Тема 5. Действия над десятичными дробями

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

5.1. Вычислите рациональным способом.

а) ;

б) .

5.2. а) Что больше: 35% от 40 или 40% от 35?

б) Увеличьте число: 60 на 10%; 80 на 2,5%.

5.3. Найдите 10% числа, которое является значением выражения .

Методические рекомендации

В данной теме предлагаются задачи на вычисления с десятичными дробями и процентами. Для их решения необходимо

знать: - правила выполнения действий с десятичными дробями; - законы сложения и умножения рациональных чисел; - правила разложения выражений на множители; - определение процента и правила нахождения процентов данного числа и числа по его процентам

уметь: - рационально выполнять арифметические действия с десятичными дробями; - вычислять проценты данного числа; - находить число по его процентам.

Образец выполнения задания

Задача. Найдите число, если известно, что 30% его равны значению выражения

Решение:

Найдем значение данного выражения. Для этого выполним указанные в нем действия над десятичными дробями.

_10295,42ë257

1028 40,06

_ 15 42

15 42

3. 48

0,23

144

96_

11,04

5. _9000 ë288

864 31,25

_360

288

_720

576

_ 1440

1440 0

7. _ 110,4 ë32

96 3,45

_144

128

_ 160

160 0

Итак, значение данного выражения 3,45. Теперь найдем искомое число, зная, что 30% его равны 3,45. Сделать это можно двумя способами.

1) 1% искомого числа составляет . Все число - 100%, поэтому .

2) Обозначим искомое число буквой х. Тогда один его процент составляет 0,01х, а 30% – . По условию . Откуда , .

Таким образом, искомое число 11,5.

Тема 6. Текстовые задачи

Решите задачу.

6.1. Двигаясь со скоростью 60 км/ч, автомобиль пройдет расстояние от пункта А до пункта В за 3 ч 15 мин. За какое время пройдет автомобиль то же расстояние, если увеличить скорость на 15 км/ч?

6.2. Двое рабочих различной квалификации выполнили совместно некоторую работу за 6 дней. Производительность первого рабочего на 20% больше производительности второго. За какое время второй рабочий мог бы выполнить всю работу?

6.3. Трое рабочих должны выполнить некоторую работу. Первый рабочий может выполнить всю работу, работая один, за рабочих дня, второй за рабочих дня, а одному третьему рабочему потребуется в раза больше рабочих дней, чем первым двум рабочим при их одновременной работе. Во сколько рабочих дней, работая все вместе, выполнят они работу?

Методические рекомендации

В процессе работы над задачей студент учиться: а) давать краткую запись текста задачи; б) анализировать содержание задачи; в) осуществлять поиск решения задачи; г) записывать решение задачи в виде действий и пояснений к ним; д) осуществлять проверку правильности решения данной задачи.

Образец выполнения задания

Задача. Решить задачи:.

а) Автомобиль прошел в первый день 3/8 всего пути, во второй - 15/17 того, что прошел в первый, а в третий день - остальные 200км. Сколько бензина было израсходовано, если на 10 км пути автомобиль расходует 1 3/5 кг бензина?

Решение. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо узнать весь путь, пройденный автомобилем. Для этого определим, какую часть пути он прошел во второй и третий день. Так как в первый день автомобиль прошел 3/8 всего пути, а во второй - 15/17 того, что прошел в первый, то можно определить часть пути, пройденного во второй день, умножив 3/8 на 15/17. Тогда в третий день автомобиль прошел

1-(3/8+3/8´15/17) часть пути. Т.к. это составило 200 км, то весь путь находим, разделив 200 на часть пути, пройденного автомобилем в третий день: 200: (1 - (3/8+3/8´15/17)) (км).

Норма расхода бензина на 1 км равна 1 3/5: 10 (кг). Значит на весь путь будет израсходовано 200 : (1 - (3/8+3/8´15/17)) ´1 3/5: 10 (кг).

Производя действия над числами в полученном выражении, найдем его значение: оно равно 108 4/5. Следовательно, на весь путь автомобиль израсходовал 108 4/5 кг бензина.

б) В книге 160 страниц. В первый день девочка прочла 7,5% всей книги, а на следующий день на 8 страниц больше, чем в первый. Сколько процентов всей книги осталось прочитать девочке?

Решение: Чтобы ответить на вопрос задачи, надо узнать сколько страниц осталось прочитать девочке после двух дней. Для этого определим сначала, сколько страниц прочитала она в первый день. По условию в первый день она прочитала 7,5% всей книги, состоящей из 160 страниц. Найдем 7,5% от 160.

(160:100) ´7,5=12 (стр)

Во второй день на 8 страниц больше, чем в первый, т.е.

12стр+8=20стр.

Теперь узнаем, сколько страниц осталось девочке прочитать

160стр- (12стр+20стр)=128стр.

Итак, девочке осталось прочитать 128стр. От всей книги, т.е. от 160стр.

(128:160) ´100=80%

Следовательно, девочке осталось прочитать 80% всей книги. Ответ на вопрос задачи получен.

Тема 7. Решение уравнений.

7.1. Решите уравнения (все они заданы на множестве действительных чисел) и обоснуйте все преобразования, выполняемые в процессе решения:

а) ;

б)

7.2. Решите уравнения, используя зависимость между компонентами и результатами действий:

а) ;

б)

7.3. Решите уравнения: 1) на основе зависимости между компонентами и результатами действий; 2) используя свойства равносильных уравнений:

а) ;

б)

Методические рекомендации

Уравнения необходимы как математический аппарат для решения многих задач. Первоначальное знакомство с ними происходит в начальном курсе математики. Задачи данной темы связаны с уточнением и углублением знаний о решении и обосновании решения уравнений на множестве действительных чисел.

Для решения задач данной темы необходимо

знать: - определение уравнения с одной переменной, корня уравнения; - что значит решить уравнение; - способы решения уравнений.

уметь: - решать различными способами и обосновывать решение уравнений с одной переменной.

Образец выполнения задания

Задача. Решите уравнение, используя зависимость между компонентами и результатом действия.

, х Î R

Решение:

В левой части уравнения имеем частное. Переменная входит в состав делимого, значит, неизвестно делимое. Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Отсюда

В новом уравнении неизвестно уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Имеем:

В полученном уравнении неизвестен второй множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, надо значение произведения разделить на известный множитель.

Имеем:

Чтобы получить несократимую запись дроби, нужно числитель и знаменатель разделить на их наибольший общий делитель, который находим с помощью алгоритма Евклида или используем каноническое разложение чисел. НОД(92, 140)=4. Следовательно,

Проверка: Проверим, верно ли нашли, корень уравнения. Для этого, подставим найденное значение переменной в исходное уравнение и найдем значение выражений в правой и левой частях уравнения.

Имеем верное равенство

Ответ:

Задача. Решите уравнение, используя свойства равносильных уравнений.

– = (Т1 ур.; тождественные преобразования)

– – = 0 (тождественные преобразования)

= 0 (тождественные преобразования)

(Т2 ур.)

(формула корней квадратного уравнения)

Ответ:

Контрольные вопросы раздела

«расширение множества натуральных чисел»

1. Задача расширения понятия числа.

2. Понятие дроби. Дробь как результат измерения длины отрезка.

Положительные рациональные числа. Положительное рациональное число как класс эквивалентных дробей.
Арифметические действия над рациональными числами и их свойства.
Множество положительных рациональных чисел. Свойства множества рациональных чисел (упорядоченность, бесконечность и плотность множества рациональных чисел).
Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел.
Десятичные дроби.
Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби.
Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей.
Правило записи бесконечных десятичных периодических дробей в виде обыкновенных.
Несоизмеримые отрезки. Понятие иррационального числа.
Положительные действительные числа. Положительное действительное число как мера измерения скалярной величины.
Действия над положительными действительными числами и их свойства.
Действительные числа. Свойства множества действительных чисел (упорядоченность, непрерывность и бесконечность множества действительных чисел).
Геометрическая интерпретация действительных чисел.

Тестовые задания раздела

«расширение множества натуральных чисел»

Цель: Проверить знание понятий: дробь (правильная и неправильная), равные дроби, несократимая дробь, положительное рациональное число, равенство положительных рациональных чисел, смешанная дробь, бесконечная периодическая десятичная дробь, бесконечная непериодическая десятичная дробь, иррациональное число, действительное число; знание свойств отношения равенства дробей (рефлексивность, симметричность, транзитивность) и их использование при определении понятия положительного рационального числа, формул для выполнения действий над положительными рациональными числами; умение правильно формулировать свойства множества положительных рациональных чисел, действительных чисел; умение задавать отношения и выполнять действия в различных числовых множествах.

1. Для того чтобы дроби m/n и p/q выражали длину одного и того же отрезка, необходимо и достаточно, чтобы:

a. выполнялось равенство

b. выполнялось неравенство

c. выполнялось неравенство

d. выполнялось равенство

e. выполнялось равенство

2. Если числитель дроби больше знаменателя или равен ему, то дробь называется:

a. правильной

b. неправильной

c. сократимой

d. обыкновенной

e. десятичной

3. Как называются две дроби m/n и p/q, если m*q=n*p:

a. правильными

b. неправильными

c. равными

d. обыкновенными

e. десятичными

4. Равенство дробей является отношением:

a. порядка

b. обладающим свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности

c. обладающим свойствами симметричности, транзитивности

d. обладающим свойствами рефлексивности, симметричности, связанности

e. эквивалентности

5. Выберите среди предложений основное свойство дроби:

a. если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной

b. если числитель и знаменатель дроби сложить с одним и тем же натуральным числом, то получится дробь, равная данной

c. если числитель дроби умножить на натуральное число, а знаменатель оставить без изменения, то получится дробь равная данной

d. если знаменатель дроби умножить на натуральное число, а числитель оставить без изменения, то получится дробь равная данной

e. если из числителя и знаменателя дроби вычесть одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной

6. Найдите наименьший общий знаменатель дробей :

a. 70

b. 115

c. 525

d. 105

e. другой ответ

7. Если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся только на 1, то дробь называют:

a. сократимой

b. правильной

c. несократимой

d. неправильной

e. смешанной

8. Сокращение дробей – это:

a. замена данной дроби другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем

b. замена данных дробей равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели

c. деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число

d. умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число

e. разложение числителя и знаменателя дроби на простые множители

9. Класс равных дробей, в котором каждая дробь есть запись (представление) этого числа, называется:

a. положительным иррациональным числом

b. положительным рациональным числом

c. положительным действительным числом

d. иррациональным числом

e. действительным числом

10. Свойствами сложения положительных рациональных чисел является:

a. коммутативность

b. ассоциативность

c. коммутативность, ассоциативность

d. коммутативность, дистрибутивность

e. дистрибутивность, ассоциативность

11. Если положительное рациональное число а представлено дробью m/n, а положительное рациональное число b – дробью p/q, то их произведением называется число a*b, которое представляется дробью:

e. другой ответ

12. Между любыми двумя различными числами а и b из Q₊ заключено бесконечно много чисел этого же множества. Это свойство множества положительных рациональных чисел называют:

a. дискретности

b. непрерывности

c. плотности

d. дистрибутивности

e. другой ответ

13. Какое действие, которое не всегда выполняется во множестве N в множестве Q₊ выполняется всегда:

a. вычитание

b. сложение

c. умножение

d. извлечение корня

e. деление

14. Числа, которые дополняют множество натуральных чисел до множества положительных рациональных, называются:

a. целыми

b. иррациональными

c. действительными

d. отрицательными

e. дробными

15. Если m и n–натуральные числа, то как называется дробь вида :

a. десятичной

b. обыкновенной

c. смешанной

d. правильной

e. неправильной

16. Среди десятичных дробей выделяют и часто используют дробь 0,01, ее называют:

a. степенью

b. процентом

c. приростом

d. периодической

e. другой ответ

17. Любое положительное рациональное число представимо:

a. бесконечной непериодической десятичной дробью

b. бесконечной периодической десятичной дробью

c. конечной десятичной дробью

d. бесконечной чисто периодической десятичной дробью

e. бесконечной смешанно периодической десятичной дробью

18. Считают, что бесконечные непериодические десятичные дроби являются записью чисел:

a. положительных рациональных

b. положительных действительных

c. положительных иррациональных

d. натуральных

e. другой ответ

19. Любое положительное действительное число может быть представлено:

a. бесконечной периодической десятичной дробью

b. бесконечной непериодической десятичной дробью

c. чисто периодической десятичной дробью

d. бесконечной десятичной дробью

e. смешанно периодической десятичной дробью

20. Какой десятичной дробью будет записана обыкновенная дробь :

a. бесконечной чисто периодической

b. бесконечной смешанно периодической

c. конечной

d. бесконечной непериодической

e. другой ответ

21. Какой десятичной дробью будет записана обыкновенная дробь

a. бесконечной чисто периодической

b. конечной

c. бесконечной смешанно периодической

d. бесконечной непериодической

e. другой ответ

Ответы к тестам

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
A	+				+			+
B		+							+
C			+				+			+
D						+
E				+

№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	2 1
A	+				+						+
B						+	+
C		+						+		+
D									+
E			+	+

Варианты контрольной работы

Вариант 1

1. Докажите или опровергните утверждение: неправильная дробь уменьшится, если к ее числителю и знаменателю прибавить одно и то же натуральное число.

2. Сформулируйте определение произведения положительных рациональных чисел и докажите, что умножение таких чисел коммутативно.

3. Среди нижеприведенных высказываний укажите истинные:

а) > ; б) >

4. а) Представить в виде десятичной дроби числа: ; ;

б) Записать дробь 2,02(25) в виде обыкновенной дроби

5. Найдите 150% числа, которое является значением выражения

6. Решите задачи:

а) Город состоит из 4 районов. В первом районе живет 4/13 всех жителей города, во втором 5/6 числа жителей первого района, в третьем 4/11 числа жителей первых двух районов вместе взятых, а в 4 районе живет 18000 человек. Сколько хлеба требуется всему населению города на 3 дня, если в среднем 1 человек потребляет 500г хлеба в день?

б) На сколько процентов изменится площадь прямоугольника со сторонами 9см и 7см, если большую сторону уменьшить на 10%, а меньшую - увеличить на 10%?

7. Решите уравнение: 1) на основе зависимости между компонентами и результатами действий; 2) используя свойства равносильных уравнений:

Вариант 2

1. Докажите или опровергните утверждение: правильная дробь увеличится, если к ее числителю и знаменателю прибавить одно и то же натуральное число.

2. Сформулируйте определение произведения положительных рациональных чисел и докажите, что умножение таких чисел ассоциативно.

3. Сократите дроби и определите, какая из них меньше:

4. а) Представить в виде десятичной дроби числа: ; ; .

б) Записать дробь 2, 1 (2) в виде обыкновенной дроби

5. Найдите 37,5% числа, которое является значением выражения

6. Решите задачи:

а) Завод имеет 3 цеха. Число рабочих 1 цеха составляет 9/20 всех рабочих завода, во втором цехе рабочих в 1,5 раза меньше, чем в первом, а в третьем цехе на 300 рабочих меньше, чем во втором. Сколько всего рабочих на заводе?

б) Куплено 40 учебников и 35 задачников по математике на сумму 17 рублей. Задачник стоил на 20% дешевле учебника. Сколько стоит задачник и сколько учебник?

Вариант 3

1. Как изменится неправильная дробь, если ее числитель и знаменатель уменьшить на одно и то же натуральное число, меньшее знаменателя? Высказанное предложение докажите.

2. Докажите, что умножение положительных рациональных чисел дистрибутивно относительно сложения.

3. Расположите в порядке убывания дроби :

; ;

4. а) Представить в виде десятичной дроби числа: ; ; .

б) Записать дробь 0,0 (45) в виде обыкновенной дроби

5. Найдите число, если известно, что12,5% его равны значению выражения

6 . Решите задачи:

а) В городе три средние школы. Число учащихся первой школы составляет 3/10 всех учащихся этих трех школ; во второй школе учащихся в 1,5 раза больше, чем в первой, а в третьей школе на 420 учащихся меньше, чем во второй. Сколько всего учащихся в трех школах?

б) За первый день комбайнер убрал 8% поля площадью в 250га. В каждый из следующих 4 дней он убирал на 5 га больше, чем в первый день. Сколько процентов площади поля осталось убрать после пяти дней работы?

Вариант 4

1. Докажите, что при любом натуральном n числитель и знаменатель дроби делится на 5.

2. Докажите, что если , и - положительные рациональные числа и > , то .

3. Сократите дроби и определите, какая из них больше: ; .

4. а) Представить в виде десятичной дроби числа: ; ; .

б) Записать дробь 2,1 (23) в виде обыкновенной дроби

5. Выразите в процентах частное чисел а и в, если:

;

6. Решите задачи:

а) Два комбайнера работали на одном участке. После того, как один комбайнер убрал 9/16 всего участка, а второй - 3/8 того же участка, оказалось, что первый комбайнер убрал на 97,5га больше, чем второй. В среднем с каждого гектара намолачивают 32,5ц зерна. Сколько ц зерна намолотили комбайнеры?

б) Для получения права участия в сельхозвыставке колхоз должен был собрать в среднем с 1га по 20ц проса и 18ц гороха. После уборки оказалось, что средний урожай проса с 1га на 8% выше указанной нормы, а средний урожай гороха с 1га на 1,5ц меньше, чем средний урожай проса. На сколько процентов средний урожай гороха превысил норму?

Вариант 5

1. Докажите или опровергните утверждение: при любом натуральном m числитель и знаменатель дроби делятся на 6.

2. Докажите, что если , и - положительные рациональные числа, то из равенства следует равенство .

3. Расположите в порядке возрастания дроби

; ;

4. а) Представить в виде десятичной дроби числа: ; ; .

б) Записать дробь в виде обыкновенной дроби

5. Найдите число, если 86% его равны значению выражения

6. Решите задачи:

а) Два брата купили фотоаппарат. У одного было 5/8, а у другого 4/7 стоимости фотоаппарата, причем у первого на 2 р 25к больше, чем у второго. Каждый уплатил половину стоимости аппарата. Сколько денег уплатил каждый брат?

б) У мальчика было 3р 60к. 20% имевшихся денег он истратил на покупку книг и за 1р 28к купил альбом. Сколько процентов денег истратил мальчик на все покупки?

Вариант 6

1. Докажите или опровергните утверждение: при любом натуральном m числитель и знаменатель дроби делятся на 3.

2. Докажите, что если , и - положительные рациональные числа, то из равенства следует равенство .

3. Определить, верно ли неравенство и сократимы ли данные дроби

4. а) Представить в виде десятичной дроби числа: ; ; .

б) Записать дробь 0,12 (3) в виде обыкновенной дроби

5. Найдите 17% числа, которое является значением выражения

6. Решите задачи:

а) В течение 3 дней бригада рабочих выполнила 3/4 всей работы по ремонту шоссе. В первый день было отремонтировано 2 2/5км этого шоссе, во второй - в 1,5 раза больше, чем в первый, а в третий день 5/8 того, что было отремонтировано в первые два дня вместе. Какова длина шоссе?

б) Два тома стоили 4р 30к, причем первый том стоил на 15% дороже второго как до снижения цен так и после снижения. Найти цену первого тома после снижения цен, если второй том стал дешевле на 40к.

Вариант 7

1. Докажите, что если правильная дробь несократима, то дробь, дополняющая данную до единицы, тоже несократима.

2. Докажите, что если , и - положительные рациональные числа, то из равенства следует равенство .

3. Истинно ли высказывание?

4. а) Представить в виде десятичной дроби числа: ; ; .

б) Записать дробь в виде обыкновенной дроби

5. Выразите в процентах частное чисел и , если:

;

6. Решите задачи:

а) Магазин продал 640кг конфет. В первый день было продано 5/8 этих конфет по 1р 50к за 1кг, во второй день продали 9/20 от количества конфет, проданных в первый день, по 1р 85к за 1кг. Остальные конфеты были проданы в третий день по 3р 75к за 1кг. Какую сумму выручил магазин за проданные конфеты?

б) Турист прошел в первый день 3/8 всего маршрута, во второй день – 40% остатка, после чего ему осталось пройти на 6,5 км больше, чем он прошел во второй день? Какова длина маршрута?

Вариант 8

1. Докажите, что если дробь сократима, то дробь тоже сократима.

2. Докажите, что для любых положительных рациональных чисел и .

3. Расположите в порядке возрастания дроби ; ; ; ; .

4. а) Представить в виде десятичной дроби числа: ; ; .

б) Записать дробь в виде обыкновенной дроби

5. Найдите число, если известно, что 23,7% его равны значению выражения

6. Решите задачи:

а) В колхоз входят жители трех соседних сел. Число семей первого села составляет 3/10 всех семей колхоза; во втором селе число семей в 1 1/2 раза больше, чем в первом, а в третьем селе семей на 420 меньше, чем во втором. Сколько всего семей в колхозе?

б) Куплено 36 учебников географии и 50 учебников истории на сумму 20,2р. Учебник истории стоил на 30% дороже учебника географии. Сколько стоил каждый учебник?

Вариант 9

1. Докажите, что если дробь несократима, то дробь тоже несократима.

2. Сформулируйте определение отношения «больше» для положительных рациональных чисел и докажите, что оно транзитивно.

3. Расположите в порядке убывания дроби ; ; ;

4. а) Представить в виде десятичной дроби числа: ; ; .

б) Записать дробь в виде обыкновенной дроби

5. Выразите в процентах частное чисел и , если:

;

6. Решите задачи:

а) Из завезенного угля для отопления дома в первый месяц была израсходована 1/6 его часть, а во второй месяц 3/8 остатка. Сколько угля осталось для отопления дома, если во второй месяц было израсходовано на 1 3/4т больше, чем в первый месяц?

б) Два мальчика собрали вместе 420 марок, причем у первого оказалось на 10% марок больше, чем у второго. На сколько процентов больше марок стало у второго мальчика по сравнению с первым, когда ему подарили еще 50 марок?

Вариант 10

1. Докажите, что если дробь несократима, то дробь тоже несократима.

2. Сформулируйте определение отношения «больше» для положительных рациональных чисел и докажите, что оно антисимметрично.

3. Сократить дроби и определить, равны ли они и

4. а) Представить в виде десятичной дроби числа: ; ; .

б) Записать дробь в виде обыкновенной дроби.

5. Найдите число, если известно, что 14,6% его равны значению выражения

6. Решите задачи:

а) Исполком отвел землю рабочим трех заводов под садовые участки. Первому заводу отведено 9/25 всего количества участков, второму заводу 5/9 числа участков, отведенных для первого, а третьему - остальные участки. Сколько всего участков было отведено рабочим трех заводов, если первому заводу отведено на 50 участков меньше, чем третьему?

б) На соревнованиях авиамоделистов первая модель пролетела на 10%, или на 480м, меньше второй. Скорость первой модели была на 20%, или на 1м/с, больше скорости второй модели. Сколько времени находилась в воздухе каждая модель?

Компьютерная верстка Александровой Ю. О.

Подписано в печать 15.08.2014 г.

Гарнитура «Times New Roman». Усл. печ. л. 2,4

Тираж 100 экз. Заказ 53

Типография ГБУ РЦРО

460000, г. Оренбург, ул. Краснознаменная, д. 5

Дата добавления: 2021-04-15; просмотров: 195; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 12

Мы поможем в написании ваших работ!