Основное свойство первообразной.
Урок №125
Комбинированное занятие № 54
Тема: Понятие первообразной функции. Основное свойство первообразной. Таблица первообразных элементарных функций.
Цель:
Учебная:
- познакомить обучающихся с понятием первообразной функции, основным свойством первообразной. Оформить в рабочих тетрадях таблицу первообразных элементарных функций;
Развивающая:
- формирование умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного, логически излагать мысли, делать выводы, развивать речь, внимание и память.
Воспитательная:
- способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
Методы обучения: практическая работа, контрольная работа.
Оборудование: компьютер, проектор.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Формируемые на уроке ПК и ОК
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
План занятия.
1. Организационный момент.
2. Актуализация темы.
3. Понятие первообразной функции.
|
|
|
4. Основное свойство первообразной.
5. Таблица первообразных элементарных функций.
6. Решение упражнений.
7. Домашнее задание.
8. Итоги занятия.
Ход занятия.
1. Организационный момент – приветствие, проверка посещаемости.
Актуализация темы.
Обучающиеся вспоминают, что такое производная.
Понятие первообразной функции.
Мы знаем, что постоянное число С, рассматриваемое как функция от х, имеет производную, равную нулю для всех х. Обратное утверждение также верно: если про функцию известно, что ее производная равна нулю для всех х, то она есть постоянная.
С точки зрения механики это утверждение совершенно очевидно. В самом деле, пусть функция s = f(t) выражает закон движения точки по прямой, причем ее скорость равна нулю: v = f '(t) = 0. Тогда точка стоит на месте и расстояние s от нее до начальной точки равно постоянной при любом t. Впрочем, это утверждение следует из теоремы Лагранжа (см. п. 5.4 учебника Никольского для 11 класса). Тот факт, что в этом рассуждении мы х заменили на t, не имеет значения: время тоже можно обозначать через х.
Рассмотрим функцию f(x), непрерывную на интервале (а; b). Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на интервале (а; b), если на нем производная функции F равна f:
|
|
|
F'(x) = f(x).
Аналогично определяется первообразная для функции f(x) на отрезке [а; b]. Нужно только под производной в точке а понимать правую производную, а в точке b — левую производную:
F'(a) = 
, F'(b) = 
h > 0 h < 0
Очевидно, что если функция F(х) есть первообразная для функции f(x) на интервале (a; b), a С — фиксированная постоянная, то функция F(x) + C также есть первообразная для функции f(x) на том же интервале, потому что
(F(x) + С)' = F'(x) + С' = F'(x) = f(x).
Обратно, если F и F1 – первообразные для функции f(x) на интервале (а; b), то они отличаются друг от друга на всем интервале (а; b) на некоторую постоянную С:
F1(x) = F(x) + C.
Итак, мы установили важный факт: если функция F(х) есть какая-либо первообразная для функции f(х) на интервале (а; b), то и функция F (х) + С, где С — некоторая постоянная, также есть первообразная для функции f(x) на этом интервале.
Основное свойство первообразной.
Теорема: любая первообразная для некоторой функции f на промежутке А может быть записана в виде:
F(x) +C,
где F(x) – одна из первообразных для данной функции f на промежутке A, а С – некоторая произвольная постоянная.
|
|
|
Теорема, приведенная выше, называется еще основным свойством первообразной.
В этой теореме два свойства первообразной:
1. При подстановке любого числа вместо С в эту формулу получим первообразную функции f на промежутке А.
2. Если взять любую первообразную Ф для функции f на некотором промежутке А. То для этой производной можно подобрать некоторое число С, такое что для любого х будет выполняться следующее равенство:
Ф(х) = F(x)+C.
Это свойство можно очень наглядно интерпретировать. Графики первообразных одной и той же функции будут получаться один из другого параллельным переносом вдоль оси Оу. И таких графиков будет бесконечно много.
Таблица первообразных элементарных функций.
= F(x) + C, F'(x) = f(x)
= Ax + C, A 
R
Домашнее задание
Учебник Башмакова, стр. 193-195
Учебник Никольского, 11 класс, §6.1.
Итог урока
Обучающиеся отвечают на вопросы, что они сегодня изучили, что было понятно, а что нет.
Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 149; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!