Двухфазная система без потерь
Лекция 11. 28 апреля 2021 года.
ТЕМА: особенности применения аналитических методов для расчета и анализа характеристик нетиповых структур дискретных процессов в смо
Методика построения аналитических моделей ориентирована в основном на типовые схемы СМО типа одно - и многоканальные СМО с отказами (без очереди), с ограниченной или неограниченной очередью. Расширение возможностей ТМО основывается в первую очередь на обосновании применения этих методов для нетиповых структур СМО, которые являются адекватным отражением реальных процессов обслуживания. Рассмотрим особенности применения аналитических методов построения моделей и решения задач расчета характеристик нетиповых структур на примере многофазных СМО.
Двухфазная система с отказами
Пусть рассматриваемая СМО состоит из двух последовательно соединённых одноканальных устройств обслуживания без очереди, то есть при попытке заявки войти в соответствующее устройство в тот момент, когда это устройство занято обслуживанием некоторой предыдущей заявки, она удаляется из системы. Интенсивности обслуживания в каждой из фаз могут быть различными (Рисунок. 1). Требуется рассчитать характеристики системы при известных значениях интенсивности входного потока заявок и интенсивностей их обслуживания в каждой фазе.
Рисунок 1 –– Одноканальная двухфазная система массового обслуживания с отказами
|
|
|
Обозначим состояния системы:
· S00 –– устройства (каналы) первой и второй фазы свободны от обслуживания;
· S10 –– первый канал занят обслуживанием, второй свободен;
· S01 –– первый канал свободен, второй занят обслуживанием;
· S11 –– оба канала заняты обслуживанием.
Граф состояний системы представлен на Рисунке 2.
Рисунок 2 –– Граф состояний двухфазной СМО с отказами
В стационарном режиме система описывается следующими уравнениями :
Решение этой системы уравнений проведем следующим образом.
Прежде всего, упростим систему. Для этого из первого уравнения найдем P00 и подставим полученное выражение во второе и последнее уравнения. Получаем
Замечаем, неизвестных 3, а уравнений 4, следовательно, одно уравнение можно исключить, последнее уравнение исключать нельзя, поэтому исключим третье уравнение, как наиболее сложное. Запишем систему уравнений:
Решение будем искать по правилу Крамера (через определители):
Здесь 
––определитель системы:
= – 
,
–– определитель для P10
= 
,
–– определитель для P01
= 
,
|
|
|
–– определитель для P11
= 
.
Таким образом, получаем
1. Вероятность того, что занят обслуживанием только первый канал:
.
2. Вероятность того, что занят обслуживанием только второй канал:
.
3. Вероятность того, что заняты оба канала:
.
4. Вероятность того, что все каналы свободны от обслуживания, найдем из уравнения (1):
= 
.
Определим относительную и абсолютную пропускные способности системы.
Первый канал отказывает заявке в обслуживании, если он занят обслуживанием другой заявки, а занят он в состояниях S10 и S11, поэтому
q1 = 1 – (P10 + P11).
1. Абсолютная пропускная способность первого канала равна A1 = 
.
2. Абсолютная пропускная способность первого канала есть интенсивность потока заявок, поступающих на второй канал. Второй канал занят в состояниях S01 и S11, поэтому q2 = 1 – (P01 + P11).
3. Абсолютная пропускная способность второго канала и системы в целом равна: A2 = A1q2 = 
q1q2 = (1 –P01 – P11)(1 – P01 – P11).
Анализ этого выражения позволяет сделать вывод о том, что производительность системы не зависит от распределения каналов (приборов, одноканальных устройств ОКУ) разной производительности по фазам. (Производительность системы определяется произведением q1q2.) Это означает, что пропускная способность системы определяется ее «слабым звеном». Если производительность одной из фаз очень мала по сравнению с другими, то эта фаза и будет определять пропускную способность системы.
|
|
|
Двухфазная система без потерь
 |
Рассмотрим одноканальную двухфазную систему массового обслуживания без потерь в каждой фазе, состоящую из двух канадов (ОКУ или приборов) разной производительности (Рисунок 3).
Рисунок 3 –– Одноканальная двухфазная система массового обслуживания без потерь (с неогранченными очередями перед обслуживающими каналами)
Интенсивность обслуживания каналами заявок подчинена показательному закону распределения с параметрами 
и 
соответственно для первого и второго каналов. Поступившая в систему заявка вначале обслуживается первым каналом. Если он уже занят, то требование ожидает своей очереди до тех пор, пока все ранее пришедшие заявки не будут обслужены. После обслуживания первым каналом заявки поступают на второй. Так же как и в первом канале, они поступают на обслуживание, если второй канал свободен. Если канал занят, то заявка становится в очередь. Входной поток заявок пуассоновский с интенсивностью .
Граф состояний у этой системы неограничен, так как любая заявка должна быть обслужена. На Рисунке 4 показаны наиболее важные фрагменты графа, по которым можно написать следующие уравнения состояний системы:
|
|
|
 |
Рисунок 4 –– Ключевые фрагменты графа состояний одноканальной двухфазной СМО
(Рисунок 4, а)
. . .
(Рисунок 4, б)
. . .
(Рисунок 4, в)
. . .
(Рисунок 4, г)
. . . ,
где Р00 –– вероятность того, что оба канала свободны;
Рn1,n2 — вероятность состояния системы, при котором в первой фазе находится n1 заявок, а во второй фазе ––n2 заявок (включая и те, которые уже обслуживаются).
Решение системы этих уравнений достаточно сложно, поэтому приведем конечные результаты:
1. Вероятность того, что оба канала (обе фазы) свободны от заявок:
2. Вероятность того, что в первой фазе находится n1 заявок, а во второй ни одной:
.
3. Вероятность того, что во второй фазе имеется n2 заявок, а в первой ни одной
.
4. Вероятность того, что в первой фазе находится n1 заявок, а во второй фазе n2 заявок:
.
5. Математическое ожидание числа заявок, находящихся в системе:
при этом среднее число заявок, находящихся в первой фазе, равно
а во второй фазе
Сравним параметры двухфазной системы с параметрами однофазной системы:
1. Вероятность того, что каналы свободны от заявок:
2. Вероятность того, что в первой фазе находится n1 заявок, а во второй ни одной:
3. Математическое ожидание числа заявок, находящихся в системе:
при этом среднее число заявок, находящихся в первой и второй фазе, равно соответственно
Как видим, при стационарном режиме получается, что обе фазы ведут себя так, как будто бы у них на входах один и тот же поток заявок с параметром 
.
Дата добавления: 2021-07-19; просмотров: 397; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!