Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Методы решения текстовых задач

Содержание

1. Введение……………………………………………………………………2

2. Задачи на движение………………………………………………………..3

3. Задачи «на работу»………………………………………………………...6

4. Заключение………………………………………………………………..20

5. Список литературы………………………………………………………..20

Текстовые задачи на составление уравнений

Введение

Текстовые задачи являются традиционным разделом на вступительных экзаменах. Как правило, основная трудность при решении текстовой задачи состоит в переводе её условий на математический язык уравнений. Общего способа такого перевода не существует. Однако многие задачи на вступительных экзаменах, достаточно типичны.

Для начала узнаем, что такое задача:

Задача– это требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь или учитывая те условия, которые в ней указаны.
Любая задача состоит из трёх частей: условие, объект, требование (вопрос) задачи.
Приступая к решению какой-либо задачи, надо её внимательно изучить, установить, в чем состоят её требования, каковы условия, исходя из которых надо её решать. Всё это называется анализом задачи.

Весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов:

1-й этап: анализ;

2-й этап: схематическая запись;

3-й этап: поиск способа решения;

4-й этап: осуществление решения:

5-й этап: проверка решения;

6-й этап: исследование задачи;

7-й этап: формулировка ответа;

8-й этап: анализ решения.

Стандартная схема решения таких задач включает в себя:

1.Выбор и обозначение неизвестных.

2.Составление уравнений (возможно неравенств) с использованием неизвестных и всех условий задачи.

3.Решение полученных уравнений (неравенств).

4.Отбор решений по смыслу задачи.

Задачи на движение

В задачах на движение используются обычно формулы, выражающие законы равномерного движения: S=V·t , где S- пройденное расстояние, V- скорость равномерного движения, t - время движения.

При составлении уравнений в таких задачах часто бывает удобно прибегнуть к геометрической иллюстрации процесса движения: путь изображается в виде отрезка прямой, место встречи движущихся с разных сторон объектов точкой на отрезке и т.д.

Часто для усложнения задачи её условие формулируется в различных единицах измерения(метры, километры, часы, минуты и т.д.). В этом случае при выписывании уравнений необходимо пересчитывать все данные задачи в одинаковых единицах измерения:

1. Если расстояние между двумя движущимися навстречу друг другу телами равно S, а их скорости V1 и V2, то время t через которое они встретятся , находиться по формуле t= S\ V1+V2 .

2. Если движение вдогонку , то есть первое тело следует за вторым , то время t , через которое первое тело догонит второе , находится по формуле t=S\V1-V2 .

3. В задачах на движение по воде скорость течения считается неизменной . При движении по течению скорость течения прибавляется к скорости плывущего тела , при движении против течения – вычитается из скорости тела . Скорость плота считается равной скорости течения.

4. Средняя скорость вычисляется по формуле V=S\t , где S- путь , пройденный телом , а t- время, за которое этот путь пройден . Если путь состоит из нескольких участков , то следует вычислить всю длину пути и всё время движения .

Задача 1. Велосипедист ехал 2 часа по лесной дороге и 1 час по шоссе, всего он проехал 40 км. Скорость его по шоссе была на 4 км/ч больше, чем скорость на лесной дороге. С какой скоростью велосипедист ехал по лесной дороге, и с какой по шоссе?

Решение:

Пусть x км/ч скорость велосипедиста на лесной дороге. Тогда его скорость на шоссе будет (x+4) км/ч. За 2 часа по лесной дороге велосипедист проехал 2·x км., а за час по шоссе (x+4) км. Весь путь по условию равен 40км. Составляем уравнение:

2x+(x+4) = 40;

2x+x = 40 - 4;

3x = 36;

x = 36:3;

x=12.

Значит скорость на лесной дороге 12 км/ч, а на шоссе 12+4=16 (км/ч).

Ответ: 12 км/ч ; 16 км/ч.

Задача 2. От пристани против течения реки отправилась моторная лодка, собственная скорость которой 10 км/ч. Через 45 минут после выхода у лодки испортился мотор, и лодку течением реки через 3 часа принесло обратно к пристани. Какова скорость течения реки?

Решение:

Пусть x км/ч скорость течения реки. Моторная лодка против течения реки шла со скоростью (10-x) км/ч. В пути была 45 минут.

часа.

Путь против течения равен Далее лодка с испорченным двигателем плыла по течению со скоростью x км/ч 3 часа обратно к пристани. Весь этот путь равен 3∙x км. Но расстояния туда и обратно равны:

Ответ: 2 км/ч.

Задача 3. Из двух городов, расстояние между которыми 200 км, одновременно навстречу друг другу выехали легковой автомобиль и грузовик и встретились через 2 часа. Скорость легкового автомобиля 60 км/ч. Найти скорость грузовика.

Решение:

Пусть скорость грузовика равна x км/ч. Поскольку машины выехали одновременно навстречу друг другу, то скорость сближения (сумма скоростей) равна (x+60) км/ч. Каждый из них до встречи находится в пути 2 часа.

Поэтому:

2(x+60) = 200

x+60 = 100

x = 100-60

x = 40

Скорость грузовика 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.

Задача 4. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 94км, отправились одновременно навстречу друг другу пешеход и велосипедист. Скорость пешехода на 16 км/ч меньше скорости велосипедиста. Найти скорость каждого, если известно, что встретились они через 4ч и пешеход сделал в пути получасовую остановку.

Решение:

Пусть скорость пешехода равна х км/час, тогда скорость велосипедиста (х+16) км/ч. Отправляются навстречу друг другу одновременно. Встречаются через 4 часа. Пешеход делал в пути получасовую остановку. Значит шел до встречи 4-0,5=3,5 часа, велосипедист до встречи ехал 4 час.

Итак, путь пешехода 3,5х км, а путь велосипедиста 4(х+16) км. Сумма по условию 94. Составляем уравнение:

4(x+16)+3,5x=94;

4x+64+3,5x=94;

7,5x=30;

x=30:7,5;

x=300:75

x=4.

Скорость пешехода 4км/ч, велосипедиста 16+4=20км/час

Ответ: 4км/ч; 20км/ч. Задача 5. Пароход прошел 4 км против течения реки, а затем прошел еще 33 км по течению, затратив на весь путь один час. Найдите собственную скорость парохода, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч. Решение. Пусть х км/ч – собственная скорость парохода. Тогда (х + 6,5) км/ч – скорость парохода по течению, а (х – 6,5) км/ч – скорость парохода против течения. Так как против течения пароход прошел 4 км со скоростью (х – 6,5) км/ч, то 4 / (х - 6,5 ) – время движения парохода против течения. А так как по течению пароход прошел 33 км со скоростью (х+6,5) км/ч, то 33 / (х + 6,5 ) – время движения парохода по течению. По условию 4 / (х - 6,5) = 33 / (х + 6,5) = 1. Решая это уравнение, получим х² – 37х + 146,25 = 0; х1=4,5 км/ч и х2=32,5 км/ч. Осуществим отбор полученных решений. Через х мы обозначили собственную скорость парохода, при этом скорость течения реки 6,5 км/ч, поэтому х1=4,5 км/ч не подходит по смыслу задачи (при такой скорости пароход не выплыл бы против течения). Поэтому, собственная скорость парохода равна 32,5 км/ч. Ответ: v=32,5 км/ч.

Задачи на совместную работу

Между величинами, описывающими равномерное движение и величинами, характеризующими процесс работы, имеется полная аналогия.

Представим это так:

Вся работа – А; Время работы – t; Производительность

При совместной работе нескольких объектов, выполняющих одновременно работу, их общая производительность равна сумме производительностей отдельных объектов.

Во многих задачах на работу точный характер этой работы не определен, тогда удобно принять объем всей работы за единицу и измерять части такой работы в долях от единицы.

Иногда в задачах на совместную работу можно обойтись без решения уравнений , используя только арифметический способ .

Рассмотрим примеры решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике:

Задание B13

Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

Про Машу нам все известно: время ее работы равно 20, следовательно, ее производительность равна .

Пусть Даша пропалывает грядку за х минут, тогда ее производительность равна .

Тогда совместная производительность равна

Объем работы примем равным 1.

Время совместной работы равно 12 минут, отсюда получаем уравнение:

Решим его:

Ответ: 30

Классическая задача на совместную работу:

Задание B13

Дата добавления: 2021-07-19; просмотров: 139; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!