Схема полного исследования функции.
1) Область определения функции.
2) Чётность, нечётность.
3) Периодичность.
4) Точки пересечения с осями.
5) Точки разрыва, вертикальные асимптоты.
6) Интервалы монотонности, точки экстремума.
7) Точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости.
8) Наклонные, горизонтальные асимптоты.
Пример: Исследуйте функцию 
и постройте её график.
Решение.
1) 
2) 
- функция нечётная, график симметричен относительно начала координат;
3) функция непериодическая;
4) точка пересечения с осями Ox и Oy - 
;
5) найдём односторонние пределы для точек разрыва:
; 
;
; 
.
- точка разрыва второго рода;
- точка разрыва второго рода.
Прямые , - вертикальные асимптоты.
6) найдём первую производную функции :
;
из уравнения 
получаем критические точки 
, 
, 
.
Определяем знаки первой производной.
В результате получаем две точки экстремума и . Находим значения функции в этих точках: 
, 
.
7) найдём вторую производную функции :
;
при 
получаем точку .
Определяем знаки второй производной.
Точка является точкой перегиба. На интервалах 
и 
график функции вогнутый, а на интервалах 
и 
– выпуклый.
8) найдём коэффициенты k и b:
; 
.
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид 
.
Дата добавления: 2021-04-15; просмотров: 54; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!