Как по одной тригонометрической функции найти все остальные

Радианы

Углы измеряются не в градусах, а в радианах, Радиан – это такой угол, что дуга единичной окружности равна радиусу (то есть 1). Это примерно 57 градусов. Половина окружности (180°)– это π радиан. (π≈3.14159)

Пример 1: перевести в радианы 30°

180° - π радиан 30° - х радиан,

Пример 2: перевести в градусы π/9 радиан

Как найти на единичной окружности угол в радианах

Пример: найти точку, соответствуюшую углу

Если число большое, то: 1) Делим нацело 2) Убираем полные обороты (четное количество «пи») 3) Если осталось «пи», приводим к общему знаменателю

4) Подписываем точка на координатных осях, и приводим их к этому же знаменателю 5) И наконец находим нужную точку Внимание! Если есть «минус», откладываем углы в другую сторону!

Наша точка!

Синусы и косинусы, тангенсы и котангенсы

Синус угла - это ОРДИНАТА (кордината по У) соответств. точки единичной окружности.

Косинус угла - это АБСЦИССА (коорд по Х) соответств. точки единичной окружности.

Тангенс – это синус, деленный на косинус:

Котангенс – это косинус, деленный на синус: ;

Если точка попадает на горизонтальную ось, то синус равен нулю, а котангенс не существует. Если на вертикальную ось, то косинус равен нулю, а тангенс не существует.

И еще надо знать ОСНОВНОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО:

Значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для «хороших» углов

Угол в град

Запоминать надо только значения синусов. Значения косинусов пишутся «наоборот» - справа налево. Значения тангенса можно получить, если синус разделить на косинус; котангенса – если косинус разделить на синус.

Если значения синусов не запомнить, можно поступить так: во всех клетках таблицы нарисовать дроби со знаменателем 2, а в числителе – корни из чисел 0,1,2,3,4:

	0
sin

Дальще надо сосчитать те корни, которые можно, и получится строчка для синусов

Угол в радианах

Синус

Косинус

Тангенс

Не сущес-твует

Котангенс

Не сущес-твует

4. Знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса

Знаки опеделяем так: из заданной точки рисуем вертикальную и горизонтальную стрелки наружу. Если направление стрелки совпадает с направлением оси координат, то соответствующая тригонометрическая функция (синус или косинус) имеет знак «плюс», иначе знак «минус». Знаки тангенса и котангенса (всегда одинаковые) определяются с учетом того, что надо синус делить на косинус.

Пример: Для точки, показанной на рисунке, синус положительный (стрелка вверх, совпадает с направлением оси игреков), косинус отрицательный (стрелка влево, противоположна направлению оси иксов), тангенс и котангенс отрицательные («плюс» делить на «минус»)

Как по одной тригонометрической функции найти все остальные

Как найти одн тригонометрическую функцию по другой (тангенс по синусу или косинусу и т.д.)

Найти

, если

1) Представляем заданную величину в виде простой дроби. 2) Рисуем прямоугольный треугольник, отмечаем дужкой любой острый угол и подписываем стороны, равные числителю и знаменателю дроби (по определению)

косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, значит, 10 – гипотенуза, 8 – прилежащий катет

3) По теореме Пифагора находим третью сторону

, значит, х=6

4) По треугольнику находим нужную тригонометрическую функцию

Тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему, значит,

5) На единичной окружности обводим дугу, которой принадлежит угол. Определяем на нем знак найденной тригонометрической функции 6) Пишем ответ

Здесь синус отрицательный, косинус положительный, значит, тангенс отрицательный Ответ:

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса из прямоугольного треугольника

Синус – отношение противолежащего катета к гипотенузе

Косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе

Тангенс – отношение противолежащего катета к прилежащему:

. Котангенс – отношение прилежащего катета к противолежащему:

Формулы приведения

Как выразить тригонометрические функции любого угла через тригонометрические функции острого угла

Пример: Упростить

1) Находим на единичной окружности «опорную точку» - которая в формуле задана числом; эта точка должна попасть на одну из координатных осей 2) Откладываем от нее в нужном направлении острый угол α 3) Определяем знак заданной тригонометрической функции, записываем его 4) Если опорная точка попадала на вертикальную ось (то есть угол α откладывался от вертикальной оси), то вместо косинуса пишем синус, вместо тангенса котангенс, и наоборот (меняем тригонометрическую функцию). А если опорная точка попадала на горизонтальную ось, пишем ту же тригонометрическую функцию, что была в задании (не меняем) (это «правило лошади» J ) 5) А в качестве аргуметра функции пишем просто угол α

С помощью формул приведения можно найти синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы для тупых углов, например:

Примечание: если в задании есть два «нехороших» угла, можно с помощью формул приведения попытаться выразить один через другой, например:

Полезно запомнить следующие частные случаи формул приведения:

(у косинуса знак убирается, у остальных тригонометрических функций выносится вперед)

2) Полные обороты убираются! То есть, например,

(полный оборот – это четное число, умноженное на π)

3) , а также ; ; ,

(если два угла в сумме составляют 90° (или π/2), то их тригонометрические функции меняются местами, например

)

Как боротья с большими углами в градусах	Пример: Вычислить
1) Убираем минус, если есть	У синуса минус выносится вперед: =-
2) Убираем полные обороты (четное количество пи) (можно вычитать 360 или 3600 и т.д., пока не получим число меньше 360)	- =
3) Представляем получившийся угол как сумму «опорной точки» и острого угла и считаем по формулам приведения	=

Как боротья с очень большими углами в радианах	Пример: Вычислить
1) Убираем «минус», если есть	У косинуса минус пропадает: =
2) Убираем полные обороты – как это делается, см. §2 – «Радианы»	= =
3) Представляем получившийся угол как сумму «опорной точки» и острого угла и считаем по формулам приведения
Примечание: если сделать п.3 никак не получается, то можно представить угол, получившийся в п.2, в градусах: