Тема «Натуральное число как мера величины»

Методические рекомендации

Подход к натуральному числу как мере величины позволяет обосновывать выбор действий при решении задач с различными величинами.

Действия над натуральными числами и действия над положительными скалярными величинами взаимосвязаны: сложение чисел - со сложением величин, вычитание чисел - с вычитанием величин, умножение отражает переход к новой (более мелкой) единице величины, деление отражает переход к новой (более крупной) единице величины.

В данной теме представлены два типа задач. К первому относятся задачи, решение которых основывается на знании смысла сложения, вычитания, умножения и деления целых неотрицательных чисел, являющихся значениями величин.

Ко второму типу задач относятся те, в которых обоснование выбора действия требует знания смысла отношений «равно», «больше (меньше) на», «больше (меньше) в» для чисел - значений величин.

Для решения задач данной темы необходимо

знать: - смысл сложения, вычитания, умножения и деления целых неотрицательных чисел, являющихся значениями величин; -смысл отношений «равно», «больше (меньше) на», «больше (меньше) в» для чисел - значений величин.

уметь: - обосновывать выбор действий при решении задач, в которых рассматриваются величины, отношения между ними, а также производятся различные операции; - излагать данное обоснование нa языке школьной математики.

Образец выполнения заданий

Задание. Решите задачу и обоснуйте выбор действия, используя подход к натуральному числу как мере величины.

Задача I. Наташа собрала в саду 6 кг вишни, а Сережа 8 кг. Всю ягоду разложили в ведра, по 7 килограммов в каждое. Сколько ведер потребовалось?

Решение. Изобразим массу вишни, собранной Haташей, в виде отрезка АВ, а массу вишни, которую собрал Сережа, в виде отрезка ВС продолжение отрезка АВ. Получим отрезок АС.

Так как мера отрезка АС равна сумме мер его частей, то массу всей собранной вишни находим, сложив 6кг и 8 кг: 6 кг + 8 кг = 14 кг. В задаче рассматриваются две единицы измерения массы вишни - килограммы и ведра. Так как в задаче требуется выразить результат измерения массы вишни в ведрах, т.е. в новой (более крупной) единице, И известно, что в новой (ведре) содержится семь старых (килограммов), то задача решается делением: 14 кг : 7 кг = 2. Потребуется два ведра.

Задача 2. Ручка стоит 2 рубля, a тетрадь в 4 раза дороже. Сколько рублей стоит тетрадь?

Решение. В задаче рассматриваются цена ручки и цена тетради, причем численное значение первой величины известно, a численное значение второй надо найти, зная, что она в два раза больше первой. Если воспользоваться вспомогательной моделью задачи, то можно сказать, что цена тетради складывается из четырех цен по 2 рубля, следовательно, ее численное значение можно найти, умножив 2 на 4. Найдя значение выражения 2 х 4, получим ответ на вопрос задачи. Тетрадь стоит 8 рублей.

Тема «Запись целых неотрицательных чисел и алгоритмы действий над ними»

Методические рекомендации

Натуральные числа можно записывать не только в десятичной системе счисления, но и в любой позиционной системе счисления с основанием р ≥ 2. При этом запись числа, сравнение натуральных чисел и действия над ними в позиционных системах счисления, отличных от десятичной, выполняются по правилам, аналогичным тем, что приняты в десятичной системе счисления.

Среди различных задач данной темы выделены два вида. К первому относятся задания, в которых проверяются знания студентов об алгоритмах действий с многозначными числами в десятичной системе счисления и умение обосновывать эти алгоритмы.

Ко второму виду относятся те задания, которые связаны с выполнением действий над натуральными числами в различных позиционных системах счисления. В процессе проверки правильности решения задания нужно воспользоваться правилом перехода от записи числа в системе счисления с основанием p (p ≠ 10) к записи в десятичной системе счисления, и наоборот.

Для решения задач данной темы необходимо:

знать: - запись числа х в системе счисления с основанием р; - переход от записи числа в системе счисления с основанием р (р # 10) к записи в десятичной системе счисления, и наоборот; - правила выполнения действий в позиционных системах счисления с основанием р.

уметь: - записывать число в любой позиционной системе счисления; - переходить от записи числа с основанием р (р # 10) к записи в десятичной системе счисления‚ и наоборот; - выполнять действия над числами в позиционных системах счисления.

Образец выполнения заданий

Задание 1. На примере вычитания числа 126 из 540 покажите, какие теоретические положения лежат в основе алгоритма вычитания многозначных чисел.

Решение. Представим данные числа в виде сумм степеней десяти с коэффициентами: 540—126 = (5∙10² + 4∙10 + 0) — (1∙10 ² + 2∙10 + 6). Так как из числа 0 нельзя вычесть 6, то из числа 540 возьмем один десяток и представим его в виде 10 единиц — запись числа в десятичной системе счисления позволяет это сделать: (5∙10² + 3∙10 + 10) — (1∙10 ² + 2∙10 + 6).

Если теперь воспользоваться правилом вычитания суммы из числа, то придем к выражению: (5∙10² + 3∙10 + 10) — 1∙10 ² – 2∙10 -- 6 .

Далее применим правило вычитания числа из суммы:

(5∙10² — 1∙10 ² ) + ( 3∙10 -- 2∙10 ) + (10 — 6).

На основе дистрибутивного закона умножения относительно вычитания выносим общий множитель за скобки в двух первых слагаемых полученной суммы: (5 – 1) ∙ 10² + ( 3 -- 2) ∙10 + (10 — 6).

Воспользуемся таблицей сложения однозначных чисел: 4 ∙ 10² + 1∙10 + 4.

Полученное выражение есть запись числа 414 в десятичной системе счисления. _ 540

Проведенные вычисления принято записывать так: 126

414.

Из рассуждений, выше приведенных, следует, что правило вычитания «столбиком» основывается на:

- способе записи чисел в десятичной системе счисления;

- правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа;

- дистрибутивном законе умножения относительно вычитания;

- таблице сложения однозначных чисел.

Задание 2. Найдите значение выражения 42₅∙ 324₅ + 213₅. Сделайте проверку вычислений в десятичной системе счисления.

Решение. Составим таблицу сложения и умножения однозначных чисел в пятеричной системе счисления.

+	1	2	3	4
1	2	3	4	10
2	3	4	10	11
3	4	10	11	12
4	10	11	12	13

Используя таблицу умножения, находим произведение

42₅∙ 324₅ = 30313₅

Используя таблицу сложения, находим значение выражения

30313₅+ 213₅ = 31031₅

Итак, 42₅∙ 324₅ + 213₅= 31031₅

Проверка:

Переходим от записи числа в системе счисления с основанием р=5 к записи числа в десятичной системе счисления:

42₅= 4 · 5 + 2 = 22

324₅= 3 · 5² + 2 · 5 + 4 = 89

213₅ =2 · 5² + 1 · 5 + 3 = 58

Находим результаты действий над числами в десятичной системе счисления

22 · 89 + 58 = 1958 + 58 = 2016

Запишем в десятичной системе счисления ответ, полученный в пятеричной системе счисления:

31031₅= 3 · 5⁴ + 1 · 5³ + 0· 5² + 3· 5 + 1= 1875 + 125 + 15 + 1 = 2016.

Дата добавления: 2021-04-24; просмотров: 212; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!