Общее решение для температуры вне частицы.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(НИУ «БелГУ»)

ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРНЫХ И ЦИФРОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ФИЗИКИ

ОТЧЕТ

О прохождении производственной практики

студента очной формы обучения 4 курса группы 17001712

Букша Анна Юрьевна

место прохождения практики: НИУ«БелГУ», кафедра теоретической и эксперементальной физики;

сроки прохождения практики:

с 11.05.2021 по 24.05.2021

Руководитель практики:

доцент кафедры теоретической и экспериментальной физики

Тарновский А.И,

Оценка ______________________

«___»____________20___ г.

________ ____________________

Подпись (расшифровка подписи)

Зарегистрировано№______

«___»__________20___ г.

________ _______________

подпись (расшифровка подписи)

Белгород 2021

Содержание

Общие понятие. 2

Постановка задачи. 5

Общее решение для температуры вне частицы. 8

Общие понятие.

Фотофорез означает явление, когда мелкие частицы, взвешенные в газе (аэрозоли) или жидкостях (гидроколлоиды), начинают мигрировать при освещении достаточно интенсивным световым лучом. Существование этого явления связано с неравномерным распределением температуры освещенной частицы в текучей среде. Отдельно от фотофореза, в жидкой смеси различных типов частиц миграция некоторых видов частиц может происходить из-за различий в их поглощении теплового излучения и других тепловых эффектов, известных под общим названием термофорез. При лазерном фотофорезе частицы мигрируют, если их показатель преломления отличается от их окружающей среды. Миграция частиц обычно возможна, когда лазер слегка или не сфокусирован. Частица с более высоким показателем преломления по сравнению с окружающей ее молекулой удаляется от источника света из-за передачи импульса от поглощенных и рассеянных фотонов света. Это называется силой радиационного давления. Эта сила зависит от интенсивности света и размера частиц, но не имеет ничего общего с окружающей средой. Как и в радиометре Крукса , свет может нагревать одну сторону, и молекулы газа отскакивают от этой поверхности с большей скоростью, тем самым толкая частицу на другую сторону. При определенных условиях с частицами диаметром, сравнимым с длиной волны света, возникает явление отрицательного непрямого фотофореза из-за неравномерного тепловыделения при лазерном облучении между задней и передней сторонами частиц, что создает градиент температуры в среда вокруг частицы, так что молекулы на дальней стороне частицы от источника света могут нагреться сильнее, заставляя частицу двигаться к источнику света. Если взвешенная частица вращается, она также испытывает эффект Ярковского .

Прямой фотофорез вызывается передачей импульса фотона частице за счет преломления и отражения. Движение частиц в прямом направлении происходит, когда частица прозрачна и имеет больший показатель преломления по сравнению с окружающей средой. Косвенный фотофорез происходит в результате увеличения кинетической энергии молекул, когда частицы поглощают падающий свет только на облучаемой стороне, тем самым создавая температурный градиент внутри частицы. В этой ситуации окружающий газовый слой достигает температурного равновесия с поверхностью частицы. Молекулы с более высокой кинетической энергией в области более высоких температур газа сталкиваются с частицами с большими импульсами, чем молекулы в холодной области; это вызывает миграцию частиц в направлении, противоположном градиенту температуры поверхности. Составляющая фотофоретической силы, ответственная за это явление, называется радиометрической силой. Это происходит в результате неравномерного распределения лучистой энергии (функция источника внутри частицы). Непрямая фотофоретическая сила зависит от физических свойств частицы и окружающей среды. Для давлений , когда длина свободного пробега газа намного больше характерного размера взвешенной частицы (прямой фотофорез), продольная сила равна Фотофорез -

где средняя температура рассеянного газа равна (коэффициент тепловой аккомодации, коэффициент аккомодации импульса)

и температура черного тела частицы (чистый световой поток, постоянная Стефана Больцмана , температура поля излучения )

- теплопроводность частицы. Фактор асимметрии для сфер обычно (положительный продольный фотофорез). Для несферических частиц средняя сила, действующая на частицу, задается тем же уравнением, в котором радиус теперь равен радиусу соответствующей эквивалентной по объему сферы.

Постановка задачи.

Рассмотрим крупную нелетучую сферическую частицу с радиусом (т. е. поверхности, на которой может произойти фазовый переход), взвешенную в бинарной газовой смеси один из компонентов (пусть, например, первый) состоит из молекул того же вещества, что и вещество частицы, имеющие температуру , плотность , теплопроводность и вязкость , неравномерные частицы.

Так как на одну сторону направлен лазер, другая же сторона находится в тени.

За счет поглощения электромагнитного излучения поверхность капли нагревается. Внутренний источник тепла — это модельное представление, облегчающее описание реальных процессов, который происхдит вместе с выделением тепла объем испарения. Неравномерность нагревания поверхности капли, с одной стороны, приводит к увеличению нагрева, что влияет на процесс теплообмена и массообмена между каплей и окружающей средой и так называемый реактивного эффект; с другой стороны, влияет на количество тепла и диффузионное скольжение, а также связанный с появлением касательных напряжений на поверхности капли за счет коэффициента поверхностного натяжения при изменении температуры .

Все это является основой как для теоретического описания движения испаряющихся капель, так и для практического применения. Поэтому у нас есть возможность влиять на значения скорости и интенсивности фотофореза с помощью внутренних тепловых источников.

С помощью внешних источников в газе постоянно поддерживается градиент относительной концентрации компонентов смеси и . Через и обозначены отношения , , , – полное количество молекул в единице объема, – плотность бинарной газовой смеси, , , и –соответственно, концентрация и масса молекул первого и второго компонента бинарной газовой смеси.

Задача решается в сферической системе координат r,q ,j (0£q £p,0£j £ 2p ), которая начинает совпадать с центром масс капельки. Полярная ось ориентирована вдоль градиента относительной концентрации молекул 1 компонента (горизонтальная ориентация оси ). Тогда наша капля может считаться стационарной (неподвижной), а вещество, состоящее из летучих капель, претерпевает фазовый переход на сферической границе раздела капель-внешней газовой среде. Это значит, собственно, что газообразная среда произведено из 2-ух компонент. Индексы "e" и "i" здесь и далее будем относить к газу и капле: e – внешняя среда, i -внутренняя среда.

(Рис.1)

По мере увеличения радиуса капля и её доля энергии значительно увеличивается в поглощающей в теневой полу шара. Это связано с фокусирующим эффектом среды. Также отметим, что этот эффект усиливается с ростом снижения показателя преломления. По мере дальнейшего увеличения радиуса капли из-за увеличения доли поглощения максимум поглощения переносится из тени в освещенную полусферу. Полученные данные наглядно показывают, что с уменьшением коэффициента поглощения степень неравномерности поглощения повышается. В случаи если температура в каждой точке тела остается неименной во времени и меняется лишь только от точки к точке, то данный процесс теплообмена именуется стационарным (установившимся). Температурное поле, изменяющееся во времени, называется нестационарным температурным полем.

Общее решение для температуры вне частицы.

Чтобы найти, как меняется температура по координате, надо решить уравнение теплопроводности :

Температура зависит от координаты и времени

Важно, как меняется температура с применением координаты, чтобы найти как меняется температура по координате надо решить уравнение теплопроводности:

Размерность обеих частей уравнения равна:

[ ] – плотность среды (газ, жидкость), .

[ ] – удельная теплоемкость при постоянном давлении, .

[ ] – массовая скорость газа или жидкости, .

[ ] – первая производная по коэффициенту

[Т] – температура, К.

[ ] – коэффициент теплопроводности,

[q] – плотность тепловых источников, ,

– сумма частных производных первого порядка: + = divu,

У уравнения теплопроводности размерность одинакова в правой и левой части. Проверим что размерность одинакова

(1.3)

(1.4)

Передача тепла может быть за счет:

- движение среды ;

-теплопроводности ( от более нагрето тела к менее нагретому телу) ;

-молекулярной теплопроводности молекул 3/2кТ;

Компонент фотофореза, ответственный за явление, называемое радиометрической силой. Это происходит из-за неравномерного распределения лучистой энергии. Непрямой фотофоретическая сила стремится зависеть от физических свойств частиц и окружающей среды.

-характерная температура задачи.

-температура вдалеке.

Вводится коэффициент относительный перепад температуры

Если , тогда .Тогда уравнение упрощается:

(пример)

- оператор Лапласа

Найдем решение уравнения в С.С.К.

У нас будет симметричный случай и от угла функция не зависит. Так же обозначим e – внешняя среда, i -внутренняя среда.

1) решение уравнения Лапласа.

(⁎)

Перейдем к безразмерному уравнению. Решая внешнюю задачу. Введем , где - некая характерная температура в задачи, температура в дали.

, где – радиус частицы.

И так чтобы решить уравнение (⁎) надо вести величины ; ; и обезразмерить

Умножим и разделим на , тогда получим

Полученное уравнение называется безразмерным уравнением

Умножим и разделим на тогда получим и заменим ; : ;

Тогда получим:

Полученное выражение подставляем в (⁎).

где -функция зависящаяся (y,x) то есть . Тогда:

(⁎⁎)

Будем искать решение методом разделение переменных:

(⁎⁎⁎)

Подставляем (⁎⁎⁎) в (⁎⁎) и запишем в полный дифференциал

Разделим переменную на .

Функция R зависит от x это возможно, когда обе части уравнения равны одной и той же константе равно нулю:

=W (1)

где

Найдем решение уравнения: где

Умножаем на :

Видим, что полученное уравнение совпадает с хорошо известным уравнение Лежандра.

Это уравнение называется обобщённым уравнением Лежандра.

Из этого следует:

Где n=1,2,3,…т.д.

Решение второго порядка:

-полиномо Лежандра первого порядка

-полиномо Лежандра второго порядка

В уравнении для

обычно переходят от переменной к переменной Тогда уравнение примет вид:

Это уравнение называется обобщенным уравнением Лежандра, а его решения - присоединенными функциями Лежандра.

Прежде чем анализировать полученное уравнения найдем решение в виде степенного ряда для обыкновенного дифференциального уравнения Лежандра, соответствующего :

(а.1)

Для того чтобы решение имело физический смысл электростатического потенциала, оно должно быть однозначно и непрерывно в интервале .Будем искать решение в виде ряда:

где а — пока не определенный параметр. Подставляя это разложение в (!), получаем ряд

В этом разложении коэффициенты перед всеми степенями должны в отдельности обращаться в нуль. Для отсюда следует, что:

(а.2)

Для остальных j получаем соотношение

(а.3)

Как легко видеть, оба соотношения (а.2) эквивалентны, и достаточно считать, что лишь один из коэффициентов и отличен от нуля. Считая тогда для есть два значения: =0 и . Из (а.3) следует, что разложение в ряд содержит только четные степени (при: =0) или только нечетные степени (при =1)

Оба полученных ряда (соответствующие =0 и =1) обладают следующими свойствами:

а) ряд сходится при при всех значениях ;

б) ряд расходится при если только он не обрывается.

Поскольку мы ищем решение, которое конечно при так же как и при необходимо потребовать, чтобы ряд обрывался. Так как и — целые неотрицательные числа или нуль, то из рекуррентной формулы (а.3) следует, что ряд обрывается лишь в том случае, когда равно нулю или положительному целому числу. Но и в этом случае лишь один из двух рядов будет конечен при .Если четно, то конечен ряд для если нечетно, то конечен ряд для В обоих случаях старший: член пропорционален следующий и т. д. до при четном или до при нечетном .Эти многочлены принято нормировать так, чтобы при они обращались в единицу. Они называются полиномами Лежандра порядка .Приведем несколько первых полиномов Лежандра:

Видим, что значит

Так же значит .

нас не устраивает, наш подход в случае внешнего решение.

Полученное уравнение нас устраивает:

Рекурентная формула Родрига.

Рассматривается обобщенная формула Родрига, позволяющая определить некоторые важные семейства многочленов, используемые в комбинаторном анализе. Эта формула применяется для получения рекуррентных соотношений и производящих функций.