модуль разности чисел a и b равняться 8?

б) Может ли модуль разности чисел a и b равняться 11?

в) Какие значения может принимать модуль разности чисел a и b?

РЕШЕНИЕ

Вариант № 33877140

Задание 1

Решение.

С учетом комиссии, Аня должна внести в приемное устройство сумму не менее 400 + 400 · 0,05 = 420 рублей. Проверим, достаточно ли этой суммы: 5% от 420 руб. составляют 21 руб. (это комиссия), оставшиеся 399 руб. пойдут на счет телефона. Но Аня хотела положить не менее 400 руб., следовательно, надо положить больше 420 руб. Проверим 430 руб.: комиссия составляет 21,5 руб., остается 408,5 руб. Достаточно.

Ответ: 430.

Приведем другое решение.

После уплаты 5% комиссии на счет телефона остаётся 95% вносимой суммы, которая должна быть не меньше 400 рублей. Если нужно внести x рублей, то 0,95x ≥ 400, откуда x ≥ 421,05... Поэтому x = 430 руб.

Задание 2

Решение.

Расположим страны в порядке убывания количества выплавки меди в год:

1) США

2) Перу

3) Китай

4) Австралия

5) Индонезия

6) Россия

7) Канада

8) Польша

9) Замбия

10) Казахстан

Перу находится на втором месте

Ответ: 2.

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён четырёхугольник. Найдите его площадь.

Решение.

Площадь четырехугольника равна разности площади прямоугольника, площадей двух прямоугольных треугольников и двух трапеций. Поэтому имеем:

Ответ: 17,5.

Задание 4

Решение.

События выиграть белыми и черными фигурами независимы, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,5 · 0,32 = 0,16.

Задание 5

Найдите корень уравнения

Решение.

Возведем в квадрат:

Ответ: −36.

Задание 6

Решение.

Для нахождения площади треугольника ABC, воспользуемся формулой Герона:

Далее по формуле

Ответ: 25.

Задание 7

Прямая y = −4x − 8 является касательной к графику функции y = x³ − 3x² − x − 9. Найдите абсциссу точки касания.

Решение.

Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

Проверка показывает, что корень удовлетворяет уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания 1.

Ответ: 1.

Задание 8

Решение.

Площадь лежащего в основании пирамиды многоугольника является разностью площадей прямоугольников со сторонами 6 и 8, 2 и 3 (см. рис.):

Поскольку высота пирамиды равна 3, имеем:

Ответ: 42.

Задание 9

Найдите значение выражения

Решение.

Выполним преобразования:

Ответ: 14.

Задание 10

Решение.

Найдем, за какое время , прошедшее от момента начала торможения, автомобиль проедет 30 метров:

Значит, через 2 секунды после начала торможения автомобиль проедет 30 метров.

Ответ: 2.

Задание 11

Решение.

Обозначим – число деталей, которые изготавливает за час первый рабочий, тогда второй рабочий за час изготавливает деталей, На изготовление 391 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 460 таких же деталей, отсюда имеем:

Таким образом, первый рабочий делает 23 деталей в час

Ответ: 23.

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Решение.

Найдем производную заданной функции Уравнение не имеет решений, производная положительна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является возрастающей.

Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является

Ответ: −27.

Задание 13

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение.

Имеем:

Либо либо что невозможно.

б) На указанном промежутке лежат точки

Ответ: а) б)

Задание 14

Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания ABC.

б) Найдите расстояние от вершины A до этой плоскости, если AB = AC = 5,

Решение.

а) Пусть AH — искомая высота. Проведем SK, H SK. Проведем AK. Поскольку T и N — середины AC и AB соответственно, то TN — средняя линия треугольника ABC. Тогда TN делит AK на две равные части. Поэтому MF — средняя линия треугольника SKA, она делит AH на две равные части.

б) Поскольку AB = AC, то треугольник ABC — равнобедренный. Имеем SC = SB, следовательно, треугольник SCB тоже равнобедренный. Зная, что SA ⊥ (ABC), имеем SA ⊥ AB. Тогда треугольники SAC и SAB равны по двум сторонам и углу между ними.

Так как AC = AB, AH ⊥ (CBS), следовательно, HC ⊥ AH, AH ⊥ HB, тогда HC = HB. Значит, точка H принадлежит серединному перпендикуляру к CB, то есть SK, так как SK — медиана, высота и биссектриса равнобедренного треугольника. Тогда , AK — биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника ABC. По теореме Пифагора AK =

Поскольку SA ⊥ (ABC), SA ⊥ AK. Тогда по теореме Пифагора SK = 5. Имеем то есть SH = 1. Тогда HK = 4, следовательно, AH = 2. Тогда искомое расстояние равно 1.

Ответ: б) 1.

Задание 15

Решите неравенство:

Решение.

После замены получаем Значит,

или

Решим первую систему неравенств:

Тогда

Решим вторую систему неравенств:

Тогда

Таким образом, решением исходного неравенства является множество

Ответ:

Задание 16

Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите сумму квадратов медиан AA₁ и CC₁, если известно, что AC = 10.

Решение.

Известно, что медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Значит,

Поэтому треугольники AB₁B и CB₁B равнобедренные, причём ∠B₁AB = ∠ABB₁ и ∠B₁CB = ∠CBB₁. Сумма всех этих четырёх углов равна 180°. Тогда ∠ABC = ∠ABB₁ + ∠CBB₁ = 90°. Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный.

б) Треугольник A₁BA прямоугольный. Поэтому

Аналогично из прямоугольного треугольника C₁BC находим:

Ответ: 125.

Приведём другое решение пункта а).

Покажем, что медиана, проведенная к стороне AC, равна половине этой стороны. Тогда угол, противолежащий стороне AC, равен 90°, что и требуется доказать. Действительно, медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Значит,

Задание 17

В июле 2022 года планируется взять кредит на сумму 419 375 рублей. Условия возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 20% по сравнению с предыдущим годом;

— с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Решение.

Пусть — сумма кредита, x руб. — ежегодный платеж, Тогда схема выплаты кредита выглядит так:

Тогда

Таким образом, общая сумма выплат банку будет равна

Ответ: 648 000.

Задание 18

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно три различных решения.

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим три случая.

1) Если то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке Q(0; 1) и радиусом 1.

2) Если то координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению.

3) Если то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом 2.

Таким образом, в первом случае получаем дугу окружности с концами в точках O и A(0; 2), во втором — прямую l, задаваемую уравнением x = 0, в третьем — дугу окружности с концами в точках A и B(0; −2) (см. рисунок).

Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении a оно задаёт прямую m, параллельно прямой y = x или совпадающую с ней.

Прямые m проходят через точки B, O и A при и соответственно.

При и прямые m касаются дуг и соответственно.

Таким образом, прямая m пересекает прямую l при любом значении a, имеет одну общую точку с дугой при или имеет две общие точки с дугой при имеет одну общую точку с дугой при или имеет две общие точки с дугой при

Число решений исходной системы равно числу точек пересечений прямой l и дуг и с прямой m. Таким образом, исходная система имеет ровно три решения при

Ответ:

Задание 19

а) Может ли модуль разности чисел a и b равняться 8?

б) Может ли модуль разности чисел a и b равняться 11?

в) Какие значения может принимать модуль разности чисел a и b?

Решение.

а) Да, например, Петя умножил 8 на 9, получив 72, а Вася умножил 8 на 10, получив 80. Модуль разности полученных произведений равен 8.

б) Заметим, что произведение последовательных чисел всегда четно, так как одно из них четно. Таким образом, Петино произведение будет четным. Васино же произведение четно в силу того, что он перемножает два четных числа. Значит, и модуль разности чисел a и b будет четным, таким образом, он не может быть равен 11.

в) Как было показано в пункте б) модуль разности будет четным. Покажем, что он не может быть равен нулю. Пусть Петя перемножал числа и , а Вася ― числа и Тогда, если модуль разности их произведений равен нулю, имеем:

Заметим, что так как С другой стороны, , так как

Итак, , но натуральное число не может лежать между двумя соседними натуральными числами. Значит, модуль разности не может равняться 0. Тогда он не меньше 2, так как четен.

Покажем, что он может принимать любое четное натуральное значение. Пусть Петя умножил четное число на а Вася умножил на Тогда модуль разности их произведений равен:

ввиду того, что ― любое четное натуральное число, то искомый модуль разности может принимать любое четное натуральное значение.

Ответ: а) да; б) нет; в) все четные натуральные числа.

Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 51; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!