Динамические уравнения аппарата, содержащего движущиеся массы
Тема № 4
Динамические уравнения
1. Вывод динамических уравнений
2. Динамические уравнения аппарата, не содержащего движущихся масс
3. Динамические уравнения аппарата, содержащего движущиеся массы
Вывод динамических уравнений
Динамические уравнения углового движения космического аппарата выводятся на основании теоремы об изменении кинетического момента [?]
| (1) |
согласно которой полная производная по времени от кинетического момента 
космического аппарата относительно некоторой точки (как правило, центра масс аппарата) равна главному моменту 
системы внешних сил, действующих на аппарат (внешнему моменту), относительно той же точки. Внешний момент представляет собой сумму внешнего возмущающего момента 
и внешнего управляющего момента 
(обычно реактивной природы): 
.
Как известно из курса теоретической механики [?], кинетический момент тела зависит от его моментов инерции. Если рассматривать выражение (1) в проекциях на оси опорной системы координат 
, возникнет необходимость определять переменные моменты инерции с учетом параметров углового движения космического аппарата, которые сами подлежат определению по заданным внешним воздействиям. Чтобы избежать этого, следует проецировать векторы, входящие в (1) на оси связанной системы координат 
, выразив по формуле Бура полную производную от кинетического момента через его локальную производную:
|
|
|
 .
| (2) |
Применение данной формулы оказывается различным в зависимости от того, имеются ли на борту космического аппарата подвижные элементы, поскольку при этом по-разному рассчитывается вектор .
Динамические уравнения аппарата, не содержащего движущихся масс
Если космический аппарат не содержит каких-либо движущихся масс, то его можно рассматривать как абсолютно твердое тело. Кинетический момент такого тела в выбранной системе координат рассчитывается по формуле [?]
| (3) |
где 
– матрица тензора инерции космического аппарата, определяемая осевыми 
, 
, 
и центробежными 
, 
, 
моментами инерции (запись приведена для базиса ):
.
Моменты инерции твердого тела вычисляются как суммы элементарных моментов инерции его частей с бесконечно малыми массами 
[?]:
Очевидно, при этом 
, 
, 
, 
, 
, 
. Тензор инерции космического аппарата, не содержащего движущихся масс, в связанной системе координат не меняется в процессе движения, если пренебречь возможным перераспределением масс (например, при выгорании топлива).
Подставив (3) в (2), можно записать динамические уравнения космического аппарата, не содержащего движущихся масс, в связанной системе координат:
|
|
|
| (4) |
Эти уравнения называются обобщенными динамическими уравнениями Эйлера.
Если оси связанной системы координат совпадают с главными центральными осями инерции космического аппарата, то есть 
, то уравнения (4) преобразуются в динамические уравнения Эйлера
| (5) |
где 
, 
, 
и 
, 
, 
– соответствующие проекции векторов 
и на оси связанной системы координат.
Динамические уравнения аппарата, содержащего движущиеся массы
Очень часто космический аппарат содержит в своем составе подвижные элементы: перемещаемые устройства (поворотные антенны и научные приборы), перекачиваемые жидкости и газы, передвигающихся по кораблю космонавтов. Особо важным случаем движущихся в космическом аппарате масс являются гиросиловые стабилизаторы (маховики, гиродины и трехстепенные гироскопы). Кинетический момент космического аппарата, содержащего движущиеся массы, вычисляется по формуле [?]
| (6) |
где 
– кинетический момент подвижных элементов в их движении относительно корпуса аппарата. При этом обобщенный тензор инерции в общем случае даже в связанной системе координат является переменным, так как рассчитывается в каждый момент времени для аппарата с «замороженными» подвижными элементами относительно единого центра масс, положение которого, в свою очередь, определяется движением перемещающихся масс.
|
|
|
Подставив (6) в (2), можно вывести динамические уравнения космического аппарата, содержащего движущиеся массы, в связанной системе координат, аналогичные обобщенным динамическим уравнениям Эйлера:
| (7) |
Если кинетический момент связан с работой гиросиловых стабилизаторов в соответствии с логикой систем управления, величину 
называют управляющим моментом гиросилового стабилизатора, а если вектор возник как побочный результат включения других бортовых устройств, связанных с вращением больших масс, момент 
рассматривают как возмущающий.
Учет переменности моментов инерции, входящих в тензор , необходимо проводить в тех случаях, когда рассматриваются повороты или перемещения больших антенн или целых отсеков с научной аппаратурой, то есть устройств, собственные моменты инерции которых сравнимы с моментами инерции космического аппарата. В остальных случаях космический аппарат можно считать гиростатом. Гиростатом называется космический аппарат, содержащий подвижные элементы, центры масс которых не меняют своего положения относительно корпуса аппарата, а собственные моменты инерции неизменны в связанных осях. Типичным примером гиростата является группа маховиков в совокупности с корпусом космического аппарата, не несущего других подвижных масс. Гиростатами можно считать и те космические аппараты, на борту которых находятся вентиляторы, замкнутые контуры систем терморегулирования, небольшие поворотные антенны, подвижные датчики ориентации, различного рода платформы систем управления (в частности, гироплатформы) и тому подобные устройства. Подвижность космонавтов, сидящих на рабочих местах, также можно не учитывать. Для гиростатов уравнения (7) упрощаются, тем более что в силу неподвижности общего центра масс относительно корпуса аппарата за координатные оси можно принять главные центральные оси инерции:
|
|
|
| (8) |
где 
, 
, 
– соответствующие проекции вектора на оси связанной системы координат. Уравнения (8) отличаются от динамических уравнений Эйлера (5) наличием в правой части компонент момента , который, как уже упоминалось, может быть управляющим либо возмущающим.
Дата добавления: 2021-04-15; просмотров: 90; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!