Как решать алгебраические выражения?
Для вычисления значений нужно делать преобразование алгебраических выражений. А для этого вам еще нужно учесть несколько правил.
Во-первых: областью определения алгебраических выражений являются все возможные значения переменной, при которых это выражение может иметь смысл. Что подразумевается? Например, нельзя подставлять такое значение переменной, при котором пришлось бы делить на нуль. В выражении 1/(х – 2)из области определения надо исключить 2.
Во-вторых, запомните, как упрощать выражения: раскладывать на множители, выносить за скобки одинаковые переменные и т.п. Например: если поменять местами слагаемые, сумма от этого не изменится (у + х = х +у). Аналогично и произведение не изменится, если поменять местами множители (х*у = у*х).
А вообще для упрощения алгебраических выражений отлично служат формулы сокращенного умножения. Тем, кто их еще не выучил, обязательно надо это сделать – все равно пригодятся не раз:
· находим разность переменных, возведенных в квадрат: х2 – у2 = (х – у)(х + у);
· находим сумму, возведенную в квадрат: (х + у)2 = х2 + 2ху + у2;
· вычисляем разность, возведенную в квадрат: (х – у)2 = х2 – 2ху + у2;
· возводим сумму в куб: (х + у)3 = х3 + 3х2у + 3ху2 + у3 или (х + у)3 = х3 + у3 + 3ху(х + у);
· возводим в куб разность: (х – у)3 = х3 – 3х2у + 3ху2 – у3 или (х – у)3 = х3 – у3 – 3ху(х – у);
· находим сумму переменных, возведенных в куб: х3 + у3 = (х +у)(х2 – ху + у2);
· вычисляем разность переменных, возведенных в куб: х3 – у3 = (х – у)(х2 + ху + у2);
|
|
|
· используем корни: ха2 + уа + z = х(а – а1)(а – а2), а1 и а2 – это корни выражения ха2 + уа + z.
Еще вам стоит иметь представление о видах алгебраических выражений. Они бывают:
· рациональные, и те в свою очередь подразделяются на:
· целые (в них нет деления на переменные, нет извлечения корней из переменных и нет возведения в дробную степень): 3a3b + 4a2b * (a – b).Область определения – все возможные значения переменных;
· дробные (кроме остальных математических операций, вроде сложения, вычитания, умножения, в этих выражениях делят на переменную и возводят в степень (с натуральным показателем): (2/b – 3/a + с/4)2. Область определения – все значения переменных, при которых выражение не равно нулю;
· иррациональные – чтобы алгебраическое выражение считалось таковым, в нем должно присутствовать возведение переменных в степень с дробным показателем и/или извлечение корней из переменных: √а + b3/4. Область определения – все значения переменных, исключая те, при которых выражение под корнем четной степени или под дробной степенью становится отрицательным числом.
Тождественные преобразования алгебраических выражений – еще один полезный прием для их решения. Тождество – такое выражение, которое будет верным при любых входящих в область определения переменных, которые в него подставят.
|
|
|
Выражение, которое зависит от некоторых переменных, может быть тождественно равно другому выражению, если то зависит от тех же переменных и если значения обоих выражений равны, какие бы значения переменных не были выбраны. Другими словами, если выражение можно выразить двумя разными способами (выражениями), значения которых одинаковые, эти выражения тождественно равны. Например: у + у = 2у, или х7 = х4*х3, или x +y +z = z + x +y.
При выполнении заданий с алгебраическими выражениями тождественное преобразование служит для того, чтобы одно выражение можно было заменить на другое, тождественное ему. К примеру, заменить х9 на произведение х5*х4.
Задача 1. Найти значение выражения: ((12х)2 – 12х)/(12х2 -1).
Решение: ((12х)2 – 12х)/(12х2 – 1) = (12х (12х -1))/х*(12х – 1) = 12.
Задача 2. Найти значение выражения: (4х2 – 9)*(1/(2х – 3) – 1/(2х +3).
Решение: (4х2 – 9)*(1/(2х – 3) – 1/(2х +3) = (2х – 3)(2х + 3)(2х + 3 – 2х + 3)/(2х – 3)(2х + 3) = 6.
Задача 3. Упростите выражение:
.
Решение: Преобразуем первую дробь. В числителе вынесем множитель 3 за скобки и разложим знаменатель по формуле №1:
|
|
|
Преобразуем вторую дробь. В числителе вынесем множитель 5 за скобки и применим к знаменателю формулу №2:
Подставим полученные результаты в выражение:
Ответ: 
Задача 4. Упростите выражение:
Решение: Применим к числителю второй дроби формулу №9, а к знаменателю формулу №1 (так как x2 - 1 = x2 - 12) и выполним необходимые сокращения:
Ответ: 
Задача 5. Найти значение выражения:
,
при a=37, b=27.
Решение: Заметим, что:
по формуле: №3. Поэтому числитель дроби можно представить так:
Знаменатель дроби:
Подставим результаты вычислений в начальную дробь:
Теперь с помощью формулы №1 упростим полученный результат и подставим значения a и b из условия:
Ответ: 632.
Более подробно можно посмотреть: Богомолов, Н.В.Математика: учебник для СПО / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. — 5-е изд., перераб. и доп. — М.: Изд-во Юрайт, 2019. — 401 с. — (Серия: Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-07878-7. — Текст: электронный // ЭБС Юрайт [сайт]. — URL: https://www.biblio-online.ru/bcode/433286.
Дата добавления: 2021-04-05; просмотров: 72; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!