Длина окружности. Площадь круга и его частей.
Сектор– часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами
Сегмент– часть круга, ограниченная дугой и хордой.
Длина окружности:
Длина дуги окружности:
Площадь круга:
Площадь сектора:
Площадь кольца:
Площадь кругового сегмента:
Примеры.
1. Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая. Расстояние от точки А до точки касания равно 16 см, а до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 32 см. Найдите радиус окружности, если секущая удалена от ее центра на 5 см.
2. В большем из двух концентрических кругов проведена хорда, равная 32 см и касающаяся меньшего круга. Определите длину радиуса каждого из кругов, если ширина образовавшегося кольца равна 8 см.
3. Периметр сектора равен 28, а его площадь равна 49. Определите длину дуги сектора.
4. Найдите площадь круга, если площадь вписанного в него квадрата равна Q .
Касающиеся, пересекающиеся, непересекающиеся окружности.
Касающимисяокружностями называются такие две окружности, которые имеют лишь одну общую точку. Точка касания окружностей и их центры лежат на одной прямой.
Линией центровназывается прямая, проходящая через центры двух окружностей.
Окружности радиусов r и R с центрами 
и 
касаются внешним образом тогда и только тогда, когда 
.
Окружности радиусов r и R (r < R) с центрами и касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда 
.
|
|
|
Примеры.
1. Найдите отрезок общей внешней касательной к двум окружностям радиусов r и R, касающихся внешним образом.
2. Три окружности касаются внешним образом. Расстояние между центрами окружностей равны 7 см, 8 см и 9 см. Найдите радиусы окружностей.
3. Три окружности, радиусы которых относятся как 1:2:3. Найдите углы треугольника с вершинами в точках касания этих окружностей.
4. В полукруг радиуса R вписаны две окружности одинакового радиуса, касающиеся друг друга. Найдите их радиус.
Две окружности радиусов r и R (r < R) пересекаются тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами меньше, чем r + R, но больше, чем R − r.
Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде.
Примеры.
1. Две пересекающиеся окружности имеют общую касательную. Расстояние между точками касания равно 4. Расстояние между центрами окружностей равно 5, а радиус меньшей окружности равен 2. Найдите величину радиуса большей окружности.
2. Две окружности радиуса 32 с центрами и , пересекаясь, делят отрезок 
на три равные части. Найдите радиус окружности, которая касается изнутри обеих данных окружностей и касается отрезка .
|
|
|
3. Общая хорда двух окружностей служит для одной из них стороной вписанного вадрата, а для другой – стороной правильного шестиугольника. Найдите расстояние между центрами окружностей, если радиус меньшей из них равен 5.
4. В пересечение двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12 и 6. Найдите радиус окружностей.
Две окружности радиусов r и R (r < R) не пересекаются тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами больше, чем r + R, или меньше, чем R − r.
Примеры.
1. Найдите длины общих касательных к окружностям, радиусы которых равны R и r, а расстояние между их центрами равно 
( 
).
2. Две непересекающиеся окружности вписаны в угол. К этим окружностям проведена общая внутренняя касательная, касающаяся их в точках 
и 
и пересекающая стороны угла в точках 
и 
. Докажите, что 
.
Литература:
1. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи) (типовые задания С4) // Москва, Брянск, 2013., 195 с.
2. Интернет-ресурс http://www.alexlarin.net/
3. Интернет-ресурс https://math-ege.sdamgia.ru/
4. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач. – М., Просвещение, 1989., 385 с.
Дата добавления: 2021-04-05; просмотров: 92; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!