Наименьшее и наибольшее значения функции
Практическая работа №3.
Тема: «Исследование функции и построение графика»
Цель: закрепить умение применять производную функции первого порядка при определении промежутков монотонности и точек экстремума функции, при нахождении наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке; формировать умение строить схематически график функции.
Теоретическая часть.
Возрастание и убывание функции
Функция 
называется возрастающейв промежутке 
, если для любых 
и 
, принадлежащих этому промежутку и таких, что 
, имеет место неравенство 
.
Функция 
называется убывающей в промежутке , если для любых и , принадлежащих этому промежутку и таких, что , имеет место неравенство 
.
Как возрастающие , так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности.
Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной:
если в некотором промежутке 
, то функция возрастает в этом промежутке;
если в некотором промежутке 
, то функция убывает в этом промежутке.
Пример 1. Найти промежутки монотонности следующих функций:
а) 
б) 
а) Находим производную: 
, имеем 
.
Последующие рассуждения представим в таблице:
| 
| 4 | 
|
| - | 0 | + |
| 
| 
|
Таким образом, данная функция в промежутке убывает,
а в промежутке 
возрастает.
|
|
|
б) 
Составим таблицу:
|
| 
| 0 | 
| 4 |
|
|
| + | 0 | - | 0 | + |
|
|
|
|
|
Итак, в промежутках и функция возрастает, а в промежутке - убывает.
Исследование функции на экстремум
С помощью первой производной
Точка 
из области определения функции называется точкой минимума этой функции, если существует такая 
– окрестность
точки , что для всех 
из этой окрестности выполняется неравенство 
Точка из области определения функции 
называется точкой максимума этой функции, если существует такая – окрестность
точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство 
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – минимумом и максимумом (или экстремумами) функции.
Точками экстремумами могут служить только критические точки, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная 
обращается в нуль или терпит разрыв.
Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то функция имеет в точке экстремум: минимум в том случае, когда производная меняет знак с минуса на плюс, и максимум – когда с плюса на минус. Если же при переходе через критическую точку производная не меняет знака, то функция в точке не имеет экстремума.
|
|
|
3. Алгоритм нахождения экстремумов функции 
С помощью первой производной
I. Найти производную 
.
II. Найти критические точки функции 
, т.е. точки в которых обращается в нуль или терпит разрыв.
III. Исследовать знак производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции 
. При этом критическая точка 
есть точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором 
, от промежутка, в котором 
, и точка максимума – в противном случае. Если же в соседних промежутках, разделенных критической точкой , знак производной не меняется, то в точке функция экстремума не имеет.
IV. Вычислить значения функции в точках экстремума.
Пример 2. Исследовать на экстремум следующие функции:
а) 
а) Находим 
, приравняем производную к нулю, имеем 
. Получим единственную критическую точку 
.
Последующие рассуждения представим в таблице:
|
| 
| 2 | 
|
|
| - | 0 | + |
|
|
| Минимум
|
|
График функции есть парабола. Точка минимума (2;-4) является вершиной параболы.
|
|
|
Наименьшее и наибольшее значения функции
Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной в некотором промежутке, необходимо:
1) Найти критические точки, принадлежащие заданному промежутку, и вычислить значения функции в этих точках;
2) Найти значения функции на концах промежутка;
3) Сравнить полученные значения; тогда наименьшее и наибольшее из них являются соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции в рассматриваемом промежутке.
Пример 3. Найти наименьшее и наибольшее значение функции 
в промежутке 
.
Имеем 
; 2 
, т.е. 
- критическая точка. Находим 
; далее, вычисляем значения функции на концах промежутка: 
, 
.
Итак, наименьшее значение функции равно - 1 и достигается ею во внутренней точке промежутка, а наибольшее значение равно 3 и достигается на левом конце промежутка.
5.Выпуклость (вогнутость) кривой.
Кривая обращена выпуклостью вверх или выпукла ( Ç ) на некотором промежутке, если она расположена ниже касательной, проведенной к кривой в любой точке этого промежутка.
Кривая обращена выпуклостью вниз или вогнута ( È ) на некотором промежутке, если она расположена выше касательной, проведенной к кривой в любой точке этого промежутка.
|
|
|
Точкой перегиба кривой называется такая ее точка, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости.
Дата добавления: 2021-07-19; просмотров: 67; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!