Алгоритм расчета переходных процессов

В объемном гидроприводе с разветвленной сетью трубопроводов

 

Рассмотрим часть гидросистемы, состоящую только из «проточных» элементов, определяемых уравнениями только типа 1, и нескольких тупиковых узлов, давление в которых определяется уравнениями типа 2 и 4. Из рассмотренных агрегатов проточными элементами являются гидравлические линии и гидроцилиндры без учета сжимаемости жидкости. Сначала для простоты ограничимся схемой гидросистемы, приведенной на рис. 2. Стрелками показаны принятые за положительные направления расходов по элементам. Элемен­ты 1, 2, 4, 5, 6 и 7 - гидрав­лические линии; элемент 3 - гидроцилиндр. Узлы 1, 2, 5, 7 и 8 в данной схеме тупиковые.

Приведенный  упрощенный пример рассматривается лишь для иллюстрации метода объ­единения уравнений элементов в единую систему уравнений.

 

 

Запишем уравнения неразрывности потока рабочей жидкости для узлов 3, 4 и 6:

 

узел 3 Q₁ + Q₂ + Q₃₃ = 0;

 

узел 4 Q₃₄ - Q₄ - Q₅ = 0;                                                         (7.14)

 

узел 6 Q₅ - Q₇ - Q₆  = 0.

 

Поскольку элементом 3 является гидроцилиндр, который в общем случае имеет разные рабочие площади в полостях, то расход Q₃₃, вытекающий из узла 3, не равен расходу Q₃₄, втекающему в узел 4 (Q₃₃¹Q₃₄); дифференцируемой переменной в уравнении гидроцилиндра является скорость поршня. Выразим расходы Q₃₃, Q₃₄ по полостям гидроцилиндра через скорость поршня и соответствующие площади по­ршня:

 

                                         (7.15)

 

Подставив полученные выражения расходов в уравнения неразрывности и продифференцировав их, получим:

 

                               (7.16)

 

Таким образом, коэффициентом в уравнении неразрывно­сти при переменной скорости штока гидроцилиндра является рабочая площадь поршня, соответствующая полости, под­ключенной к этому узлу.

Подставим в (7.16) значения производных, используя уравнения (7.6) и (7.7) и введя сокращенные обозначения коэффициентов:

 

                  (7.17)

 

Запишем систему уравнений (7.17), оставив слева неизвестные давления р₃, p₄, p₆, в проточных узлах:

 

                                     (7.18)

 

Полученная система уравнений линейна относительно явлений в проточных узлах гидросистемы. Вычислив или задав давления в тупиковых узлах, т. е. р₁, р₂, р₅, р₇ и р₈, можно определить давления р₃, р₄ и р₆, решив полученную систему из трех уравнений. При этом потери давления Dр линиях и величина активной нагрузки на исполнительном штоке гидроцилиндра F(x) должны быть вычислены по начальным значениям расходов по соответствующим линиям Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, Q₅, Q₆, Q₇ и начальному положению штока х.

Полученные значения давлений р₃, р₄, и р₆, могут быть использованы для вычислении правых частей дифференци­альных уравнений элементов схемы (рис. 2). Таким образом, в результате интегрирования системы дифференциальных уравнений будут определены значения расходов по всем гидравлическим линиям и скорость исполнительного штока гидроцилиндра.

Ход исполнительного штока вычисляется интегрировани­ем уравнения

 

                                                (7.19)

 

Приведенный алгоритм расчета участка структурной схе­мы гидросистемы можно обобщить и распространить на схе­му, состоящую из любого числа элементов и узлов. При этом следует иметь в виду, что давления в тупиковых узлах до­лжны быть предварительно вычислены интегрированием диф­ференциальных уравнений 2-го или 4-го типа.

Рассмотрим структурную схему гидросистемы, состоящую из е проточных элементов, расположенных между  и  нетупи­ковыми узлами. Появится некоторое число  ul  тупиковых уз­лов, к которым будут подключены агрегаты, определяемые уравнениями 2-го и 4-го типов (гидроаккумулятора, насоса, бака).

Систему дифференциальных уравнении движения жидко­сти по «проточным» элементам (7.11) для такой структурной схемы удобно записать в векторной форме:

 

                                           (7.20)

 

где {Y}, {Р} - векторы неизвестных параметров потока рабочей жидкости, полностью определяющие работу гидросистемы. {Y} - вектор-столбец, имеющий  е  компонент расходов по тру­бопроводам и скоростей поршней по гндроцилиндрам. {Р} - вектор, имеющий  и  компонент давлений в нетупиковых уз­лах; [К] - матрица коэффициентов дифференциальных урав­нений проточных элементов размерности (е ´ u)\ {N}- вектор-столбец, имеющий е компонент, зависящий от давлений в тупиковых узлах системы, гидравлических потерь давлении в линиях и нагрузок на гидроцилиндрах.

В правильности записи уравнения (7.20) легко убедиться, произведя дифференцирование каждого компонента вектора {Y} и умножение матрицы [К] на вектор {P} - вектор давлений в проточных узлах.

Для вычисления правых частей уравнения необходимо определить вектор давлений {Р}. Для этого аналогично тому, как это было сделано выше, воспользуемся системой уравне­ний неразрывности потока в нетупиковых узлах гидросисте­мы, которая в векторной форме имеет вид:

 

[l]´{Y} = 0,                                              (7.21)

 

где [l] - постоянная матрица коэффициентов размерностью (u ´ e). (Правило заполнения матриц коэффициентов [К], [l] и вектор-столбца {N} будет дано ниже.)

Продифференцировав уравнение (7.21), получим

 

[l]´d[Y]/dt=0.                            (7.22)

 

Исключим из (7.22) производную вектора [Y], подставив ее значение из уравнения (7.20). Получим систему линейных уравнений относительно вектора {Р}:

 

[[l]´[K]]´{P}-[l]´{N}=0.

 

Следует иметь и виду, что матрица [[l]´[K]] квадратная и имеет размерность (u ´ u).  Тогда

 

{P}=[M]´{N},                            (7.23)

 

где [M]=[[l]´[K]]^-1 ´[l] - матрица, постоянная для за­данной структурной схемы гидросистемы размерностью (u ´ е). Подставив в уравнение (7.20) значение вектора {Р}, получим

 

,                           (7.24)

 

где  [S] =[K]´[[l]´[К]]^-1´[l] - [E] - матрица, постоянная для заданной структурной схемы гидросистемы, размерно­стью (е ´ е). Таким образом, для определения расходов и ско­ростей поршней гидроцилиндров необходимо проинтегриро­вать уравнение (7.24).

Матрицы [М] и [S] зависят от структурной схемы гидроси­стемы, геометрических размеров ее элементов и приведенных масс гидродвигателей. Эти матрицы не зависят от параметров потока и активных нагрузок на гидродвигателях.

Перейдем к определению правила формировании матриц [l], [К] и вектора {N}. При этом удобно представить структур­ную схему гидросистемы в виде ориентированного графа (рис. 3). Ориентация дуг соответствует выбранному положи­тельному направлению расхода — скорости по соответствую­щим элементам гидросистемы.

[l] - матрица коэффици­ентов в векторном уравнении неразрывности потока. Стро­ки матрицы соответствуют вершинам графа, располо­женным между проточными элементами, столбцы - про­точным элементам. Размер­ность матрицы (и ´ е). Следу­ет отметить, что эта матрица полностью определяет вза­имосвязь элементов схемы гидропривода.

 

Рассматриваем поочередно вершины графа и связанные с ними дуги. Возможны два случая:

1) все дуги, сходящиеся в вершине, соответствуют гид­равлическим линиям. В этом случае если дуга направлена к рассматриваемой вершине, то на пересечении строки, со­ответствующей вершине, и столбца, соответствующего дуге, записывается + 1. Если дуга направлена от вершины, то на пересечении строки и столбца записывается  - 1;

2) в вершине сходятся дуги, соответствующие гидравли­ческим линиям и гидроцилиндрам. Как было отмечено, в уравнении неразрывности расход по полостям в этом случае должен быть выражен через пропорциональную величину - скорость исполнительного штока. Рабочая площадь поршня полости, обращенная к рассматриваемому узлу, является коэффициентом пропорциональности.

Поэтому если дуга, связанная с узлом, соответствует гидроцилиндру, то на пересечении строки и столбца записы­вается рабочая площадь поршня. Знак « + » или « - » опреде­ляется направлением скорости исполнительного штока, обоз­наченным стрелкой на дуге графа. Если дуга не связана с рассматриваемой вершиной, то соответствующий элемент матрицы равен нулю.

[К] - матрица коэффициентов в векторном уравнении проточных элементов. Строки матрицы соответствуют дугам графа, т.е. проточным элементам, а столбцы -  вершинам графа, расположенным между этими элементами. Размер­ность матрицы (е ´ u).

Если проанализировать структуру матриц [К] и [l], то легко убедиться, что [К] представляет собой транспонирован­ную матрицу [l], строки которой, соответствующие элементам гидросистемы, умножены на соответствующие инерционные коэффициенты k_i этих элементов со знаком  « - ».

{N} - вектор-столбец, размерность которого равна количеству проточных элементов е. Заполнение элементов векто­ра производится в зависимости от типа элемента, соответ­ствующего заполняемой строке.

Для определения вектора {N} необходимо предварительно вычислить давление в тупиковых узлах, воспользовавшись уравнениями элементов, подключенных к ним.

Элемент l - гидравлическая линия, находящаяся между двумя нетупиковыми узлами:

Элемент l - гидравлическая линия, находящаяся между двумя узлами - тупиковым и нетупиковым:

где p_j — давление в тупиковом узле, знак зависит от на­правления расхода в гидравлической линии (направление к тупиковому узлу - « + », от узла - « - »); j - элемент, примыкающий к тупиковому узлу. Элемент l - гидроцилиндр:

 

 

где m_l — масса, приведенная к штоку цилиндра.

Руководствуясь изложенными правилами формирования матриц и векторов, запишем (7.20) и (7.21) в развернутом виде для рассматриваемого примера (рис. 3) (подробно см. на примере задачи 7.21):

 

                                  (7.25)

 

 

                          (7.26)

 

 

Таким образом, полная система уравнений, определяю­щая функционирование гидросистем объемного привода, со­стоит из: обыкновенных уравнений, определяющих давления в тупиковых узлах (насоса, давления бака); дифференциаль­ных уравнений, определяющих ход исполнительного штока гидроцилиндра, давление в гидроаккумуляторе; дифференци­альных уравнении «проточных» элементов.

 

Интегрирование системы дифференциальных уравнений рекомендуется проводить методом Рунге - Кутта четвертого порядка или методом Кутта - Мерсона. Для реализации указанного метода необходимо четырехкратное вычисление вектора {F} правых частей системы дифференциальных урав­нений на каждом временном шаге. Результат интегрирова­ния - вектор {Z} переменных, определяемых системой диффе­ренциальных уравнений.

Размерность векторов {F} и {Z} равна суммарному количе­ству дифференциальных уравнений.

Для полного анализа результатов расчета необходимо вычислить давление в проточных узлах. Давления в этих узлах определяются вектором {P} и могут быть вычислены с помощью выражения (7.23).

Реализация на ЭВМ рассмотренного алгоритма расчета параметров гидросистемы объемного привода может быть выполнена согласно блок-схеме (рис. 4).

 

---

Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 91; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!