Задания для самостоятельной работы.
Геометрический смысл производной.
Производная функции имеет простую и важную геометрическую интерпретацию.
Если функция у= f(х) дифференцируема в точке х, то график этоq функции имеет в соответствующей точке касательную, причем угловой коэффициент касательной равен значению производной в рассматриваемой точке.
Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у=f(х) в точке (х0, у0), равен значению производной функции при х = х0, т.е. 
.
Уравнение этой касательной имеетвид
.
Пример 8. Составить уравнение касательной к графикуфункции 
в точке A(3, 6).
Решение. Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную данной функции:
.
Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции при x=3:
.
Уравнение касательной имеет вид:
, т.е. 10 x- y-24=0
Пример 9. Составить уравнение касательной, проведенной к графику функции 
в точке с абсциссой х =2.
Решение. Сначала найдем ординату точки касания А(2, у). Так как точка А лежит на кривой, то ее координаты удовлетворяют уравнению кривой, т.е.
; А(2; 2).
Уравнение касательной, проведенной к кривой в точке А(2, 2), имеет вид y-2= k( x-2). Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную:
Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции при х=2:
.
Уравнение касательной таково: y-2=-( x-2), y-2=- x+2,т.е. x+ y-4=0.
Физический смысл производной.
|
|
|
Если тело движется по прямой по закону s= s( t), то за промежуток времени 
(от момента t до момента t+ 
) оно пройдет некоторый путь 
. Тогда 
есть средняя скорость движения за промежуток времени .
Скоростью движения тела в данный момент времени t называется предел отношения приращения пути 
к приращению времени , когда приращение временя стремится к нулю:
.
Следовательно, производная пути s по времени t равна скорости прямолинейного движения тела в данный момент времени:
.
Скорость протекания физических, химических и других процессов также выражается с помощью производной.
Производная функции y= f( x) равна скорости изменения этой функции при данном значении аргумента х:
Пример 10. Закон движения точки по прямой задан формулой s=5 t3-3 t2+4 (s — в метрах, t — в секундах). Найти скорость движения точки в конце первой секунды.
Решение. Скорость движения точки в данный момент времени равна производной пути s по времени 
.
Итак, скорость движения точки в конце первой секунды равна 9 м/с.
Пример 11. Тело, брошенное вертикально вверх, движется по закону 
, где 
— начальная скорость, g — ускорение свободного падения тела. Найти скорость этого движения для любого момента времени t. Сколько времени будет подниматься тело и на какую высоту оно поднимется, если 
= 40 м/с?
|
|
|
Решение. Скорость движения точки в данный момент времени t равна производной пути s по времени t:
.
В высшей точке подъема скорость тела равна нулю:
, 
, 
, 
t=4.1 c
За 40/g секунд тело поднимется на высоту
, 
м.
Вторая производная. Производная функции у=f(х) в общем случае является функцией от х. Если от этой функции вычислить производную, то получим производную второго порядка или вторую производную функции y=f(x).
Второй производной функции у=f(x) называется производная от ее первой производной у'= f'(х).
Вторая производная функции обозначается одним из символов — у", f"(х), 
. Таким образом, 
.
Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка. Например, производная третьего порядка:
или 
, 
.
Пример 12. Найти вторую производную функции 
Решение. Сначала найдем первую производную 
.
Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную:
.
Пример 13. Найти вторую производную функции 
и вычислить ее значение при
х = 2.
Решение. Сначала найдем первую производную:
Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную:
.
Вычислим значение второй производной при х = 2; имеем y”(2)=4/(2-1)3=4/1=4.
|
|
|
Физический смысл второй производной. Если тело движется прямолинейно по закону s= s( t), то вторая производная пути s по времени t равна ускорению движения тела в данный момент времени t:
Таким образом, первая производная характеризует скорость некоторого процесса, а вторая производная— ускорение того же процесса.
Пример 14. Точка движется по прямой по закону s= t - sint. Найти скорость и ускорение движения при t= 
/2.
Решение. Скорость движения тела в данный момент времени равна производной пути s по времени t, а ускорение — второй производной пути s по времени t. Находим:
; тогда 
.
Задания для самостоятельной работы.
Дата добавления: 2021-04-24; просмотров: 65; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!