Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ

Часть А)

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ

Линейные уравнения первого порядка. Решение типовых задач

Уравнение вида называется линейным.

Решение уравнение производится методом Бернулли. Представляем искомую функцию через произведение двух функций , на одну из которых накладываем определённое условие.

20.1.1. Решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение в виде: Сделаем замену Подставив в уравнение, получим: На переменную накладываем условие: Разделяя переменные, имеем: .

Тогда от решаемого уравнения останется , откуда находим, что Окончательный ответ:

Некоторые уравнения становятся линейными, если поменять местами искомую функцию и независимую переменную.

Например, уравнение в котором является функцией от – нелинейное. Запишем его в дифференциалах: Так как в это уравнение и входят линейно, то уравнение будет линейным, если считать искомой функцией, а независимым переменным. Это уравнение может быть записано в виде и решается аналогично уравнению 20.1.1.

20.1.2. Решить уравнение

Решение. , и функции от переменной Имеем

Ответ:

20.1.3. Решить уравнение

Решение. Разделим уравнение на :

Это линейное уравнение относительно функции .

Откуда, получим .

Тогда .

Откуда .

При делении на потеряны корни , которые не могут быть получены из общего решения ни при каких значениях .

Ответ: , .

Задачи для самостоятельного решения

20.2.1. 20.2.2. 20.2.3. 20.2.4. 20.2.5. 20.2.6.

Ответы. 20.2.1. 20.2.2. 20.2.3. 20.2.4. 20.2.5. 20.2.6.

Уравнение Бернулли. Решение типовых задач

Чтобы решить уравнение Бернулли, которое имеет вид , надо обе его части разделить на и сделать замену После замены получается линейное уравнение, которое можно решить изложенным выше способом. Уравнение Бернулли можно также решать, как и линейное, заменой

20.3.1. Решить уравнение

Решение. Разделим уравнение на Получим .

Далее произведём замену

После замены получим линейное уравнение , решая которое получим: Находим . После обратной замены получим

20.3.2. Решить уравнение

Решение. Подставляя в исходное уравнение, получим или .

Выберем в качестве решение уравнения Тогда для получим уравнение . Общее решение уравнения исходного уравнения Бернулли равно .

Задачи для самостоятельного решения

Для части А)

Дистанционное обучение

20.4.1. 20.4.2. 20.4.3. 20.4.4. 20.4.5. 20.4.6.

Ответы. 20.4.1. . 20.4.2. 20.4.3. 20.4.4. 20.4.5. . 20.4.6.

ЧАСТЬ Б)

УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ.

УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

Уравнения в полных дифференциалах. Решение типовых задач

Уравнение

(1) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции

, т.е.

, что имеет место, если

В этом случае

будет общим интегралом дифференциального уравнения (1). Решение уравнения можно определить по формуле:

, где

произвольная точка области, в которой функции

непрерывны.

21.1.1. Решить уравнение

Решение. Так как то исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Найдём функцию полный дифференциал которой был бы равен левой части уравнения, т.е. такую функцию что

Интегрируем по первое из уравнений системы, считая постоянным; притом вместо постоянной интегрирования надо поставить – неизвестную функцию от : Подставляя это выражение для во второе уравнение системы, найдём :

Следовательно, и общее решение исходного уравнения будет иметь вид

Иногда можно найти такую функцию , что будет полным дифференциалом, хотя может им не быть.

Такую функцию называют интегрирующим множителем.

Функция удовлетворяет условию

Интегрирующий множитель легко находится в двух случаях:

1) , тогда ;

2) , тогда .

21.1.2. Решить уравнение .

Решение. Здесь , , следовательно, . Так как , то в этом случае , или , откуда . Умножив уравнение на , получим уравнение в полных дифференциалах , общий интеграл которого имеет вид .

21.1.3. Решить уравнение , если .

Решение. Здесь ; .

Имеем уравнение в полных дифференциалах. Воспользуемся формулой для общего решения , если .

где .

Решение уравнения имеет вид .

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Решение типовых задач

Дифференциальное уравнение го порядка имеет вид .

Если это уравнение решить относительно то оно может быть представлено в виде

Определение. Решением ДУ на интервале называется всякая функция , зависящая от произвольных постоянных и такая, что подстановка и ее производных в дифференциальное уравнение обращает последнее на интервале в тождество по .

Задача Коши: задача отыскания решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям , , …………. .

Теорема. Если функция непрерывна по совокупности аргументов, имеет непрерывные производные , , , …, в некоторой области, содержащей точку , то существует и притом единственное решение задачи Коши.

Определение. Пусть выполняются условия предыдущей теоремы.

Общим решением дифференциального уравнения в некоторой области существования и единственности решения задачи Коши называется функция , зависящая от переменной и постоянных , такая, что:

а) при любых допустимых значениях постоянных функция является решением уравнения;

б) при заданных начальных условиях постоянные всегда можно подобрать так, что функция будет удовлетворять этим условиям.

В процессе интегрирования дифференциального уравнения часто приходят к уравнению , неявно задающему общее решение уравнения. Уравнение называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных .

Уравнение , где некоторые значения постоянных называется частным интегралом дифференциального уравнения.

21.2.1. Уравнение вида Решение типовой задачи

21.2.1.1. Найти общее решение уравнения .

Решение. Этот вид уравнений решается последовательным интегрированием:

Интегрируя по частям, находим общий интеграл:

21.2.2. Уравнение не содержит переменной в явном виде. Решение типовых задач

Уравнение вида Понижение порядка ДУ производится путем замены .

21.2.2.1. Решить уравнение .

Решение. В уравнении отсутствует неизвестная функция , поэтому порядок уравнения можно понизить путем замены , где – новая неизвестная функция. Тогда и уравнение примет вид . Это уравнение с разделяющимися переменными: