Вычисление коэффициентов и анализ модели.

Дробный факторный эксперимент.

Количество опытов в ПФЭ значительно по превосходящим числам определяемых коэффициентов линейной модели, т.е. ПФЭ обладает большой избыточностью опытов. Рассмотрим матрицу ПФЭ 2²: по этому плану можно вычислить 4 коэффициента и представить результат в виде следующей математической модели:

Если имеется основание допустить, что в выбранных интервалах варьирования процесс может быть описан линейным варьированием, то нам достаточно определить всего 3 коэффициента b₀, b₁, b₂. Остается одна степень свободы. Ее можно искать для минимизации числа опытов, т.е. при линейном приближении вектор-стобец произведения x₁x₂ используют при определении фактора x₃, т.е. для 3-х факторов эксперимента математическую модель можно представить линейной моделью. Здесь мы не получим раздельных оценок, как в ПФЭ 2³. Оценки смешаются следующим образом:

Но т.к. постулируются линейные модели, то все парные взаимодействия предполагаются незначимыми, зато количество опытов по сравнению с ПФЭ 2³ сокращается в 2 раза.

Поставив 4 опыта для оценки влияния 3-х факторов мы воспользовались так называемой полурепликой ПФЭ 2³, т.е. мы используя могли получить ДФЭ 2^3-1 разделенной оценки для линейных эффектов и эффектов взаимодействия при реализации обеих полуреплик. Матрицы из опытов для 4-х факторов планирования будут полурепликой от ДФЭ 2⁴, а для пятифакторного эксперимента четверть репликой от 2⁵. Обозначение при этом ДФЭ 2^к-р.

ЛЕКЦИЯ №10

Условное обозначение дробных реплик и количество опытов в них можно определить из таблицы:

Кол-во факторов	Дробная реплика	Условное обозначение	Количество опытов
			ДФЭ дробные факторные эксперименты	ПФЭ полные факторные эксперименты
3	¹/₂ реплика от 2³	2^3-1	4	8
4	¹/₂ реплика от 2⁴	2^4-1	8	16
5	¹/₄ реплика от 2⁵	2^5-2	8	32
6	¹/₈ реплика от 2⁶	2^6-3	8	64
7	¹/₁₆ реплика от 2⁷	2^7-4	8	128
5	¹/₂ реплика от 2⁵	2^5-1	16	32
6	¹/₄ реплика от 2⁶	2^6-2	16	64
7	¹/₈ реплика от 2⁷	2^7-3	16	128
8	¹/₁₆ реплика от 2⁸	2^8-4	16	256

ДФЭ – берем часть от ПФЭ.

Генерирующие соотношения для:

Эти соотношения показывают с каким из эффектов связан данный эффект, такие соотношения называются генерирующими соотношениями.

Генерирующие соотношения показывают, что при выборе дробной реплики мы приравняли элементы следующих столбцов в соответствии с записанными выше соотношениями.

Для 3-х факторного эксперимента:

Умножим данные равенства каждое на элемент, стоящий слева, получим:

, то

Символическое обозначение произведения столбцов называют определяющим контрастом. Определяющий контраст помогает определить смешанные эффекты.

Для того, чтобы определить какой эффект смешан с данным, нужно помножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту.

При выборе полуреплики 2^4-1 возможно уже восемь решений.

Реплики с 1 по 6 имеют по 3 фактора в определяющем контрасте, а реплики 7-8 – по 4 фактора. Реплики 7-8 имеют максимально разрешающую способность, поскольку в них линейные эффекты смешаны с эффектами взаимодействия наибольшего возможного порядка. Такие реплики называются главными.

При отсутствии априорных сведений об эффектах взаимодействия, необходимо выбирать реплику с наибольшей разрешающей способностью. Если 3-х факторный эксперимент, то реплики все равноценны.

Вычисление коэффициентов и анализ модели.

Определить чему равны b, b₀...

Анализ, который будет рассмотрен ниже, применим только в том случае, если генеральная совокупность результатов всех наблюдений подчиняется закону нормального распределения. Это достигается в том случае, когда исключено влияние систематических ошибок, вызванных переменой внешних условий.

Для исключения влияния систематических ошибок опыты необходимо рандомизировать во времени (т.е. проводить их в случайной последовательности). Ранжировка (расстояния в определенной последовательности).

Для того, чтобы осуществить полную рандомизацию применяют таблицы случайных чисел, приведенных в справочниках по математической статистике). Для расчета коэффициентов регрессии применяют метод наименьших квадратов.

Уравнение регрессии:

Коэффициенты определяются из условия минимума невязки эксперимента:

берем частную производную по невязке:

здесь x (кси) – разность между экспериментальным и вычисленным по уравнению регрессии значением y в i-той экспериментальной точке. В результате проведения эксперимента получим значения.

При ортогональной матрице планирования формула для расчета коэффициентов значительно упрощается:

Здесь j – это 1,2,3 N – фактора, i – номер строки.

Т.к. каждый фактор (кроме x₀) варьируется на 2-х уровнях +1 и –1, то все вычисления сводятся к приписыванию столбцу у знаков, соответствующих фактору столбца, и сложению полученных значений. Разделив полученный результат на число опытов, получаем искомый результат.

Статистический анализ предполагает определение дисперсии воспроизводимости эксперимента. При реализации плана для каждого сочетания значения факторов необходимо провести несколько повторных наблюдений, опытов n (min 3). Значение и дисперсию при этом сочетании факторов определяют по следующим формулам:

Дисперсии отдельных опытов сравнивают между собой для установления их однородности. Дисперсии можно сравнивать по критерию Фишера, особенно в тех случаях, когда их число больше 2-х. Из всех дисперсий выбираются наибольшая и наименьшая. Если различие между ними незначимо, то всю группу дисперсий можно считать принадлежащей к одной совокупности, затем необходимо сравнить две серии наблюдений при различных сочетаниях значений факторов. И установить существенно ли в них различаются значения . Или это различие мало по сравнению с разбросом результатов наблюдений. Сравнение средних проводится с помощью критерия Стьюдента t. При подсчете дисперсии воспроизводимости эксперимента в целом, дисперсии при каждом опыте (при каждом сочетании значений фактора) надо просуммировать по числу опытов N в матрице и разделить на N.

Затем проводится проверка модели на адекватность.

Адекватной называется модель, предсказанное с помощью которой значение отклика отличается от фактического не более определенной заданной величины. Для этого находят дисперсию адекватности:

ЛЕКЦИЯ №11

- это среднее значение из n опытов при i-том сочетании значений факторов.

k – количество факторов.

- рассчитанное по модели значение у при i-ом сочетании значений факторов.

Дисперсия адекватности S_ад ,сравнив с дисперсией воспроизводимости S_{y}, и определяет критерий Фишера:

далее сравниваем полученные значения критерия Фишера с табличными.

Если - то эта модель не адекватна (не годна).

В этом случае необходимо или определить с большей точностью коэффициенты линейной модели, либо изменить модель, ввести члены, учитывающие взаимодействие факторов.

Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 92; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!