Вычисление обобщенной силы через возможную мощность.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

На цилиндр в процессе его движения действует только одна активная сила – сила тяжести. Мощность силы тяжести N = Gυ_С. Сравнивая это с записью в общем виде для системы с одной степенью свободы N = Q , видим, что обобщенная сила равна силе тяжести Q = G (приведенная сила).

Вычисление обобщенной силы через возможную работу.

Возможное перемещение для цилиндра – это поворот вокруг мгновенного

центра скоростей на угол δφ. При этом центр цилиндра получает вертикальное перемещение δу_С, которое равно δу_С = rδφ, что можно получить непосредственно из геометрии, учитывая, что перемещения бесконечно малые, или интегрируя и затем варьируя уравнение связи υ_С = ωr.

Возможная работа – это работа силы тяжести на возможном перемещении δА = Gδу_С. Сравнивая это с общим соотношением для систем с одной степенью свободы δА = Qδq, находим, что Q =G.

3. Вычисление обобщенной силы через потенциальную энергию.

Единственная в системе работающая сила – сила тяжести – является потенциальной, и тогда обобщенная сила может быть вычислена по известной формуле

Q^П = - ,

где П – потенциальная энергия системы.

Для цилиндра в поле силы тяжести П = - Gу_С и поэтому

Q = - = G.

Собираем теперь левую и правую части уравнения Лагранжа: m _пр а_С = G, откуда находим ускорение центра

а_С = = = 4,9 м/с².

Таким образом, ускорение центра цилиндра не зависит ни от его массы, ни от радиуса.

О т в е т : а_С = 4,9 м/с².

ЗАДАЧА 3

Диск вращается вокруг неподвижной вертикальной оси. Его момент инерции относительно этой оси равен J. Одновременно по радиусу диска движется материальная точка массой m (см. рис. 20). Определить величины приложенного к диску вращающего момента М и действующей на точку силы F, необходимые для того, чтобы диск вращался с заданным угловым ускорением ε, а точка двигалась по диску с заданным относительным ускорением а _r. Трением пренебречь.

Рис. 20 Рис. 21

Решение. Система имеет две степени свободы, и для ее описания следует составить два уравнения Лагранжа второго рода

– = Q_j , j = 1,2.

В качестве обобщенных координат можно выбрать угол поворота диска φ и координату материальной точки х (рис.21): q₁ = φ; q₂ = x.

Тогда обобщенные скорости будут , ,

где ω – угловая скорость диска, υ_r – относительная скорость точки.

Кинетическая энергия системы

где - абсолютная скорость точки, равная сумме относительной _r и переносной _e скоростей: = _r + _e. Из рисунка видно,

что υ² = + , и поскольку υ_е= ωх, то .

Тогда кинетическая энергия запишется в виде

где J_пр(х) = J + m х² - приведенный (к диску) момент инерции.

Определяем члены уравнений

1. j = 1. Выписываем производные:

, ;

Обобщенную силу Q₁ ищем через возможную мощность, фиксируя координату q₂, т.е. рассматривая материальную точку как неподвижную. В этом случае мощность имеет только вращающий момент N₁ = Мω = М , следовательно Q₁ = М.

2. j = 2. Выписываем производные:

;

= = m𝜐_r; = m = ma_r.

Обобщенную силу Q₂ находим через возможную мощность, фиксируя координату q₁, т.е. рассматривая диск как неподвижный. В этом случае мощность будет только у силы F: N₂ = F𝜐_r= F и, следовательно, Q₂ = F.

Теперь составляем уравнения Лагранжа:

J_пр(х)ε + 2mxυ_rω = M; ma_r – mxω² = F.

Отсюда находим М = (J + mx²)ε +2mxυ_rω; F = ma_r - mxω².

Первые слагаемые в этих уравнениях показывают величины момента и силы, необходимые для разгона системы (преодоления инерции).

Другие слагаемые имеют следующий физический смысл. Второе слагаемое первого уравнения представляет собой момент кориолисовой силы инерции относительно оси вращения (кориолисово ускорение здесь 2ωυ _r).

Второе слагаемое второго уравнения – это центробежная сила инерции (здесь ω²x – центростремительное ускорение).

О т в е т: М = (J + mx²)ε +2mxυ_rω; F = ma_r - mxω².

ОТВЕТЫ

ЗАДАНИЕ Д1

№	Ответ	№	Ответ	№	Ответ
1.	0,533 с	11.	7,57 1/с	21.	4,77 об.
2.	5,41 с	12.	1,72 1/с	22.	1,04 об.
3.	0,572 с	13.	36,1 с	23.	1,84 1/с
4.	35,9 1/с	14.	24,0 об.	24.	12,0 1/с
5.	4,74 с	15.	2,82 1/с	25.	5,00 рад
6.	1,59 с	16.	22,2 рад	26.	15,9 об.
7.	8,66 рад	17.	44,5 рад	27.	4,64 1/с
8.	6,20 1/с	18.	6,73 1/с	28.	11,4 1/с
9.	4,80 об.	19.	4,09 1/с	29.	1,33 1/с
10.	31,3 1/с	20.	112 Нм	30.	3,66 рад

ЗАДАНИЕ Д2

Задание 1

№	Ответ	№	Ответ	№	Ответ
1.	1,36 м/с²	11.	19,0 1/с²	21.	0,440 м/с²
2.	1,91 м/с²	12.	1,76 м/с²	22.	0,798 м/с²
3.	1,08 м/с²	13.	0,468 м/с²	23.	0,180 м/с²
4.	13,3 1/с²	14.	0,164 м/с²	24.	1,48 м/с²
5.	0,435 м/с²	15.	1,07 м/с²	25.	6,17 1/с²
6.	19,1 1/с²	16.	1,38 м/с²	26.	4,03 1/с²
7.	3,02 1/с²	17.	1,40 м/с²	27.	2,76 м/с²
8.	0,531 м/с²	18.	21,4 1/с²	28.	8,04 1/с²
9.	70,2 1/с²	19.	0,469 м/с²	29.	2,27 м/с²
10.	2,98 м/с²	20.	0,109 м/с²	30.	0,361 м/с²

Задание 2

№	Ответ	№	Ответ	№	Ответ
1.	2,33 м/с	11.	15,5 1/с	21.	1,33 м/с
2.	2,76 м/с	12.	2,66 м/с	22.	1,79 м/с
3.	2,08 м/с	13.	1,37 м/с	23.	0,847 м/с
4.	12,9 1/с	14.	0,809 м/с	24.	2,44 м/с
5.	1,32 м/с	15.	2,07 м/с	25.	8,81 1/с
6.	15,5 1/с	16.	2,35 м/с	26.	7,11 1/с
7.	6,16 1/с	17.	2,37 м/с	27.	3,33 м/с
8.	1,46 м/с	18.	16,4 1/с	28.	10,0 1/с
9.	29,7 1/с	19.	1,37 м/с	29.	3,01 м/с
10.	3,45 м/с	20.	0,661 м/с	30.	1,20 м/с

ЗАДАНИЕ Д3

№	F, кН	R, кН
1.	3,67	3,47
2.	8,17	4,05
3.	4,89	2,98
4.	3,15	5,90
5.	0,254	0,925
6.	28,2	12,5
7.	0,934	1,58
8.	5,53	8,80
9.	18,1	12,2
10.	12,2	6,02
11.	7,89	5,10
12.	2,55	8,61
13.	5,28	9,44
14.	3,83	5,65
15.	2,47	4,40

№	F, кН	R, кН
16.	2,10	2,20
17.	2,87	2,08
18.	1,90	2,42
19.	11,5	9,04
20.	1,42	2,50
21.	-0,250	4,68
22.	36,5	8,89
23.	3,31	3,07
24.	7,95	12,3
25.	3,99	7,91
26.	8,77	4,40
27.	0,843	1,39
28.	14,3	3,94
29.	3,73	3,83
30.	3,25	6,78

ЗАДАНИЕ Д4

№	Ответ	№	Ответ	№	Ответ
1.	1,63 м/с²	11.	3,11 м/с²	21.	2,67 1/с²
2.	1,00 м/с²	12.	11,8 1/с²	22.	20,5 1/с²
3.	4,29 1/с²	13.	3,11 м/с²	23.	1,03 м/с²
4.	4,23 м/с²	14.	0,561 м/с²	24.	1,02 м/с²
5.	3,02 м/с²	15.	2,96 м/с²	25.	0,883 1/с²
6.	7,22 1/с²	16.	3,33 м/с²	26.	2,00 м/с²
7.	1,96 м/с²	17.	1,15 м/с²	27.	2,70 1/с²
8.	5,04 м/с²	18.	3,56 м/с²	28.	0,635 м/с²
9.	З,40 м/с²	19.	1,63 м/с²	29.	9,26 м/с²
10.	1,69 м/с²	20.	0,352 м/с²	30.	3,16 м/с²

Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 137; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!