Дробно-рациональные уравнения

Методика решения дробно - рациональных уравнений.

Подготовка учащихся к ОГЭ.

Кодификатор требований к уровню подготовки обучающихся для проведения основного государственного экзамена по математике является одним из документов, определяющих структуру и содержание КИМов. В нем сформулированы требования к уровню подготовки выпускников основной школы. В разделе III прописано требование «Уметь решать уравнения, неравенства и их системы»

Код раздела	Код контролируемого умения	Уметь решать уравнения, неравенства и их системы
3	3.1	Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы
	3.2	Решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной и их системы
	3.3	Применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств
	3.4	Решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений исходя из формулировки задачи

С темой «Дробные рациональные уравнения » учащиеся впервые знакомятся на уроках алгебры в 8 классе. Вводится понятие дробно-рационального уравнения, указывается чёткий алгоритм его решения, разбираются базовые примеры. В 9 классе при изучении главы II «Уравнения и неравенства с одной переменной» расширяем знания учащихся по теме «Дробные рациональные уравнения», решаем более сложные задания. Результаты обучения в значительной степени зависят от конкретной методики обучения, которую применяет учитель на уроках. Учитель, при активном сотрудничестве с обучающимися, должен помочь им выделить систему общих указаний, которые будут служить ориентирами при решении уравнений.

Целесообразно четко сформулировать алгоритм решения дробно-рационального уравнения:

1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

3) решить получившееся целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

В ходе решения дробно-рациональных уравнений необходимо установить, являются ли найденные корни целого уравнения допустимыми значениями переменной. Учащиеся нередко ошибаются, пропуская этот момент, поэтому надо настойчиво добиваться, чтобы в каждом случае алгоритм был выполнен до конца.

Важно научить обучающихся пользоваться «методом пристального взгляда» чтобы они зрительно видели разложение знаменателей на простые множители и безошибочно находили наименьший общий знаменатель. Такая методика решения уравнений позволяет школьникам не допускать ошибок при решении дробных рациональных уравнений, успешно решать задачи с помощью дробных рациональных уравнений.

Следует также предварительно отработать умения и навыки учащихся при выполнении тождественных преобразований, решения квадратных и линейных уравнений, раскладывания квадратного трёхчлена на множители, нахождения ОДЗ, основного свойства пропорции, формул сокращённого умножения

Приемы решения дробных рациональных уравнений находят естественное и важное применение при решении текстовых задач. При решении текстовой задачи учащиеся выполняют три этапа, входящие в процесс решения:

- переводят задачу на язык алгебры (составляют математическую модель),

- решают полученное уравнение,

- выполняют содержательный анализ полученного ответа.

В практической деятельности при проведении уроков по этой теме я применяю организацию учебной деятельности следующим образом: обучающиеся работают по группам. Одна группа решает текстовые задачи – им требуется в процессе решения получить дробное рациональное уравнение. Другая группа работает над решением этих же уравнений. Последующая проверка у доски работы двух групп представляет полное решение текстовой задачи с обоснованной записью ответа. В зависимости от наполняемости класса можно организовать подобным образом работу четырех или шести групп. Такая организация урока позволяет активизировать мыслительную деятельность учащихся, развивает коммуникативные навыки, умение работать в сотрудничестве позволяет закрепить умение решать текстовые задачи и одновременно умение решать дробные рациональные уравнения.

Все выпускники 9 класса должны уметь решать дробные рациональные уравнения.

Чтобы достичь поставленной задачи учителю следует руководствоваться методическими требованиями к системе упражнений, направленной на организацию усвоения приемов решения дробных рациональных уравнений.

1. система упражнений должна обеспечивать возможность активного участия обучаемых в конструировании приема решения рассматриваемого класса задач (в нашем случае решения дробных рациональных уравнений)

2. система упражнений должна обеспечить усвоение и необходимое повторение каждого из приемов, входящих в качестве составной части в формируемый прием ( решения дробных рациональных уравнений)

3. система упражнений должна строиться по принципу систематичности, постепенного нарастания сложности, содержать задания комплексного характера, выполнение которых требует распознания типа уравнения и осознанного выбора способа его решения.

Дробно-рациональные уравнения

Стандартный вид дробно-рационального уравнения:

Где – многочлены.

Область допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения: Решение уравнений сводится к решению системы

Дробно-рациональные уравнения вида

Где – многочлены, можно решать, используя основное свойство пропорции:

Основные методы решения рациональных уравнений.

1. Простейшие: решаются путём обычных упрощений — приведение к общему знаменателю, приведение подобных членов и так далее.

Квадратные уравнения ax² + bx + c = 0 решаются по формуле или используется теорема Виета: x₁ + x₂ = – b / a; x₁x₂ = c / a.

2.Способ группировки: путём группировки слагаемых, применения формул сокращённого умножения привести (если удастся) уравнение к виду, когда слева записано произведение нескольких сомножителей, а справа — ноль. Затем приравниваем к нулю каждый из сомножителей.

3. Способ подстановки: ищем в уравнении некоторое повторяющееся выражение, которое обозначим новой переменной, тем самым упрощая вид уравнения. В некоторых случаях очевидно какую следует сделать подстановку.

Например, уравнение

(x² + x – 5) / x + 3x / (x² + x – 5) + 4 = 0,

легко решается с помощью подстановки (x² + x – 5) / x = t,

получаем t + (3 / t) + 4 = 0.

Или: 21 / (x² – 4x + 10) – x² + 4x = 6.

Здесь можно сделать подстановку x² – 4 = t. Тогда 21 / (t + 10) - t = 6 и т.д.

В более сложных случаях подстановка видна лишь после нескольких преобразований. Например, дано уравнение

(x² + 2x)² – (x +1)² = 55.

Переписав его иначе, а именно (x²+ 2x)² – (x² + 2x + 1) = 55, сразу увидим подстановку x² + 2x=t.

Имеем t² – t – 56 = 0, t₁ = – 7, t₂ = 8. Осталось решить x² + 2x = – 7 и x² + 2x = 8.

В ряде других случаев удобную подстановку желательно знать “заранее”. Например

Уравнение (x + a)⁴ + (x + b)⁴ = c сводится к биквадратному, если сделать подстановку

x = t – (a + b) / 2.

Симметрическое уравнение (возвратное) a₀xⁿ + a₁x^{n – 1}+ … + a₁x + a₀ = 0 (коэффициенты членов, равностоящих от концов, равны) решается с помощью подстановки x + 1 / x = t, если n —чётное; если n — нечётное, то уравнение имеет корень x = – 1.

Уравнение вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = l сводится к квадратному, если

a + b = c + d и т.д.

К основному методу решения дробно-рациональных уравнений относится также метод замены переменной.

4. Подбор: при решении уравнений высших степеней рациональные корни уравнения a_nxⁿ + a_{n – 1}x^{n – 1}+ … + a₁x + a₀ = 0 ищем в виде p / q,

где p — делитель a₀, q — делитель a_n, p и q взаимно просты, pÎ Z, qÎ N.

5. “Искусство”, т.е. решать пример нестандартно, придумать “свой метод”, догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д.

Некоторые приемы решения дробно- рациональных уравнений рассмотрим на примерах. Пример 1. Решить уравнение