Выпуклость и вогнутость функции

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ

Исследование функции на монотонность

Изучение количественной стороны процессов и явлений природы или техники приводит к установлению и исследованию функциональной зависимости между участвующими в данном явлении или процессе переменными величинами. Если такую функциональную зависимость можно выразить аналитически, в виде формулы, то мы получаем возможность исследовать свойства полученной функции средствами математического анализа.

Функция называется возрастающей на числовом промежутке , если взятому из заданного промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции:

Функция является убывающей на промежутке , если выполняется условие:

Возрастающая (или убывающая) на промежутке функция называется монотонной на этом промежутке, а сами промежутки, на которых данная функция возрастает (или убывает), называются промежутками (интервалами) монотонности этой функции.

Теорема (необходимый признак возрастания (убывания) функции)

1. Если дифференцируемая функция возрастает на некотором интервале , то производная этой функции неотрицательна на этом интервале: при .

2. Если дифференцируемая функция убывает на интервале , то её производная неположительна на этом интервале: при .

Доказательство. Пусть для определенности возрастает на интервале . Выберем произвольно точку и приращение аргумента таким образом, чтобы выполнялось условие: . Тогда

, если ,

откуда следует, что , причём предел такого отношения существует в силу дифференцируемости функции на интервале .

Поэтому (при переходе к пределу в неравенстве знак неравенства «ослабевает»), что и требовалось доказать.

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что в каждой точке графика возрастающей дифференцируемой функции касательная прямая образует с положительным направлением оси (Ox) острый угол или параллельна оси (Ox) (рис. 1). С графиком убывающей дифференцируемой функции касательная образует тупой угол с положительным направлением оси (Ox) или параллельна ей (рис. 2).

Рис. 1 Рис. 2

т еорема (достаточный признак монотонности функции)

1. Если производная функции равна нулю на интервале , то функция постоянна на этом интервале:

[ при ] [ на ].

2. Если производная функции положительна на интервале , то функция возрастает на этом интервале:

[ при ] [ возрастает на ].

3. Если производная функции отрицательна на , то функция убывает на этом интервале:

[ при ] [ убывает на ].

Доказательство. Пусть для определенности на интервале .

Выберем любые два значения аргумента такие, что . Функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на отрезке , так как она непрерывна на этом отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках. Тогда по теореме Лагранжа найдётся такая точка , для которой справедливо равенство . По условию , , поэтому , то есть

, и функция возрастает на промежутке .

Пример. Найти интервалы монотонности функции .

Решение. Функция определена при всех действительных и .

Неравенство , т.е. , выполняется при условии , а неравенство ( ) – при условии . Следовательно, функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке .

Экстремумы функции

Точка называется точкой максимума (или точкой минимума) функции , если функция определена в некоторой окрестности точки и для любых значений выполняется условие: (или ) (рис. 3, 4).

Значение функции в точке максимума (или минимума) называется максимальным (или минимальным) значением функции или просто её максимумом (минимумом). Максимумы и минимумы функции называются её экстремумами.

Рис. 3 Рис. 4

Теорема (необходимое условие экстремума)

Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то производная функции в этой точке равна нулю: .

Обратная теорема неверна, так как не всякая точка, в которой производная функции обращается в нуль, является её точкой экстремума.

Пример 1. Для функции производная

при , но точка точкой экстремума не является (рис. 5).

С другой стороны, если – точка экстремума некоторой функции , то, очевидно, производная функции в этой точке либо равна нулю, либо не существует. С геометрической точки зрения это означает, что касательная к кривой в этой точке параллельна оси (Ox) (рис. 6) или не существует (рис. 7).

Рис. 6 Рис. 7

Пример 2. Для функции точка является точкой минимума, но её производная в точке не существует (рис. 7).

Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками первого рода или точками, «подозрительными на экстремум».

Теорема об исследовании функции на экстремум по первой производной

(первый достаточный признак экстремума)

Пусть:

1) – критическая точка функции ;

2) дифференцируема при любых ;

3) непрерывна в точке .

Тогда: если при переходе через точку производная меняет знак с плюса (+) на минус (–), то – точка максимума функции , в случае же замены знака производной с минуса (–) на плюс (+) получается точка минимума.

Доказательство. По определению непрерывной функции имеем:

Пусть при переходе через точку производная меняет знак с (+) на (–). Так как на промежутке , то функция возрастает на до значения , таким образом, на . Аналогично: на убывает на промежутке от значения , то есть и на . Получили, что неравенство выполняется для всех значений аргумента , а это означает, что – точка максимума функции .

Пример 3. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции

Решение. Функция определена при всех действительных значениях аргумента: ; . Критическими точками первого рода для данной функции являются (так как ) и (так как не существует).

Рис. 8

Так как в промежутках (-¥; 1) и (2; +¥), то возрастает на этих промежутках; на интервале (1; 2) функция убывает, поскольку там .

Согласно первому признаку экстремума:

– точка максимума, – максимум функции;

– точка минимума, – минимум функции.

Теорема об исследовании функции на экстремум по второй производной

(второй достаточный признак экстремума)

Пусть:

1) , т.е. – стационарная точка функции ;

2) непрерывна в точке ;

3) .

Тогда точка будет точкой максимума в случае, если , и минимума, если .

Доказательство. Рассмотрим случай, когда . Так как вторая производная непрерывна в этой точке, то она, очевидно, сохраняет знак в некоторой её окрестности : для всех . По достаточному признаку монотонности функции можно сделать вывод, что первая производная убывает на всём промежутке . Если , то левее точки , при , (+), а правее, при , (–). Согласно первому признаку экстремума точка будет точкой максимума функции .

Пусть функция непрерывна на отрезке , следовательно, по теореме Вейерштрасса она достигает на наибольшего и наименьшего значений, причем наибольшего и наименьшего значений достигает либо в критических точках, расположенных внутри отрезка или на его границах , . Сформулируем правило нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной на отрезке функции :

1) найти критические точки функции , содержащиеся внутри отрезка , и вычислить значения функции в этих точках;

2) найти , – значения функции на границах отрезка;

3) выбрать среди полученных значений наименьшее и наибольшее.

Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение.

1) Функция определена и непрерывна во всех точках отрезка , производная обращается в нуль в точке , принадлежащей отрезку , и не существует в точках , расположенных вне данного отрезка.

2) Найдем значения функции в критической точке и граничных точках отрезка : , , .

3) Функция принимает наименьшее значение на концах отрезка:

а наибольшее значение – в точке : .

Выпуклость и вогнутость функции

Непрерывная на интервале функция называется вогнутой (или выпуклой вниз), если соответствующая дуга её графика расположена выше любой из касательных, проведенных к нему в точках при всех (рис. 9). Непрерывная на интервале функция называется выпуклой (или выпуклой вверх), если соответствующая дуга её графика расположена ниже любой из касательных, проведенных к нему в точках при всех (рис. 10).

Рис. 9 Рис. 10

Рис. 11 Рис. 12

Аналитически определение вогнутой функции можно охарактеризовать следующим условием: при любых

, лежащих в интервале

, справедливо неравенство

(рис.11); для выпуклой функции подобное условие имеет вид:

Рассмотрим необходимые и достаточные условия выпуклости и вогнутости функции на интервале.

Теорема о необходимом условии вогнутости или выпуклости функции

Если существует вторая производная вогнутой (или выпуклой) на промежутке функции , то она на этом промежутке будет неотрицательной (или неположительной):

(или ) для всех .

Теорема о достаточных условиях выпуклости или вогнутости функции на интервале)

1. Если при любом , то функция является вогнутой на интервале .

2. Если же при любом , то функция выпукла на интервале .

Доказательство. Пусть на интервале . Выберем два произвольных значения аргумента и из интервала , таких, что , и образуем отрезок . Из факта существования второй производной функции на следует, что первая производная и сама функция будут дифференцируемыми и непрерывными на этом интервале, а, следовательно, и на отрезке .

Рассмотрим разность и преобразуем её, используя формулу Лагранжа, применяемую сначала к самой функции , а затем к её производной :

где и – точки, существование которых на соответствующих промежутках и регламентируется теоремой Лагранжа, а точка по той же причине существует на интервале . Оценим величину указанной выше разности, учитывая, что , , :

откуда получаем, что для любых .

Это означает, что функция является выпуклой на интервале .

Точка называется точкой перегиба графика функции , если эта точка отделяет выпуклую часть графика от вогнутой. Если вторая производная функции в точке равна нулю или не существует, то такая точка называется критической точкой второго рода функции или точкой, «подозрительной на перегиб».

Теорема (первое достаточное условие наличия точек перегиба)

Пусть:

1) – критическая точка (второго рода) функции ;

2) существует при любых ;

3) непрерывна в точке ;

4) при переходе аргумента через точку вторая производная изменяет свой знак.

Тогда является абсциссой точки перегиба функции .

Доказательство теоремы аналогично доказательству первого достаточного признака экстремума функции. 1

Теорема (второе достаточное условие наличия точки перегиба)

Если = 0, а третья производная непрерывна и отлична от нуля в точке , то точка с координатами является точкой перегиба графика функции .

Пример. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции

Решение. Функция определена для всех действительных значений аргумента: . Найдём производные данной функции:

, .

Вторая производная не обращается в нуль ни при каком значении , но не существует для .

Рис. 13

Так как при , то промежуток является интервалом выпуклости функции . Промежуток будет интервалом вогнутости функции, потому что при . Точка перегиба графика имеет координаты .

3.4. Асимптоты графика функции

Прямая называется асимптотой графика функции , если расстояние от переменной точки графика до этой прямой при неограниченном удалении точки М от начала координат стремится к нулю (рис. 14):

при условии, что .

Асимптоты бывают вертикальные и невертикальные (или наклонные). Существование невертикальной асимптоты для функции означает, что при ( ) ( стремится к ¥ в одном или в двух направлениях) функция ведет себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейной функции на бесконечно малую

Рис. 15 (рис. 15): .

Пример 1. Дана функция

2x² + 3x + 4

x + 1

2x² + 2x

2x + 1

x + 4

x + 1

Рис. 15

Так как , то прямая является асимптотой графика функции .

Теорема об условиях существования невертикальных асимптот

Для того чтобы прямая являлась невертикальной асимптотой графика функции при или (и) при , необходимо и достаточно, чтобы существовали нижеуказанные пределы и выполнялись условия:

или (и)

Если существует асимптота при , то её называют правосторонней, в случае, когда , левосторонней, а в случае асимптота будет двусторонней.

Доказательство.

1) Необходимость существования асимптоты.

Пусть для определенности – асимптота графика функции при , то есть , причём . Тогда

, ,

что и требовалось доказать.

2) Достаточность существования асимптоты практически очевидна: если существуют конечные пределы и , то существует и , откуда следует, что , где есть бесконечно малая функция при , а это означает, что прямая является невертикальной асимптотой графика функции .

Если хотя бы один из пределов, предназначенных для нахождения коэффициентов k и b , бесконечен, то невертикальная асимптота графика функции не существует. В случае, когда k = 0, получаем горизонтальную асимптоту как частный случай невертикальной асимптоты.

Теорема об условиях существования вертикальных асимптот

Для того чтобы прямая являлась вертикальной асимптотой графика функции , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из условий:

или ,

или .

В первых двух случаях асимптота будет односторонней, в третьем случае асимптота двусторонняя. Вертикальные асимптоты графика следует искать в точках разрыва второго рода (с бесконечным пределом) или в граничных точках области определения функции.

Пример 2. Найти асимптоты функции .

Решение. Логарифмическая функция определена для всех положительных значений аргумента: .

1) Найдем правосторонний предел функции в граничной точке области определения : (по-другому: ), откуда следует, что прямая является правосторонней вертикальной асимптотой графика данной функции.

2) Невертикальных асимптот у этой функции нет, так как , .

Пример 3. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Областью определения функции является множество .

1) Так как , то прямая является (двусторонней) вертикальной асимптотой графика данной функции.

2) Поскольку ,

то , , и двусторонняя невертикальная асимптота задается уравнением .

План общего исследования функции

Ранее мы рассмотрели, каким образом можно исследовать свойства функции, используя её производную и разнообразные предельные переходы. Как итог, укажем основные шаги плана полного исследования функции, предназначенного для построения её графика.

План полного исследования функции

1) Найти область определения функции.

2) Исследовать функцию на четность – нечетность и периодичность.

3) Исследовать функцию на непрерывность: указать интервалы непрерывности, точки разрыва, род разрыва.

4) Найти вертикальные и невертикальные асимптоты графика функции.

5) Найти интервалы монотонности и экстремумы функции (с помощью первой производной).

6) Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции, указать точки перегиба графика функции (с помощью второй производной).

7) Найти точки пересечения графика функции с осями координат, а при необходимости и какие-либо другие точки. Можно (не обязательно!) указать интервалы знакопостоянства функции.

8) По результатам исследования построить график функции.

Пример 1. Провести полное исследование функции и построить её график.

Решение.

1) Областью определения функции является множество .

2) Функция не является ни чётной, ни нечётной (общего вида), это непериодическая функция.

3) Числовые промежутки и будут интервалами непрерывности данной функции (по теореме о непрерывности элементарной функции).

Найдем односторонние пределы функции в точке :

; ;

поэтому точка является точкой разрыва второго рода.

4) Так как точка – точка разрыва второго рода, то прямая , заданная уравнением , будет вертикальной асимптотой графика функции.

Уравнение невертикальной (наклонной) асимптоты ищем в виде , где

Таким образом, существует единственная (двусторонняя) невертикальная асимптота , заданная уравнением .

5) Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Найдём производную

Из условия следует, что . Решая это уравнение, получим две критические точки первого рода: . Производная не существует при , но эта точка не входит в область определения функции.

На числовых промежутках и выполняется условие , следовательно, функция возрастает в этих интервалах; на промежутках и выполняется условие , то есть функция там убывает. В точке функция имеет (локальный) максимум: . В точке имеется (локальный) минимум: .

6) Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость и наличие точек перегиба. Для этого найдём вторую производную

Вторая производная не существует при .

Очевидно, что на промежутке выполняется условие , и на этом промежутке кривая будет выпуклой; на промежутке выполняется условие , то есть на этом интервале кривая будет вогнутой. Точек перегиба графика функции нет.

7) Точками пересечения графика данной функции с осями координат являются точки с координатами и . При , то есть на промежутке функция принимает положительные значения, при , или на промежутке функция отрицательна. Это и есть интервалы знакопостоянства данной функции.

8) По результатам исследования построим график функции (рис 16).

Рис. 16

Пример 2. Провести полное исследование функции и построить её график.

1) Областью определения функции является множество .

2) Данная функция является функцией общего вида, так как, несмотря на симметричность области определения относительно начала координат, , ; это непериодическая функция.

3) Числовые промежутки и – интервалы непрерывности функции; точка будет точкой разрыва второго рода (справа), так как

;

4) Прямая - вертикальная (справа) асимптота графика функции.

Невертикальных асимптот нет, так как ,

5) Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Для этого найдём первую производную функции

;

при , не существует в точке , поэтому имеется одна критическая точка первого рода. Учитывая знак производной на отдельных промежутках (рис. 17), получим, что интервалами убывания функции будут и , а интервалом возрастания – промежуток .

Рис. 17

Точка - точка минимума функции; сам минимум функции равен .

6) Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость и наличие точек перегиба:

;

очевидно, что при всех значениях аргумента из области определения , следовательно, интервалами вогнутости функции будут промежутки и ; точек перегиба нет.

7) С осями координат график функции не пересекается. Функция положительна во всей своей области определения. Для более точной картины можно рассмотреть дополнительные точки графика: , , .

8) Построим график функции (рис. 18) .

Рис. 18

Контрольные вопросы

1. Дайте определение возрастающей или убывающей функции.

2. В чём состоит необходимый признак монотонности функции на интервале? Поясните геометрический смысл этого признака.

3. Сформулируйте теорему о достаточных условиях постоянства, возрастания и убывания функции на интервале и приведите примеры её применения.

4. Дайте определение точки экстремума (максимума и минимума) функции, максимума и минимума функции. В чём состоит отличие максимального или минимального значений функции от её наибольшего и наименьшего значений?

5. Сформулируйте необходимый признак экстремума функции. Приведите примеры, подтверждающие, что он не является достаточным.

6. В каком случае точка называется критической (первого рода), стационарной для функции ?

7. В чем состоит первый достаточный признак экстремума?

8. Укажите правило исследования функции на монотонность и экстремумы.

9. В чем состоит второй достаточный признак экстремума?

10. Как найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на заданном отрезке, содержащемся в области определения функции?

11. Дайте определение выпуклости и вогнутости графика функции на заданном промежутке. Запишите формулы, иллюстрирующие аналитическую зависимость между значениями выпуклой или вогнутой на интервале функции.

12. Сформулируйте теоремы о необходимых и достаточных условиях выпуклости или вогнутости функции и поясните, в чем их различие.

13. В каком случае точку графика функции можно назвать точкой перегиба? Как найти критические точки (второго рода) функции ?

14. Сформулируйте какой-нибудь достаточный признак наличия точки перегиба графика. Наблюдается ли здесь аналогия с соответствующими действиями по отысканию экстремумов фугкции?

15. Дайте определение асимптоты графика функции. Какими бывают асимптоты? По какому признаку они классифицируются?

16. Как получить уравнения вертикальных и невертикальных асимптот графика функции ? В каком случае можно утверждать, что вертикальные или невертикальные асимптоты графика не существуют?

17. Перечислите основные шаги плана полного исследования свойств функции с целью последующего построения её графика. Уточните порядок действий на каждом этапе решения такой задачи.

Задачи к главе 3

3.1. Найти промежутки убывания и возрастания функции:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) ;
9) ;	10) .

3.2. Показать, что функция возрастает в интервале (0; 1) и убывает в интервале (1; 2).

3.3. Показать, что функция везде убывает.

3.4. Найти экстремумы функций:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5)	6) ;
7)	8) ;
9) ;	10) .

3.5. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на указанных числовых промежутках:

1) ; [-2, 2];

2) ; [0, 4];

3) ; [-1, 2];

4) ; [-6, 8];

5) ; ;

6) ; (0, 1];

7) ; [-1, 1];

8) ; ;

9) ; .

3.6. Найти число, которое, будучи сложено со своим квадратом, дает наименьшую сумму.

3.7. Найти положительное число, которое, будучи сложено с обратным ему числом, дает наименьшую сумму.

3.8. Требуется изготовить ящик (без крышки) с прямоугольным основанием и заданным объемом 36, отношение сторон основания которого равнялось бы числу 2. Каковы должны быть размеры ящика, чтобы его поверхность была наименьшей?

3.9. Через какую точку эллипса следует провести касательную, чтобы площадь треугольника, составленного этой касательной и осями координат, была наименьшей?

3.10. Число 36 разложить на два таких множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

3.11. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 72 см³, причем стороны основания относились бы, как 1:2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?

3.12. Расходы на топливо для топки теплохода пропорциональны кубу его скорости. Известно, что при скорости в 10 км/ч расходы на топливо составляют 30 руб. в час, остальные же расходы (не зависящие от скорости) составляют 480 руб. в час. При какой скорости теплохода общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей? Какова будет при этом сумма расходов в час?

3.13. Найти точки перегиба и интервалы вогнутости (выпуклости) функций: