Практическая часть (примерные задания)
Вопросы к экзамену по дисциплине «Математический анализ»
За полный курс обучения
>>В билетах каждый вопрос начинается с глагола:
рассказать…, раскрыть…, дать определение…, сформулировать и т.д.! <<
1. Раскрытие неопределённостей, связанных с алгебраическими функциями. Раскрытие неопределённостей вида 
и 
.
2. Первый и второй замечательные пределы.
3. Определение производной. Механический смысл производной
4. Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции.
5. Возрастание и убывание функции. Необходимые и достаточные условия (возрастание и убывание функции).
6. Точки минимума и максимума. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия экстремума функции.
7. Выпуклость графика функции, точки перегиба. Достаточные условия существования точек перегиба.
8. Общая схема исследования функции и построение графика.
9. Понятие неопределённого интеграла.
10. Свойства неопределённого интеграла.
11. Простейшие методы нахождения неопределённого интеграла: непосредственное интегрирование, замена переменной, внесение под знак дифференциала, интегрирование по частям, интегрирование рациональных дробей разложением на простейшие и выделением полного квадрата.
12. «Неберущиеся» неопределённые интегралы.
13. Задача о вычисление площади криволинейной трапеции, приводящая к понятию определенного интеграла.
|
|
|
14. Свойства определённого интеграла.
15. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определённого интеграла.
16. Методы нахождения определённого интеграла: замена переменной,
интегрирование по частям.
17. Вычисление площади плоской фигуры.
18. Несобственные интегралы первого и второго рода.
19. Частное и полное приращения функции двух переменных. Частные производные функции двух переменных.
20. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных.
21. Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции.
22. Условный экстремум функции двух переменных.
23. Полный дифференциал функции, его приложения.
24. Приложение полного дифференциала к приближённым вычислениям. Линеаризация функции в окрестности точки.
25. Наибольшее и наименьшее значения в замкнутой области. Глобальный экстремум.
26. Метод наименьших квадратов.
27. Комплексные числа. Решение алгебраических уравнений второго порядка при D<0.
28. Понятие дифференциального уравнения: определение, порядок ДУ, общее и частное решение.
29. Геометрическое изображение решения дифференциального уравнения первого порядка.
|
|
|
30. Задача Коши для ДУ 1-го порядка. Алгоритм решения ДУ 1-го порядка с заданными начальными условиями.
ДУ первого порядка с разделяющимися переменными. Определение, метод решения.
32. Однородные ДУ первого порядка. Определение, метод решения.
Линейные ДУ первого порядка. Определение, метод решения.
Линейные ДУ высших порядков.
35. Решение ДУ высших порядков понижением степени ДУ.
ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами, структура общего решения. Принцип наложения.
ЛНДУ 2-го порядка – решение методом вариации произвольной постоянной.
ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Способы решения в зависимости от вида правой части. (каждый вид правой части – отдельный билет)
40. Эластичность функции. Эластичность спроса по цене. Эластичность предложения по цене.
41. Числовые ряды, основные определения.
42. Свойства числовых рядов.
43. Необходимый признак сходимости числового ряда.
44. Гармонический и обобщённый гармонические ряды. Сходимость обобщённого гармонического ряда (вывести, используя интегральный признак сходимости).
|
|
|
45. Признаки сравнения числовых рядов с неотрицательными членами.
46. Предельный признак Даламбера сходимости ряда.
47. Интегральный признак сходимости рядов.
48. Радикальный признак Коши сходимости ряда.
49. Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимость.
50. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
51. Функциональный ряд. Степенные ряды.
Практическая часть (примерные задания)
1. Найти предел 
.
2. Найти производную функции 
.
3. Найти производную функции 
.
4. Найти предел с помощью правила Лопиталя: 
.
5. Найти частные производные второго порядка функции 
.
6. Найти смешанные частные производные второго порядка функции 
.
7. Найти смешанные частные производные второго порядка функции 
.
8. Исследовать на экстремум функцию двух переменных:
.
9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
в замкнутой области D, ограниченной указанными линиями: 
.
10. Вычислить приближённо значение функции 
в точке М(6,01; -3,05).
11. Вычислить приближённо значение функции 
в точке М(0,02; 0,99).
12. Найти неопределенный интеграл 
.
13. Найти определённый интеграл 
.
14. Найти неопределенный интеграл 
.
15. Найти неопределенный интеграл 
.
|
|
|
16. Найти неопределённый интеграл 
.
17. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями: y = ex, y = e –x, x = 1.
18. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями: y = 6x – 
, y = 0.
19. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
.
20. Найти несобственный интеграл (исследовать на сходимость) 
.
21. Найти несобственный интеграл второго рода: 
.
22. Найти корни уравнения 
.
23. Решить задачу Коши: 
, 
.
24. Найти общее решение (общий интеграл) ДУ: 
.
25. Найти общее решение (общий интеграл) ДУ: 
.
26. Найти общее решение (общий интеграл) ДУ: 
.
27. Найти общее решение ЛНДУ: 
.
28. Решить ДУ 2-го порядка со специальным видом правой части: 
.
29. Найти общее решение (общий интеграл) ДУ 2-го порядка, используя метод вариации произвольных постоянных: 
.
30. Написать формулу общего члена ряда 
; 
; 
; 
; …
31. Найти п-ю частичную сумму 
ряда 
, пользуясь определением суммы ряда, исследовать сходимость ряда.
32. Исследовать на сходимость ряд 
.
33. Исследовать на сходимость ряд 
.
34. Исследовать на сходимость ряд 
.
35. Исследовать на сходимость ряд 
.
Дата добавления: 2021-07-19; просмотров: 45; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!