Поворот плоскости относительно центра O на данный угол
( 
) в данном направлении определяется так: каждой точке X плоскости ставится в соответствие такая точка X', что, во-первых, OX'=OX, во-вторых 
и, в-третьих, луч OX' откладывается от луча OX в заданном направлении. Точка O называется центром поворота, а угол -углом поворота.
Докажем, что поворот является движением:
Пусть при повороте вокруг точки O точкам X и Y сопоставляются точки X' и Y'. Покажем, что X'Y'=XY.
Рассмотрим общий случай, когда точки O, X, Y не лежат на одной прямой. Тогда угол X'OY' равен углу XOY. Действительно, пусть угол XOY от OX к OY отсчитывается в направлении поворота. (Если это не так, то рассматриваем угол YOX). Тогда угол между OX и OY' равен сумме угла XOY и угла поворота (от OY к OY'):
с другой стороны,
Так как 
(как углы поворота), следовательно 
. Кроме того, OX'=OX, и OY'=OY. Поэтому 
- по двум сторонам и углу между ними. Следовательно: X'Y'=XY.
Если же точки O, X, Y лежат на одной прямой, то отрезки XY и X'Y' будут либо суммой, любо разностью равных отрезков OX, OY и OX', OY'. Поэтому и в этом случае X'Y'=XY. Итак, поворот является движением.
О симметрии фигур
Говорят, что фигура обладает симметрией (симметрична), если существует такое движение (не тождественное), переводящее эту фигуру в себя.
Например, фигура обладает поворотной симметрией, если она переходит в себя некоторым поворотом.
Рассмотрим симметрию некоторых фигур:
Отрезок имеет две оси симметрии (серединный перпендикуляр и прямая, содержащая этот отрезок) и центр симметрии (середина).
|
|
|
Треугольник общего вида не имеет осей или центров симметрии, он несимметричен. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет одну ось симметрии: серединный перпендикуляр к основанию.
Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии (серединные перпендикуляры к сторонам) и поворотную симметрию относительно центра с углом поворота 120°.
У любого правильного n-угольника есть n осей симметрии, все они проходят через его центр. Он также имеет поворотную симметрию относительно центра с углом поворота 
.
При четном n одни оси симметрии проходят через противоположные вершины, другие - через середины противоположных сторон.
При нечетном n каждая ось проходит через вершину и середину противоположной стороны.
Центр правильного многоугольника с четным числом сторон является его центром симметрии. У правильного многоугольника с нечетным числом сторон центра симметрии нет.
5. Любая прямая, проходящая через центр окружности является ее осью симметрии, окружность также обладает поворотной симметрией, причем угол поворота может быть любым.
Подобие
Подобием с коэффициентом k>0 называется отображение плоскости, при котором любым двумя точкам X и Y соответствуют такие точки X' и Y', что X'Y'=kXY.
|
|
|
Отметим, что при k=1 подобие является движением, то есть движение есть частный случай подобия.
Фигура F называется подобной фигуре F' с коэффициентом k, если существует подобие с коэффициентом k, переводящее F в F'.
Простейшим, но важным примером подобия является гомотетия
Гомотетия
Гомотетией с центром в точке O и коэффициентом k называется такое отображение плоскости, при котором каждой точке X сопоставляется такая точка X', что OX' = kOX, причем не исключается и возможность k<0.
При k =-1 получается центральная симметрия с центром в точке O, при k =1 получается тождественное преобразование.
Основное свойство гомотетии
При гомотетии с коэффициентом k каждый вектор умножается на k . Подробнее: если точки A и B при гомотетии с коэффициентом k перешли в точки A' и B', то
A'B' = kAB
Доказательство.
Пусть точка O - центр гомотетии. Тогда OA' = kOA, OB' = kOB. Поэтому A'B' = OB' - OA' = kOB - kOA = k(OB - OA) = kAB.
Из равенства A'B' = kAB следует, что A'B' = |k|AB, то есть гомотетия с коэффициентом k является подобием с коэффициентом |k|.
Отметим, что любое подобие с коэффициентом k можно представить в виде композиции гомотетии с коэффициентом k и движения.
|
|
|
Некоторые свойства гомотетии
1. Гомотетия отрезок переводит в отрезок.
2. Гомотетия сохраняет величину углов.
3. .
4. Композиция двух гомотетий с общим центром и коэффициентами k1 и k2 ,будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом Преобразование, обратное гомотетии с коэффициентом k будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом 1/k.
Свойства подобия.
Подобие отрезок переводит в отрезок.
Подобие сохраняет величину углов.
Подобие треугольник переводит в треугольник. Соответственные стороны этих треугольников пропорциональны, а соответственные углы равны.
В результате подобия с коэффициентом k площади фигур умножаются на k2.
Композиция подобий с коэффициентами k1 и k2 есть подобие с коэффициентом k1k2.
Подобие обратимо. Отображение, обратное подобию с коэффициентом k есть подобие с коэффициентом 1/k.
Дата добавления: 2021-07-19; просмотров: 145; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!