Статически неопределимые системы

Глава 2. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

 

Статически определимые системы

     При растяжении или сжатии в поперечном сечении стержня возникает продольная сила N, которая определяется методом сечений. Величина продольной силы равна алгебраической сумме всех внешних сил, действующих на стержень по одну сторону от рассматриваемого сечения. Внешняя сила считается положительной, если она направлена от рассматриваемого сечения, и отрицательной, когда направлена к этому сечению. Это правило относится к продольной силе. Условимся, что вектор N направлен от рассматриваемого сечения. Тогда получаемый в результате подсчета знак укажет на характер деформации: плюс – растяжение, минус – сжатие. Продольная сила связана с нормальными напряжениями σ, которые распределяются по сечению равномерно.    

     Условие прочности имеет вид

,

где       N  – продольная сила, Н;

       A –   площадь поперечного сечения, м²;

       [σ] – допускаемое напряжение материала при растяжении                  или сжатии, Па.

     Абсолютная продольная деформация определяется по формуле

 ,

где   l – длина стержня, м; 

    E – модуль продольной упругости материала (модуль Юнга), Па;

    E ∙ A – жесткость стержня при растяжении и сжатии, Н.        

    Отношение  абсолютной   продольной    деформации  стержня  к  его

 

первоначальной      длине       называется      относительной       продольной

деформацией ε  и рассчитывается по формуле

                                              .

     Закон Гука, связывающий напряжения и деформации, имеет вид

                                               σ =  E∙ε.

     Рассмотрим статически определимую систему, где для определения внутренних сил в элементах достаточно уравнений статики.       

Пример 1

     Определить площадь поперечных сечений на всех участках чугунного стержня (рис. 3, а). Построить эпюры продольных сил N, напряжений σ и перемещений δ. Принять для чугуна [σ_с] = 180 МПа, [σ_р] = 60 МПа, Е = 10⁵  МПа = 10¹¹ Па.

     Рассматриваемый стержень имеет одну опорную реакцию R, и для него можно составить лишь одно уравнение статики: ΣY = 0. Значит, эта система статически определима:

ΣY = R – F₁+F₂ + F₃ = 0,

откуда R = 1300 кН.

     Стержень подвергается растяжению – сжатию. Выделяем участки нагружения 1 – 4 (между точками приложения внешних сил), в пределах которых намечаются сечения I – IV.

     Для определения N₁  на первом участке рассмотрим равновесие части стержня, расположенной ниже сечения I – I. На нее действует реакция R  (рис. 4). Уравнение статики  ΣY = 0 имеет вид

ΣY = R + N₁ = 0,         

N₁= – R = –1300 кН.

 

 

 

 

   Полученный в результате подсчета знак минус при N₁ указывает,

что N₁ имеет направление,  противоположное   заданному, и что первый участок сжат.                   

                             

                        Рис. 4. Определение внутренних сил  N₁

       На часть стержня, расположенную ниже сечения II — II, действуют реакция R  и сила F₁.  Тогда продольная сила в сечении II — II равна

N₂ + R – F₁= 0,        N₂ = –  R  + F₁ = 300 кН.

      Аналогично определяются N₃, N₄: N₃ = – 400 кН;  N₄ = 0. По вычисленным значениям N строится эпюра продольных сил (см. рис. 3, б).

     Из условия прочности    определяем площади поперечных сечений на участках стержня:

A₁ =  м² = 72,2 см²;

;

.

     Вычисления сделайте самостоятельно.

     Рассчитываемый стержень с найденными площадями поперечных сечений показан на рис.3, в.

     Нормальные напряжения:

; ; .

     Проделанные  расчеты напряжений  являются     проверочными.

На рис. 3, г    показана    эпюра  нормальных   напряжений.    Вычислим

 деформации участков стержня:

                   

    Перемещение любого сечения стержня равно сумме деформаций участков, расположенных между сечением и опорой.

Перемещение δ_А точки А: δ_А = 0. Перемещение точки В обусловлено деформацией участка I:

     Перемещение точки С складывается из деформаций участков I и II:

     Перемещение  точки  D   складывается из деформаций участков I, II

и III:

     Перемещение точки E складывается из деформаций участков I, II, III

и IV:

      По вычисленным значениям δ строится эпюра перемещений (см. рис. 3, д).

Задача 1 . Растяжение и сжатие

(статически определимая система)

      Произвести   расчет  стержня  постоянного   поперечного  сечения (рис. 5) на прочность и жесткость. Материал стержня – сталь с допускаемым напряжением [σ], равным 210 МПа и модулем продольной упругости   Е,  равным   200 ГПа.   Данные к  задаче  приведены  в  табл. 1.

     План решения задачи:

     1) вычислить продольные силы на участках стержня и построить эпюру N;

     2) определить размеры поперечного сечения (сторону квадрата или диаметр);

     3) вычислить нормальные напряжения на участках стержня и пос­троить эпюру σ по длине стержня;

     4) вычислить деформацию участков стержня и построить эпюру перемещений δ.                  

                                                                                                             

                                                                                                           Таблица 1                                          

Данные к задаче 1

Номер строки	Номер схемы	Нагрузка, кН			Длина участков, см			Форма сечения
		F1	F2	F3	l1 , l4	l2	l3
1	I	1100	2100	1100	110	110	110	Круг
2	II	1200	2200	1200	120	120	120	Квадрат
3	III	1300	2300	1300	130	130	130	Круг
4	IV	1400	400	1400	40	140	140	Квадрат
5	V	1500	500	1500	50	150	50	Круг
6	VI	1600	600	1600	160	160	60	Квадрат
7	VII	1700	700	1700	170	70	70	Круг
8	VIII	1800	800	1800	180	80	80	Квадрат
9	IX	1900	900	1900	90	190	90	Круг
0	X	2000	1000	2000	100	200	100	Квадрат
	в	а	б	в	а	б	в	в

 

Статически неопределимые системы

 

     Системы, внутренние силы в элементах которых невозможно определить при помощи лишь одних уравнений статики, называются статически неопределимыми. Такие системы имеют «лишние» связи: внешние (опорные) или внутренние. Будем рассматривать только внешние ста­тически неопределимые системы.

     Степень статической неопределимости определяется разностью между числом неизвестных реакций (связей) и числом независимых уравнений статики. Для раскрытия статической неопределимости к уравнениям статики нужно составить столько дополнительных уравнений, сколько раз статически неопределима система. Эти дополнитель­ные уравнения составляются из условий совместности деформаций.

     Существуют несколько методов раскрытия статической неопределимости. Наиболее простой – метод сравнения перемещений (деформа­ций). Суть этого метода заключается в сравнении перемещений (деформаций) от заданной нагрузки и от реакции опоры в одностержневых системах и сопоставлении деформаций стержней в многостержневых системах. Раскрытие статической неопределимости для одиночных стержней, работающих на растяжение-сжатие, кручение и изгиб, однотипно. Для ведения расчета выбирается основная система, которая получается из заданной путем удаления лишних связей и, следовательно, является статически определимой (основная система, загруженная внешними силами и неизвестной реакцией, соответствующей удаленной связи, называется эквивалентной системой). Затем составляется дополнитель­ное уравнение, которое характеризует перемещение (деформацию) в сечении, где удалена связь.

 

Пример 2

 

    Раскрыть    статическую    неопределимость    ступенчатого   стержня, изготовленного из стали Ст3 (рис. 6, а) и построить эпюру продольных сил. Модуль упру­гости материала стержня Е  равен  200 ГПа (прил. 3).

     Стержень имеет две неизвестные опорные реакции С и В (направляем произвольно). Уравнение статики  можно составить только одно:

ΣY =С + F₂ – F₁ + В = 0.

Таким образом, система один раз статически неопределима. Основную систему получим, удалив связь, принадлежащую, например, опоре В. Эквивалентная система показана на рис. 6, б.

     В сечении В заданной системы перемещение равно нулю. Значит, и в эквивалентной системе должно выполняться это условие δ_В = 0. Это и есть дополнительное уравнение. Для раскрытия его используем принцип независимости действия сил. Перемещение сечения В равно алгебраической сумме деформации всех участков стержня, вычисленных от каждой силы в отдельности.

  Рассматривая эквивалентную систему, заметим, что реакция В сжимает все участки стержня, сила F₁ растягивает участки II, III и IV_, а сила F₂   сжимает участок IV.

_B

 

откуда В = 61·10³ Н = 61кН (направление совпадает с выбранным).

 

 

 

          

      Опорную реакцию С определим из уравнения статики:

С + 60 – 100 + 61 = 0,

откуда С = – 21 кН (направление обратное).

     Эпюра продольных  сил  N,  построенная обычным образом (см. прим. 1), показана на рис. 6, в.

     Опорную реакцию С можно определить аналогично реакции В, а уравнение статики – использовать для проверки правильности вычислений. Проделайте это самостоятельно.

      Если рассматриваемый стержень вследствие неточности изготовления не будет достигать опоры на величину Δ (рис. 6, г), то дополнительное уравнение приметвид δ_В = Δ.Нарис. 6, дпоказана эпюра N при Δ=0,03см.

 

---

Дата добавления: 2021-07-19; просмотров: 79; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!