Производная сложной и обратной функции.

Теорема. Пусть функции имеют производные в точке . Тогда справедливы соотношения:

1) (1)

2) (2)

3) . (3)

Доказательство. Придадим аргументу приращение . Тогда функция получит приращение , получит приращение . Так как по условию теоремы и имеют производные, то по теореме из предыдущего пункта эти функции непрерывны в точке . Следовательно, при имеют место: .

1) Если , то ;

2) Если , то ;

Из теоремы вытекает следствие: если , то . (4)

Доказательство. Сначала найдем производную для функции , где .

Если получило приращение , то . Следовательно, , тогда 0. Таким образом, .

Тогда, подставляя в (2) , где , с учетом , получим (4).

Соотношения (1)-(4) называют правилами дифференцирования.

Пример. Найдем производную для .

. Тогда, используя (3), получаем: .

Таким образом, .Аналогично доказывается .

Производная сложной функции.

Пусть задана сложная функция .

Теорема. Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то и сложная функция имеет производную в точке . При этом .

Примеры. Найти производные функций:

1) - сложная функция. Обозначим: .

2) - сложная функция. Обозначим .

3) простая функция. Однако для нахождения представим ее в виде сложной:

, где .

.Таким образом, .

Можно доказать, что это соотношение справедливо для любых , при которых функция

определена.

Производная обратной функции.

Рассмотрим функцию , возрастающую (убывающую) и непрерывную на некотором промежутке . Тогда по теореме существования для этой функции существует обратная функция , определенная в соответствующем промежутке , также возрастающая (убывающая) и непрерывная.

Теорема. Пусть - монотонная, непрерывная функция, определенная на промежутке и имеющая в точке производную, отличную от нуля: . Тогда обратная функция в соответствующей точке имеет производную .

Пример. Найти производную функции .

Решение. Функция, обратная заданной, имеет вид . Тогда

Преобразования выполнены с учетом того, что для , поэтому .

Аналогично доказываются следующие формулы:

; ; .

Объединим в одну таблицу основные формулы и правила дифференцирования.

Таблица производных.

1) , где .

2) , где . В частности, .

3) .

В частности, .

4) . В частности, .

5) . 6) .

7) . 8) .

9) . 10) .

11) . 12) .

Правила дифференцирования.

I. Если - дифференцируемые функции, , то

4) .

Лекция 3.

Дифференциал функции одной переменной. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.

Дифференциал функции. Связь дифференциала с производной.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и непрерывна

при . Пусть - приращение независимой переменной в этой точке. Если приращение функции в точке можно представить в виде

, (1)

где не зависит от , а б/м при , то функцию называют дифференцируемой в точке .

Пример. Пусть . Тогда, выбрав произвольное , получаем:

Обозначив ( не зависит от ), , получаем, что для функции

в точке . Заметим, что в данном примере .

Определение. Дифференциалом функции называется главная часть ее приращения , линейная относительно приращения независимой переменной .

Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала конечная производная , при этом . (2)

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке , т.е. . Тогда, разделив обе части равенства на и переходя к пределу

при , получаем ;

Таким образом, из дифференцируемости функции в точке следует существование производной и равенство .

2) Достаточность. Пусть для функции в точке существует производная . Тогда , или , где б/м при .

Умножив обе части этого равенства на , получим . (3)

Так как не зависит от , и при , то равенство (3)

аналогично (1). При этом .

Замечание.

1) Из определения и теоремы вытекает, что для всякой дифференцируемой в точке функции справедливо соотношение . Тогда , (4)

поскольку б/м более высокого порядка, чем .Это равенство широко применяют для приближенных вычислений.

2) Введем понятие дифференциала независимой переменной. Для этого рассмотрим функцию . С одной стороны, . С другой стороны, из теоремы следует, что .

Таким образом, дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: . (5)

3) С учетом (5) формулу (2) для вычисления дифференциала функции можно записать в виде . (6)

Из этого равенства вытекает, что . Следовательно, производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной .

Геометрический смысл дифференциала..

Пусть задана функция

, имеющая производную в точке

. Из существования производной следует, что

. Тогда

. Следовательно, дифференциал функции равен приращению ординаты касательной

, проведенной к кривой

в точке

при приращении аргумента

Свойства дифференциала функции.

Если и дифференцируемые функции, , то

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

Доказательство. В качестве примера докажем свойство 5.

Остальные свойства доказываются аналогично.

Производные высших порядков.

Как уже ранее отмечалось, если функция имеет производную в каждой точке некоторого промежутка , то сама производная является функцией независимой переменной . Если при этом функция дифференцируема,

т.е. существует производная , то ее называют второй производной функции . Рассуждая аналогично, получим .

Определение. Производной го порядка функции называется производная от производной го порядка.

Примеры.

1) .

Вторая производная от функции имеет определенный физический смысл. Если характеризует скорость изменения переменной , то величина задает ускорение.

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Дифференциальное исчисление является удобным аппаратом для исследования функций. В основе различных приложений лежат рассматриваемые ниже теоремы, которые также называют теоремами о среднем.

Теорема Ферма.

Теорема. Если функция определена на некотором промежутке , во внутренней точке этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение, и в этой точке существует конечная производная , то .

Доказательство. Положим, для определенности, что в точке функция принимает наибольшее значение: , тогда при любом или получим:

. Следовательно, при ,

а при . Поскольку, по условию теоремы, производная при существует, то, перейдя к пределу в неравенствах при , получаем:

при ; при .

Существование производной обусловливает тот факт, что левая и правая производные должны быть равны, а это возможно лишь в том случае, когда . Таким образом, из существования производной следует: .

Теорема имеет простое геометрическое содержание, а именно: если в точке

функция принимает наибольшее (наименьшее) значение и существует

, то

,следовательно, в этой точке угловой коэффициент касательной

. Тогда

касательная в этой точке параллельна оси OX.

Теорема Ролля.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на

интервале и , то существует по крайней мере одна точка , такая, что .

Доказательство. Так как функция определена и непрерывна на отрезке , то она принимает на этом промежутке свои наибольшее и наименьшее значения. При этом возможны следующие случаи:

1) . Тогда функция на всем отрезке – величина постоянная, т.е. . Следовательно, , и в качестве точки можно выбрать любую точку, принадлежащую интервалу .

2) . Тогда . Причем, поскольку из условия теоремы , то хотя бы одно из значений или функция принимает во внутренней точке промежутка . Тогда, по теореме Ферма, получаем: . Теорема доказана.

Геометрический смысл заключается в том, что при выполнении условий теоремы на графике функции найдется хотя бы одна точка, в которой касательная параллельна оси OX.